【备战2014高考数学专题讲座】
第11讲：数学解题方法之换元法探讨
3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非标准型问题标准化等。
通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元，三角换元，均值换元。
结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法
的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。
一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
典型例题：
例1. （2012年上海市文4分）方程的解是 ▲
【答案】。
【考点】解指数方程。
【解析】方程，化简为。
令，则原方程可化为，解得 或（舍去）。
∴。∴原方程的解为。
【点评】通过设，将原方程变为熟悉的一元二次方程和指数方程的问题。
例2. （2012年全国课标卷理5分） 已知函数；则的图像大致为【 】
【答案】。
【考点】导数的应用。
【解析】设，则。
∵时，；时，，
∴。
∴或均有。因此排除。故选。
【点评】通过设，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性，从而作出正确的判断。
例3. （2012年安徽省理13分）设
（）求在上的最小值；
（）设曲线在点的切线方程为；求的值。
【答案】解：（）设，则。
∴。
当时，。∴在上是增函数。
∴当时，的最小值为。
当时，
∴当且仅当时，的最小值为。
（）∵，∴。
由题意得：，即，解得。
【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。
【解析】（）根据导数的的性质分和求解。
（）根据切线的几何意义列方程组求解。
【点评】通过设，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。
例4. （2012年全国课标卷文5分）数列满足，则的前60项和为【 】
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。
【解析】求出的通项：由得，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；······
当时，；当时，；当时，；
当时，（）。
∵，
∴的四项之和为（）。
设（）。
则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，
∴的前项和=的前15项和=。故选D。
【点评】通过设（），将原数列前项和变为简单的等差数列前15项和的问题。
例5. （2012年四川省文5分）设函数，是公差不为0的等差数列，，则【 】
A、0 B、7 C、14 D、21
【答案】D。
【考点】高次函数的性质，等差数列性质。
【解析】∵是公差不为0的等差数列，记公差为。
∴。
则
。
∵，∴。
设，则。
∴。故选D。
【点评】通过设，使方程变得简单。
例6.（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．
【答案】。
【考点】可行域。
【解析】条件可化为：。
设，则题目转化为：
已知满足，求的取值范围。
作出（）所在平面区域（如图）。求出的切
线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须。
∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。
当（）对应点时， ，
∴的最大值在处，为7。
∴的取值范围为，即的取值范围是。
【点评】通过设，将问题变为可行域问题求解。
二、三角换元法的应用：三角换元，是利用已知代数式中与三角知识中的联系进行换元，直角坐标与极坐标的互化就是典型的三角换元。
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例1. （2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是
▲
【答案】。
【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。
【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。
∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。
【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标系中点到直线的距离问题。
例2. （2012年湖南省文5分）在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a= ▲ .
【答案】。
【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。
【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程，
∵曲线C1：与曲线C2：的一个交点在极轴上，
∴与轴交点横坐标与值相等。
由，知＝。
【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标问题。
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