⼩学五年级奥数专题讲座
五年级奥数集训专题讲座（⼀） ----有趣的平均数问题
主讲：xxx
我们研究平均数问题，⾸先要掌握以下基本数量关系：①总数量÷总份数=平均数②平均数×总份数=总数量③总数量÷平均数=总份数。在总数量不变情况下?移多补少?，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。
1.修路队修两条公路，第⼀条路长900⽶，⽤10天修完，第⼆条路的长⽐第⼀条的2倍多100⽶，⽤的时间是
第⼀条的1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少⽶？
分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平均数。
解:(900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8)
＝2800÷28
＝100(⽶)
答：修完这两条公路平均每天修100⽶。
例2.⼀个⽔果店三种⽔果的单价平均是1.6元，已知⾹蕉⽐苹果贵0.2元，⽐柚⼦便宜0.5元，请你算⼀算每种⽔果的单价多少元。
分析：这是⼀道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是1.6元，这样就可以求出三种⽔果单价和的钱数，即1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种⽔果单价的数量之间的关系，运⽤假设思想求出问题的答案，可以⽤下⾯的线段图表⽰上述关系。
解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3
＝4.5÷3
＝15(元)
1.5－0.2＝1.3(元)
1.5＋0.5＝2(元)
答：⾹蕉单价是1.5元，苹果单价是1.3元，柚⼦的单价是2元。
想⼀想，如果假设和苹果单价⼀样多，该怎样列式？
例3.五名裁判给⼀名运动员评分，去掉⼀个最⾼分和⼀个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉⼀个最⾼分，均分为9.46分；如果只去掉⼀个最低分，均分为9.66分。求这名运动员的最⾼得分和最低得分分别是多少？
分析：该题实质上是已知部分数的平均数，求个别数.依题意：去掉最⾼分和最低分后，该运动员的总得分为:9.58×3(分)；去掉最⾼分后，该运动员的总得分为:9.46×4(分)；去掉最低分后，该运动员的总得分
为:9.66×4(分)；因此，该运动员的最⾼分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)
例4．⼀辆汽车以每⼩时100千⽶的速度从甲地开往⼄地，到达⼄地后,⼜以每⼩时60千⽶的速度从⼄地返回甲地，求这辆汽车往返⼀次的平均速度.
分析：往返⼀次的平均速度=往返⼀次的总路程÷往返⼀次的总时间.这⼀数量关系是正确解答这道题的关键.
由于往返⼀次的总路程题⽬没有告诉我们，我们不妨假设甲地到⼄地的路程为S千⽶.所以:
S×2÷( S÷100+S÷60) （请根据提⽰试着思考并解答）
我也能⾏
1．甲、⼄两数的平均数是1.58，再加上丙则平均数是3.52，丙数是多少？
2．在爬⼭活动中，李林同学上⼭的速度为每⼩时0.24千⽶，6⼩时到达⼭顶，然后⼜以每⼩时0.4千⽶的速度沿原路下到⼭底，请算⼀算他上、下⼭的平均速度是多少
3．甲⼄两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数⽐甲⼄两数平均数多2，丙数应是多少？
4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三⼈中年龄最⼤的是谁？最⼩的是谁？
5.甲、⼄两数的平均数是3.21，丙数是2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是3.6，丁是多少？
6.五个裁判给⼀个选⼿打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最⾼分，则该选⼿平均分是91.5分，
请你算⼀算最⾼分与最低分相差⼏分？
7．⼩丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提⾼到90分，第五次他考了多少分？
8.有四个数，⽤其中三个数的平均数，再加上另外的⼀个数，按这样的⽅法计算，分别得到：28、36、42、46，
那么原来四个数的平均数是多少？
四⾯年级奥数集训专题讲座（⼆）———盈亏问题
主讲：xxx
盈亏问题⼜叫盈不⾜问题，是指把⼀定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另⼀种标准分，分配后⼜会不⾜（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把⼀袋饼⼲分给⼩班的⼩朋友，每⼈分3块，多12块，；如果每⼈分4块，少8块，⼩朋友有多少⼈？饼⼲有多少块？
这种⼀盈⼀亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。
标准盈亏问题的基本数量关系式：（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数；每次分得的数量×份数＋盈＝总数量；每次分得的数量×份数－亏＝总数量
还有⼀些⾮标准盈亏问题，如：
1、两盈：两次分配都有余。数量关系式为：（⼤盈－⼩盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数
2、两亏：两次分配都不够。数量关系式为：（⼤亏－⼩亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数
例1：（⼀盈⼀亏问题）⼀个植树⼩组，如果每⼈植5棵，还剩14棵；如果每⼈植7棵，就缺4棵。这个植树⼩组有多少⼈？⼀共有多少棵树？
分析：由题意可知，植树的⼈数和棵数是不会变化的，只是两次分配的⽅案不⼀样，结果就差了18棵，即第⼀种⽅案的结果⽐第⼆种多18棵，这是因为两种分配⽅案每⼈植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据⼀盈⼀亏解答此题就⾮常简单了。
⼈数：（14＋4）÷（7－5）＝2（⼈）棵数：5×9＋14＝59（棵）
答：这个植树⼩组⼀共有9⼈，⼀共有59棵树。
【巩固练习1】：幼⼉园把⼀些积⽊分给⼩朋友，如果每⼈分2个，则剩下20个；如果每⼈分3个，则差40个。幼⼉园有多少个⼩朋友？⼀共有多少个积⽊？
例2：（两亏问题）学校将⼀批铅笔奖给三好学⽣。如果每⼈奖9⽀，则缺45⽀；如果每⼈奖7⽀，则缺7⽀。三好学⽣有多少⼈？铅笔有多少⽀？
分析：这是两亏问题，由题意可知，三好学⽣⼈数和铅笔⽀数是不变的。根据两亏关系可知⼈数：（45－7）÷（9－7）＝19（⼈）铅笔：9×19－45＝126（⽀）
答：三好学⽣有19⼈，铅笔有126⽀。
【巩固练习2】：将⽉季花插⼊⼀些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和⽉季花的朵数？
例3：（两盈问题）有⼀些少先队员到⼭上种⼀批树。如果每⼈种16棵，还有24棵没种；
如果每⼈种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？（根据两盈问题请⾃⼰分析解答）
例4：（盈亏转化）学校给⼀批新⼊学的学⽣分配宿舍。如果每个房间住12⼈，则34⼈没有位置；如果每个房间住14⼈，则空
出4个房间。求学⽣宿舍有多少间？住宿学⽣有多少⼈？
分析：?把每个房间住14⼈，则空出4个房间?转化为?每个房间住14⼈，则少14×4=56
（⼈）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。
房间数：（34＋14×4）÷（14－12）=45（间）⼈数：12×45＋34=574（⼈）
答：学⽣宿舍有45间，学⽣有574⼈。
我也能⾏
1、某班安排宿舍，如果每间6⼈，则16⼈没有床位；如果每间8⼈，则多出10
个床位。问有宿舍多少间？学⽣多少⼈？
2、王⽼师给美术兴趣⼩组的同学分发图画纸。如果每⼈发5张，则少32张；如
果每⼈发3张，则少2张。美术兴趣⼩组有多少名同学？王⽼师⼀共有多少张图画纸？
3、⼩虎在敌⼈窗外听⾥边在分⼦弹：⼀⼈说每⼈背45发还多260发；另⼀个说
每⼈背50发还多200发。求有多少敌⼈？有多少发⼦弹？
4、崔⽼师给美术兴趣⼩组的同学分若⼲⽀彩⾊笔。如果每⼈分5⽀则多12⽀；
如果每个⼈分8⽀还多3⽀。请问每⼈分多少⽀刚好把彩⾊笔分完？
5、某校有若⼲个学⽣寄宿学校，若每⼀间宿舍住6⼈，则多出34⼈；若每间宿
舍住7⼈，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？住宿学⽣有多少⼈？
6、学校分配学⽣宿舍。如果每个房间住6⼈，则少2间宿舍；如果每个房间住9
⼈，则空出2个房间。问学⽣宿舍有多少间？住宿学⽣有多少⼈？
7、⼩强从家到学校，如果每分钟⾛50⽶，上课就要迟到3分钟，如果每分钟⾛
60⽶，就可以⽐上课时间提前2分钟到校。⼩强从家到学校的路程是⽶（选⾃北京市第四届?迎春杯?刊赛）
8、买来⼀批苹果，分给幼⼉园⼤班的⼩朋友。如果每⼈分5个苹果，那么还剩
余32个；如果每⼈分8个苹果，那么还有5个⼩朋友分不到苹果。这批苹果的个数是_____。选⾃⼩学数学奥林匹克预赛A卷
五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题
主讲：xxx
倍数问题是整个⼩学阶段很重要的⼀个问题，我们研究倍数问题主要从?和倍、差倍、和差?这三个⽅⾯来研究。解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：
①和÷（倍数＋1）=⼩数⼩数×倍数=⼤数（和—⼩数=⼤数）
②差÷（倍数—1）=⼩数⼩数×倍数=⼤数（⼩数＋差=⼤数）
③（和－差）÷2=⼩数⼩数＋差=⼤数（和—⼩数=⼤数）
④（和+差）÷2=⼤数⼤数－差=⼩数（和—⼤数=⼩数）
例1：三个筑路队共筑路1360⽶，甲队筑的⽶数是⼄队的2倍，⼄队⽐丙队多240⽶，三个
队各筑多少⽶？
分析：把⼄队的⽶数看作“1”份，甲队筑的⽶数是这样的2份，假设丙队多筑240⽶，三个
队共筑了1360+240=1600（⽶），正好是⼄队的4倍，所以⽤和倍问题来解答就很容易了。
⼄队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（⽶）甲队：400×2=800（⽶丙队：400－160=240（⽶）
答：甲队筑了800⽶，⼄队筑了400⽶，丙队筑了240⽶。
【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是⼄队的2倍，⼄队⽐丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？
例2：师徒两⼈加⼯同样多的⼀批零件，师傅加⼯了102个，徒弟加⼯了40个。这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加⼯多少个零件？
分析：徒弟⽐师傅少加⼯了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。
（102－40）÷（3－1）=31（个） 31+102=133（个）
答：师傅要加⼯133个零件。
【巩固练习】：两筐重量相等的梨，甲筐取出18千克，⼄筐取出6千克，这时⼄筐是甲筐重量的3倍，
两筐梨原来各重多少千克？
例3：甲、⼄两个仓库共有⼤⽶800袋，如果从甲仓库取出25袋放到⼄仓库中，则甲仓库
⽐⼄仓库还多8袋，求两个仓库原来各有多少袋⼤⽶？
分析：“从甲仓库取出25袋放⼊⼄仓库，则甲仓库⽐⼄仓库还多8袋”从这句话可得知，甲仓库⽐⼄仓库实际要多25×2＋
8=58（袋）
甲： [800+（25×2＋8）]÷2=429（袋）⼄：800－429=371（袋）
答：甲仓库原有429袋，⼄仓库原有371袋。
【巩固练习】：两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放⼊4只，⼄笼中取出2只，这时⼄笼⽐甲笼鸡蛋还多1只，求甲、⼄两笼原来各有多少只鸡蛋？
例4：⼩东的图书中有58本不是故事书，有42本不是科技书，⼩东故事书和科技书共有60本，⼩东科技书有多少书？
分析：这是⼀个和差问题，知道科技书和故事书的和，关键是求出它们的差，从题中“58本不是故事书”，就应该是科技书与其它书的和；“42本不是科技书”，就应该是故事书与其它书的和，所以科技书与故事书的差是：58－42=16（本）
[60+（58－42）]÷2=38（本）答：⼩东的科技书有38本。
我也能⾏
1、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，⼄数⽐甲数多40，三个数各是多少？
2、三个⼩朋友折纸飞机，⼩晶⽐⼩亮多折12架，⼩强⽐⼩亮少折8架，⼩晶折的是⼩强的3
倍，求三个⼈各折纸飞机多少架？
3、赵叔叔沿长和宽相差30⽶的游泳池跑6圈，做下⽔前的准备活动时，共跑了1080⽶，问游
泳池的长和宽各是多少⽶？
4、⼀⽚松树林⾥有很多种树，有1500棵树不是松树，1200棵树不是杨树，松树、杨树共700
棵，杨树有多少棵？
5、爸爸今年43岁，⼉⼦今年11岁，⼏年后爸爸的年龄是⼉⼦的3倍？
6、妈妈今年的年龄是⼥⼉的4倍，3年前，妈妈和⼥⼉的年龄和是39岁，问妈妈、⼥⼉今年
各是多少岁？
7、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，被除数、除数各是多少？
8、两个数的和是94，有⼈计算时将其中⼀个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31，求
这两个数。
9、甲、⼄、丙三数的和是224，如果甲是⼄的3倍，丙是甲的4倍，求甲、⼄、丙三数各是多
少？
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数
主讲：xxx
把⼀个合数，⽤质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们课本上介绍的分解质因数，是为
求最⼤公约数和最⼩公倍数服务的。其实，把⼀个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破⼝，从⽽顺利解题。
例1：把18个苹果平均分成若⼲份，每份⼤于1个，⼩于18个，⼀共有多少种不同的分法？
分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个约数，所以，⼀共有4种不同的分法。
例2：写出若⼲个连续的⾃然数，使它的积是15120。
分析：先把15120分解质因数，进⽽组合因数，使⼏个因数成为连续的⾃然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7
=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）
=5×6×7×8×9
【巩固练习】：有四个孩⼦，恰好⼀个⽐⼀个⼤1岁，4⼈的年龄积是3024，问这4个孩⼦中最⼤的⼏岁？
例3：将2、5、14、24、27、55、56、99⼋个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×11
56=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5
可以看出，这⼋个数中，共含有⼋个2，六个3，⼆个5，⼆个7和⼆个11，如果要把这⼋个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，⼀个5，⼀个7，⼀个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）
【巩固练习】：把40、44、45、63、65、78、99、105这⼋个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。
例4：下⾯的算式⾥，□⾥数字各不相同，求这个四个数字的和。
□□×□□=1995
分析：要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。所以，先分解1995。
1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满⾜?数字各不相同?的条件，所以取21×95=1995。这四个数字的和就是2+1+9+5=17。
【巩固练习】：下⾯四张⼩纸⽚各盖住⼀个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。□□×□□=1288
例5：有⼀个长⽅体，它的正⾯和上⾯的⾯积之和是143，如果它的长、宽、⾼都是质数，那么这个长⽅体的体积是多少？
分析：长⽅体的正⾯⾯积=长×⾼，上⾯⾯积=长×宽，这两个⾯积之和是
长×⾼+长×宽=长×（宽+⾼）=143。因为长、宽、⾼都是质数，⽽143=11×13，所以：
长=13，宽+⾼=11，或者：长=11，宽+⾼=13。
13=2+11，⽽11=2+9（不合题意）
所以，长⽅体的体积应该为：11×11×2=242
注意：长、宽、⾼都为质数，宽+⾼只能是⼀个偶质数+⼀个奇质数，想⼀想，为什么？
我也能⾏
1、95个同学排成长⽅形做操，⾏数与列数都⼤于1，共有⼏种排法？
2、写出若⼲个连续⾃然数，使它们的和是1680。
3、60个同学分组排队去游览，每组⼈数要⼀样多，每组不少于6⼈，不多于15⼈，有⼏种分法？怎样分？
4、有⼀个长⽅形，它的长、宽、⾼是三个连续的⾃然数，体积是3360⽴⽅厘⽶，求它的表⾯积？
5、把30、33、42、52、65、6
6、6
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