第1讲 计算综合（一）
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲循环小数与分数]．
1．计算：
【分析与解】原式=
2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
原式=
=
===
3．计算：
【分析与解】原式===
4．计算：已知=，则x等于多少"
【分析与解】方法一：
交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．
方法二：有，所以；所以，那么1.25．
5．求这10个数的和．
【分析与解】方法一：
=
==
=
=.
方法二：先计算这10个数的个位数字和为；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为．
所以，这10个数的和为4938271591．
6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少"
【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：
7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：
【分析与解】原式
8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果，那么方框内应填的数是多少"
【分析与解】=.
9．从和式中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1"
【分析与解】 因为，所以,,,的和为l，因此应去掉与.
10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少"
【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为．
11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有，，
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢"
注意到，当时，有．
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有，显然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：，c与c+2均为质数即可.
12．计算：
【分析与解】
原式=
=
=
==.
13．已知.问a的整数部分是多少.
【分析与解】
=
=
=.
因为＜
所以＜.
同时＞
所以a＞.
综上有＜a＜．所以a的整数部分为101．
14．问与相比，哪个更大，为什么"
【分析与解】方法一：令，，
有.
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
有A×A＜4×B＜，所以有A×A＜，那么A＜．
即与相比，更大．
方法二：设，
则
=，
显然、、、…、、都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜.
15．下面是两个1989位整数相乘：．问：乘积的各位数字之和是多少"
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为能被9整除，所以将一个乘以9，另一个除以9，使原算式变成：
=
=
=
得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：
+
评注：111111111÷9=12345679；
M×的数字和为9×k．(其中M≤)．可以利用上面性质较快的获得结果．
第2讲 计算综合（二）
本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．
1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；
2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．
1．已知a=试比较a、b的大小.
【分析与解】
其中A=99,B=99+因为A<B，所以98+ >98+，
所以有a<b．
2.试求的和.
【分析与解】 记则题目所要求的等式可写为：
而
所以原式的和为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．
2．试求1+2+3+4+…4+100的值"
【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．
方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+ 100
100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为
10l×100 ÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2
=
=
=
=5050.
3．试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．
【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3
方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2=
原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99
=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99
=
=328350+4950
=333300．
5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+24+3×5+46+…+9799+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法．
0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100
=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100
=[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100
=(×98×99×100+×98×99)÷100
=3234+48.51
=3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0
=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100
=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100
=(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100
=(×99×100×199-99)÷100
=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99
=3282.51
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n
=×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3]
=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}
=
=
6.计算下列式子的值：
【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有
减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个
”呢"
=
=
=
=
=
=
=
7．计算下列式子的值：
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.
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