2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷理）
（使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏）
一、选择题.
1.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70％
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85％
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.设全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
5.函数在区间的图象大致为（ ）
A B C D
6.当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D.
7.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A. B.与平面所成的角为
C. D.与平面所成的角为
8.沈括的《梦溪笔记》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：.当，时，（ ）
A. B. C. D.
9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则（ ）
A. B. C. D.
10.椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13.设向量的夹角余弦值为，且，，则 .
14.若双曲线的渐近线与圆相切，则 .
15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 .
16.已知中，点在边上，，，.当取得最小值时， .
三、解答题
17.记为数列的前项和.已知.
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）若成等比数列，求的最小值.
18.在四棱锥中，底面，∥，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（Ⅰ）求甲学校获得冠军的概率；
（Ⅱ）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
20.设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点.当直线垂直于轴时，.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设直线与的另一个交点分别为，记直线的倾斜角分别为.当取得最大时，求直线的方程.
21.已知函数.
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：若有两个零点，则.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）写出的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]已知均为正数，且，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）若，则.
【答案】
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
C | B | D | B | A | B | D | B |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
C | A | C | A | 11 | |||
17.（Ⅰ）略；（Ⅱ）.
18.（Ⅰ）略；（Ⅱ）.
19.（Ⅰ）0.6；（Ⅱ）13.
20.（Ⅰ）；（Ⅱ）.
21.（Ⅰ）；（Ⅱ）略.
22.（Ⅰ）；（Ⅱ）和，和.
23.（Ⅰ）略；（Ⅱ）略.
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