考研数学题

发布时间：2023-06-16 作者：admin 来源：文学

考研数学题

2023年3月20日发(作者：长除法)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

（1）若函数

1cos

()



















在0x处连续，则（）

(A)

ab(B)

ab(C)0ab(D)2ab

（2）设函数fx可导，且0fxfx



则（）

(A)11ff(B)11ff

(C)11ff(D)11ff

（3）函数22,,fxyzxyz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为（）

(A)12(B)6(C)4(D)2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线

vvt（单

位:m/s）虚线表示乙的速度曲线

vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时

刻记为

t（单位:s）,则（）

(A)

10t(B)

1520t(C)

25t(D)

25t

（5）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）

(A)TE不可逆(B)TE不可逆

（6）已知矩阵

200

021

001











210

020

001











100

020

002











，则（）

(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似

(C)A与C不相似，B与C相似(D)A与C不相似，B与C不相似

（7）设,AB为随机事件，若0()1,0()1PAPB,则PABPAB的充分必要条件是（）

A.PBAPBABPBAPBA

C.PPBABAD.PPBABA

（8）设

,......(2)

XXXn来自总体(,1)N的简单随机样本，记

n

则下列结论中不正确的是：（）

(A)2()

X服从2分布(B)

2()

XX服从2分布

()n



服从2分布(D)

2()nX服从2分布

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9）已知函数

()





,则

(3)(0)f

__________

（10）微分方程230yyy



的通解为y__________

（11）若曲线积分





Lyx

dydyxdx

122

在区域22D,1xyxy内与路径无关，则a

（12）幂级数1

nx





在区间（-1,1）内的和函数()Sx

（13）设矩阵

101

112

011











，

123

,,为线性无关的3维列向量组，则向量组

123

,,AAA的秩为

（14）设随机变量X的分布函数为

0.50.5

Fxx











，其中x为标准正态分布函数，则EX=

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分10分）

设函数,fuv具有2阶连续偏导数，,xyfecosx,求



，



（16）（本题满分10分）

求

limln1

nn













（17）（本题满分10分）

已知函数yx由方程333320xyxy确定，求yx得极值

（18）（本题满分10分）

设函数

()fx在0,1上具有2阶导数，

()

(1)0,lim0

x



证（1）方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根；

（2）方程0)]([)()(2







xfxfxf在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体S是圆锥面22Zxy被柱面22Zx割下的有限部分，其上任一点弧度为

222(,,)9uxyzxyz。记圆锥与柱面的交线为C

（1）求C在xOy平面上的投影曲线的方程

（2）求S的质量M

（20）（本题满分11分）

设三阶行列式

123

(,,)A有3个不同的特征值，且

312

2

（1）

证明()2rA

（2）如果

123

求方程组Ax的通解

（21）（本题满分11分）

设二次型

222

1232121323

(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx

，

在正交变换xQy下的标准型为22

1122

yy求

a的值及一个正交矩阵Q.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X，Y互独立，且的概率分布为

P0P2

XX，Y概率密度为

2,01











其他

(1)求PYEY(2)求ZXY的概率密度

（23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结

果

,,,

xxx相互独立，且均服从正态分布2,N，该工程师记录的是n次测量的绝对误差

,1,2,,

zxin，利用

,,,

zzz估计

(I)求1

的概率密度

(II)利用一阶矩求的矩估计量

(III)求的最大似然估计量

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将

所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上.

（1）若反常积分

0





收敛，则（）

11111111AabBabCaabDaab且且且且

（2）已知函数

21,1

ln,1

















，则fx的一个原函数是（）

















1,11,1

ln1,1ln11,1

1,11,1

ln11,1ln11,1

xxxx

AFxBFx

xxxxxx

xxxx

CFxDFx

xxxxxx

































（3）若22

222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx



的两个解，则qx（）

22

3131

AxxBxxCD





（4）已知函数

111

,,1,2,

nnn





















，则（）

（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点

（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导

（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）

（A）

TA与TB相似（B）1A与

1B相似

（C）

TAA与TBB相似（D）1AA与

1BB相似

（6）设二次型222

,,444fxxxxxxxxxxxx，则123

,,2fxxx在空间直角坐标下表示的

二次曲面为（）

（A）单叶双曲面（B）双叶双曲（C）椭球面（D）柱面

（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）

（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加

（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少

（8）随机试验E有三种两两不相容的结果

321

,,AAA，且三种结果发生的概率均为

，将试验E独立重复做2次，

X表示2次试验中结果

A发生的次数，Y表示2次试验中结果

A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

（9）



__________

cos1

sin1ln

lim







x

dttttx

（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA

（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则



_________

1,0

dz

（12）设函数

arctan

xxf



，且1)0(



f，则________a

（13）行列式

100

010

001

4321











____________.

（14）设

,,...,

xxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置

信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸

．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,

Drr













，计算二重积分

xdxdy.

（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程02







kyyy其中01k.

证明：反常积分

()yxdx收敛；

若1)0(,1)0(



yy，求

()yxdx的值.

（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足

(,)

(21),xy

fxy

x







且(0,)1,

fyyL是从点(0,0)到点(1,)t

的光滑曲线，计算曲线积分

(,)(,)

()

fxyfxy

Itdxdy







，并求()It的最小值

（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分

zdxdyydzdxdydzxI3212



（19）（本题满分10分）已知函数()fx可导，且(0)1f，

0'()

fx，设数列n

x满足

()(1,2...)

xfxn



，

证明：

（I）级数

()

xx





绝对收敛；

（II）lim



存在，且0lim2



.

（20）（本题满分11分）设矩阵

11122

21,1

1112

AaBa















当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

（21）（本题满分11分）已知矩阵

011

230

000













（I）求

99A

（II）设3阶矩阵

(,,)B满足2BBA，记100

123

(,,)B将

123

,,分别表示为

123

,,的线性组

合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2,01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令













（I）写出(,)XY的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；

（III）求ZUX的分布函数()Fz.

（23）设总体X的概率密度为















其他,0



xf，其中，0为未知参数，

321

,,XXX为来自总体X

的简单随机样本，令

321

,,maxXXXT。

（1）求T的概率密度

（2）确定a，使得aT为的无偏估计

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题

（1）设函数()fx在（-,+）连续，其2阶导函数()fx



的图形如下图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）

（A）0（B）1(C)2(D)3

xxxyexeyaybyce









（2）设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，

则：

（）

(A)3,1,1.

(B)3,2,1.

(D)3,2,1.

abc











(3)331

(A)

(B)

(C).

(D)

axxnax



若级数条件收敛，则与依次为幂级数的：

收敛点，收敛点.

收敛点，发散点.

发散点，收敛点

发散点，发散点.

（）

（4）设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则

(,)

fxydxdy（）

（A）

3sin2

42sin2

(cos,sin)dfrrrdr







（B）

sin2

2sin2

(cos,sin)dfrrrdr









(C)

3sin2

42sin2

(cos,sin)dfrrdr







(D)

sin2

2sin2

(cos,sin)dfrrdr









（5）设矩阵

111











，











，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件

为（）

（A）,ad（B）,ad

（C）,ad（D）,ad

（6）设二次型

123

(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为222

123

2yyy，其中

123

(,,)Peee，若

132

(,,)Qeee，

则

123

(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为（）

（A）

222

123

2yyy（B）222

123

2yyy

（C）

222

123

2yyy（D）222

123

2yyy

（7）若,AB为任意两个随机事件，则（）

（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB

（C）

()()

()

PAPB

PAB



（D）

()()

()

PAPB

PAB





(8)X,Y2,1,3,2EXEYDXEXXY





设随机变量不相关，且则（）

(A)3(B)3(C)5(D)5

二、填空题

（9）

lncos

lim_________.

x



（10）



















dxx

cos1

sin



_________.

（11）若函数由方程+cos2xexyzxx确定，则

(0,1)

dz.

（12）设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(23)xyzdxdydz







（13）

阶行列式

2002

-1202

0022

00-12









（14）设二维随机变量服从正态分布，则

三、解答题

（15）设函数，

3()gxkx，若()fx与()gx在0x是等价无穷小，求a，b，

k值。

（16）

设函数()fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的

xI，曲线()yfx

在点00

(,())xfx

处的切线与

直线0

xx

及

轴所围成的区域的面积为4，且

(0)2,f

求

()fx

的表达式。

（17）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.

（18）（本题满分10分）

（Ⅰ）设函数(),()uxvx可导，利用导数定义证明

（Ⅱ）设函数

(),()...()

uxuxux可导，

()()()...(),

fxuxuxux写出()fx的求导公式.

（19）（本题满分10分）

已知曲线L的方程为

222,

zxy















起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分

2222()()()

Iyzdxzxydyxydz

（20）（本题满分11分）

设向量组

123

,,是3维向量空间3的一个基，

113

22k，

2，

313

(1)k。

（Ⅰ）证明向量组

123

,,是3的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基

123

,,与基

123

,,下的坐标相同，并求出所有的。

（21）（本题满分11分）

设矩阵

02-3

-133

1-2





















相似于矩阵

1-20

031





















（Ⅰ）求,ab的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得

1PAP

为对角阵.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为

-2ln20

()=











对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数.

（Ⅰ）求Y的概率分布；

（Ⅱ）求EY.

（23）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

(;)=

















其他

其中为未知参数，

.....

XXX，为来自该总体的简单随机样本.

（Ⅰ）求的矩估计.

（Ⅱ）求的最大似然估计.

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题

—

小题．每小题

分，共

分．

１．下列曲线有渐近线的是（）

（A）xxysin（B）xxysin2

（C）

sin（D）

2sin

2．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）

（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf

（C）当0



)(xf时，)()(xgxf（D）当0



)(xf时，)()(xgxf

3．设)(xf是连续函数，则



dyyxfdy1

),(（）

（A）





xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(

（B）



02x

xdyyxfdxdyyxfdx),(),(

（C）







sincossincos)sin,cos()sin,cos(

drrrfddrrrfd

（D）







sincossincos)sin,cos()sin,cos(

rdrrrfdrdrrrfd

4．若函数









dxxbxaxdxxbxax

Rba

)sincos(min)sincos(

，则

xbxasincos

（）

（A）xsin2（B）xcos2（C）xsin2（D）xcos2

5．行列式

等于（）

（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda

6．设

321

,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量

k

，

l线性无关是向量

321

,,线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

7．设事件A与B想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则

)(ABP

（）

（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4

8．设连续型随机变量

XX,

相互独立，且方差均存在，

XX,

的概率密度分别为

)(),(xfxf

，随机变量

Y的概率

密度为))()(()(yfyfyf

Y212



，随机变量)(

2122

XXY，则（）

（A）

2121

DYDYEYEY,

（B）

2121

DYDYEYEY,

（C）

2121

DYDYEYEY,（D）

2121

DYDYEYEY,

二、填空题（本题共

小题，每小题

分，满分

分

把答案填在题中横线上）

9．曲面)sin()sin(xyyxz1122

在点),,(101处的切平面方程为．

10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f．

11．微分方程0)ln(ln'yxyxy满足31ey)(的解为．

12．设L是柱面

122yx

和平面

0zy

的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分



ydzzdx．

13．设二次型

3231

1321

42xxxaxxxxxxf),,(

的负惯性指数是1，则a的取值范围是．

14．设总体X的概率密度为















其它,

),(





xf，其中是未知参数，

XXX,,,

是来自总体的简单样本，

若



2是

2的无偏估计，则常数C=．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限

)ln(

))((

lim

dttetx







．

16．（本题满分10分）

设函数)(xfy由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值．

17．（本题满分10分）

设函数

)(uf

具有二阶连续导数，

)cos(yefzx

满足xxeyez

4)cos(







．若

0000)(',)(ff

，求)(uf

的表达式．

18．（本题满分10分）

设为曲面)1(22zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(11133



19．（本题满分10分）

设数列

ba,满足





ba,

，

nnn

baacoscos且级数



1n

b收敛．

（1）证明0



alim；

（2）证明级数

1nn

收敛．

20．（本题满分11分）

设



















3021

1110

4321

A，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组0AX的一个基础解系；

（2）求满足EAB的所有矩阵B．

21．（本题满分11分）

证明n阶矩阵













111







与













n00

200

100







相似．

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为

21)()(XPXP，在给定

iX

的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),,(iiU．

（1）求Y的分布函数；

（2）求期望

).(YE

23．（本题满分11分）

设总体X的分布函数为



















),(

，其中为未知的大于零的参数，

XXX,,,

是来自总体的简单

随机样本，

（1）求)(),(2XEXE；

（2）求的极大似然估计量



．

（3）是否存在常数a，使得对任意的0，都有0

















aP

^lim？

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题（1~8题，每题4分）

1.已知极限

arctan

lim

x



，其中k，c为常数，且0c，则（）

kcB.

kc

kcD.

kc

2.曲面

2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）

A.2xyzB.0xyz

C.23xyzD.0xyz

3.设

()

fxx，

2()sin(1,2,)

bfxnxdxn，令

()sin

Sxbnx



，则

()

S（）

D.



4.设

:1Lxy，22

:2Lxy，22

:22Lxy，22

:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记

)4,3,2,1(





























idy

xdx

，则

1234

max,,,IIII

IB.

IC.

5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）

A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

6.矩阵

aba







与

200

000







相似的充分必要条件为（）

A.0,2abB.0,ab为任意常数

C.2,0abD.2,ab为任意常数

7.设

123

,,XXX是随机变量，且

(0,1)XN，2

(0,2)XN，2

(5,3)XN，22(1,2,3)

PPXi，

则（）

123

PPPB.

213

PPP

322

PPPD

132

PPP

8.设随机变量()Xtn,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数c满足PXca，则2PYc()

.a1C.a2Da21

二、填空题（9-14小题，每小题4分）

9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则

lim[()1]

n

＝。

10.已知y

=e3x–xe2x，y

=ex–xe2x，y

=–xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解

y=。

11.设

sin

()

sincos

yttt

dx













为参数，则。

12.

(1)





。

13.设A=(a

)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，A

为a

的代数余子式.若a

=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。

14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=

三．解答题：

（15）（本题满分10分）

计算dx

xf)(1

，其中f(x)＝.

)1ln(

tx



(16)(本题10分)

设数列｛a

｝满足条件：

012

3,1(1)0(2).

aaannan



＝，＝

S（x）是幂级数

ax



的和函数

（1）证明：()()0;



SxSx

（2）求().Sx的表达式

（17）（本题满分10分）

求函数的极值yxe

yyxf)

(),(

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：

（I）存在.1)(1,0



f），使得（

（Ⅱ）存在1,1()

（），使得（）

19.(本题满分10分)

设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。

（1）求曲面的方程；

（2）求的形心坐标。

20.（本题满分11分）

设

101









，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。

21.（本题满分11分）

设二次型

2233

(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx，记













，













。

（1）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（2）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

2yy。

22.（本题满分11分）

设随机变量X的概率密度为令随机变量

2,1,

,12,

1,2

Yxx

















（1）求Y的分布函数；

（2）求概率PXY.

23.(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

,0,

(;)

xex



















其他

其中为未知参数且大于零，

XXX，为来自总体X的简单

随机样本。

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线







渐近线的条数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

（2）设函数

2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f

（A）

1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn

（3）如果函数(,)fxy在0,0处连续，那么下列命题正确的是（）

（A）若极限

(,)

lim

fxy

xy





存在，则(,)fxy在(0,0)处可微

（B）若极限

(,)

lim

fxy

xy





存在，则(,)fxy在(0,0)处可微

（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限

(,)

lim

fxy

xy





存在

（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限

(,)

lim

fxy

xy





存在

（4）设

Iesinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I

(B)I

(C)I

(D)I

（5）设

1234

0011

0,1,1,1

cccc















其中

1234

,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）

（A）

123

,,（B）

124

,,（C）

134

,,（D）

234

,,

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且，

123

,,P，1223

,,Q则

1QAQ（）

(A).(B).

(C).(D).

（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则yxp（）

1124

() () () ()

5355

ABCD

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）

1)(

)(

)(1)(DCBA

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

（9）若函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及

xexfxf2)()('，则)(xf=________。

（10）

2xxxdx________。

（11）

(2,1,1)

grad









________。

（12）设,0,0,0,1,,zyxzyxzyx则



dsy2

________。

（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵

TxxE的秩为________。

（14）设,,ABC是随机事件，,AC互不相容，

()

PAB,

()

PC,则________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸

．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

证明：

lncos1,11

xxx







（16）（本题满分10分）

求函数

fxyxe



的极值。

（17）（本题满分10分）

求幂级数





2443





x2n的收敛域及和函数

（18）（本题满分10分）

已知曲线

，其中函数)(tf具有连续导数，且0)0(f，，。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离

恒为1，求函数)(tf的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。

（19）（本题满分10分）

已知L是第一象限中从点0,0沿圆周

222xyx到点2,0，再沿圆周224xy到点0,2的曲线段，计算曲

线积分.

（20）（本题满分10分）

设．（Ⅰ）求A

（Ⅱ）当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．

（21）（本题满分10分）三阶矩阵

101

011













，

TA为矩阵A的转置，已知()2TrAA，且二次型TTfxAAx。

1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

（22）（本题满分10分）

已知随机变量,XY以及XY的分布律如下表所示，

求：(1)2PXY；(2)cov,XYY与

.

（23）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布2,N与2,2N，其中是未知参数且0,设

ZXY,

（1）求z的概率密度2,fz；

（2）设

zzz为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量

；

（3）证明为的无偏估计量。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，

请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上．

(1)曲线

234(1)(2)(3)(4)yxxxx的拐点是()

(A)(1,0)．(B)(2,0)．(C)(3,0)．(D)(4,0)．

(2)设数列

a单调减少，lim0



，

(1,2,)n

San



无界，则幂级数

(1)n

ax



的收敛域为()

(A)(1,1]．(B)[1,1)．(C)[0,2)．(D)(0,2]．

(3)设函数()fx具有二阶连续导数，且()0fx，(0)0f



，则函数()ln()zfxfy在点(0,0)处取得极小值的

一个充分条件是()

(A)(0)1f，(0)0f



．(B)(0)1f，(0)0f



．

(C)(0)1f，(0)0f



．(D)(0)1f，(0)0f



．

(4)设

lnsinIxdx

，

lncotJxdx

，

lncosKxdx

，则,,IJK的大小关系是()

(A)IJK．(B)IKJ．

(C)JIK．(D)KJI．

(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记

100

110

001











，

100

001

010











，则A()

(A)

PP．(B)1

PP．(C)

PP．(D)1

PP．

(6)设

1234

(,,,)A是4阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T

是方程组0Ax的一个基础解系，则

*0Ax的基础解系可为()

(A)

,．(B)

,．(C)

123

,,．(D)

234

,,．

(7)设

()Fx，

()Fx为两个分布函数，其相应的概率密度

()fx，

()fx是连续函数，则必为概率密度的是()

(A)

()()fxfx．(B)

2()()fxFx．

(C)

()()fxFx．(D)

1221

()()()()fxFxfxFx．

(8)设随机变量X与Y相互独立，且()EX与()EY存在，记max,UXY，min,VXY则()EUV()

(A)()()EUEV．(B)()()EXEY．

(C)()()EUEY．(D)()()EXEV．

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上．

(9)曲线

tan(0)



xytdtx的弧长s．

(10)微分方程cosxyyex

满足条件(0)0y的解为y．

(11)设函数

sin

(,)

xyt

Fxydt





，则

x









．

(12)设L是柱面方程

221xy与平面zxy的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

xzdxxdydz．

(13)若二次曲面的方程

22232224xyzaxyxzyz，经过正交变换化为22

44yz，则a．

(14)设二维随机变量,XY服从正态分布22,;,;0N，则2EXY=．

三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸

．．．

指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

(15)(本题满分10分)

求极限

ln(1)

lim()xe

x





．

(16)(本题满分9分)

设函数(,())zfxyygx，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()gx可导且在1x处取得极值(1)1g，求

xy







．

(17)(本题满分10分)

求方程arctan0kxx不同实根的个数，其中k为参数．

(18)(本题满分10分)

(Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有

111

ln(1)

1nnn





成立．

(Ⅱ)设

1ln(1,2,)

ann

，证明数列

a收敛．

(19)(本题满分11分)

已知函数(,)fxy具有二阶连续偏导数，且(1,)0fy，(,1)0fx，(,)

fxydxdya，其中

(,)|01,01Dxyxy，

计算二重积分

''(,)

Ixyfxydxdy．

(20)(本题满分11分)

设向量组

123

(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTT，，，不能由向量组

(1,1,1)T，

(1,2,3)T，

(3,4,)Ta线性表示．

(I)求a的值；

(II)将

123

,,由

123

,,线性表示．

(21)(本题满分11分)

设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即2rA，且

1111

0000

1111















．

(I)求A的特征值与特征向量；

(II)求矩阵A．

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y的概率分布分别为

1/32/3

Y1

1/31/31/3

且221PXY．

(I)求二维随机变量(,)XY的概率分布；

(II)求ZXY的概率分布；

(III)求X与Y的相关系数

．

（23）（本题满分11分）

设

,,,

XXX为来自正态总体2

(,)N的简单随机样本，其中

已知，

20未知．X和2S分别表示

样本均值和样本方差．

(I)求参数

2的最大似然估计量

2



；

(II)计算

2()E

和

2()D

．

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前

的字母填在题后的括号内.)

(1)极限

lim

()()

xaxb









=（）

(A)1(B)e(C)eab

(D)eba

(2)设函数(,)zzxy由方程(,)0

确定,其中F为可微函数,且

0,F



则







=（）

(A)x(B)z(C)x(D)z

(3)设,mn为正整数,则反常积分

ln(1)m



的收敛性（）

(A)仅与m取值有(B)仅与n取值有关

(C)与,mn取值都有关(D)与,mn取值都无关

(4)

lim

()()

ninj





=（）

(A)

(1)(1)

xdxdy

xy

(B)

(1)(1)

xdxdy

xy



(C)

(1)(1)

dxdy

xy

(D)

(1)(1)

dxdy

xy



(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵，为阶单位矩阵，若,ABE则（）

(A)秩(),mA秩()mB(B)秩(),mA秩()nB

(C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB

(6)设A为4阶对称矩阵,且

20,AA若A的秩为3,则A相似于（）

(A)







(B)











(C)















(D)

















(7)设随机变量X的分布函数，则=（）

(A)0(B)1(C)

2(D)

11e

(8)设

()fx为标准正态分布的概率密度

,()fx为[1,3]上均匀分布的概率密度,

若

为概率密度,则,ab应满足（）

(A)234ab(B)324ab

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设求_________.

(10)

cosxxdy=.

(11)已知曲线L的方程为1{[1,1]},yxx起点是(1,0),终点是(1,0),则曲线积分

xydxxdy=.

(12)设

22{(,,)|1},xyzxyz则的形心的竖坐标z=.

(13)设

123

(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTTααα若由

123

,,ααα形成的向量空间的维数是2,则

=.

(14)设随机变量X概率分布为{}(0,1,2,),

PXkk

则=.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求微分方程322exyyyx



的通解.

(16)(本题满分10分)

求函数

()()ex

tfxxtdt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较

ln[ln(1)]nttdt与

ln(1,2,)nttdtn的大小,说明理由

（2）记

ln[ln(1)](1,2,),n

uttdtn求极限lim.



(18)(本题满分10分)

求幂级数

(1)









的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面

222:1Sxyzyz上的动点,若S在点P的切平面与xOy面垂直,求P点的轨迹,C并计算

曲面积分

(3)2

xyz

IdS

yzyz







其中是椭球面S位于曲线C上方的部分.

(20)(本题满分11分)

设

010,1,

111

a













Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解.

(1)求,.a

(2)求方程组Axb的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型

123

(,,)TfxxxAxx在正交变换xyQ下的标准形为22

,yy且Q的第三列为

(,0,).

(1)求.A

(2)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量()XY的概率密度为

2222(,)e,,,xxyyfxyAxy求常数及A条件概率

密度

(|).

fyx

(23)(本题满分11分)

设总体X的概率分布为

X123

122

其中(0,1)未知,以

N来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(1,2,3),i试求常数

123

,,,aaa使

TaN



为的无偏估计量,并求T的方差.

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字

母填在题后的括号内.)

(1)当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx等价无穷小,则（）

(A)

ab(B)

ab(C)

ab(D)

ab

(2)如图,正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4

Dk,cos

Iyxdxdy,则



max



（）

(A)

I(B)

I(C)

I(D)

(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为则函数



xFxftdt的图形为（）

(A)

()fx

23x1-

(B)

()fx

23x1-

()fx

-2

23x

-1

(C)

()fx

23x1-

(D)

()fx

23x1-

(4)设有两个数列,

ab,若lim0



,则（）

(A)当

b



收敛时,

ab



收敛.(B)当

b



发散时,

ab



发散.

(C)当

b



收敛时,

ab



收敛.(D)当

b



发散时,

ab



发散.

(5)设

123

,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基

123

ααα到基

122331

,,αααααα的过渡矩阵为（）

(A)

101

220

033







(B)

120

023

103







(C)

111

246

111

246

111

246

















(D)

111

222

111

444

111

666

















(6)设,A

B均为2阶矩阵,

**,AB分别为,A

B的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵







的伴随矩阵为

(A)







(B)







(C)







(D)







(7)设随机变量X的分布函数为

0.30.7

Fxx











,其中x为标准正态分布函数,则EX（）

(A)0(B)0.3(C)0.7(D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为

PYPY,记



Fz为随机变量ZXY的分布函数,则函数Z

Fz的间断点个数为（）

(A)0(B)1(C)2(D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设函数,fuv具有二阶连续偏导数,,zfxxy,则







(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby



的通解为

exyCCx,则非齐次方程yaybyx





满足条件02,00yy



的解为y.

(11)已知曲线2:02Lyxx,则

xds.

(12)设222,,1xyzxyz,则2zdxdydz



.

(13)若3维列向量,αβ满足2Tαβ,其中

Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为.

(14)设

,,,

XXX为来自二项分布总体,Bnp的简单随机样本,X和2S分别为样本均值和样本方差.若

2XkS为2np的无偏估计量,则k.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值.

(16)(本题满分9分)

设

a为曲线nyx与11,2,.....nyxn所围成区域的面积,记

1221

SaSa





,求

S与

S的值.

(17)(本题满分11分)

椭球面

S是椭圆

绕x轴旋转而成,圆锥面

S是过点4,0且与椭圆

相切的直线绕x轴

旋转而成.

(1)求

S及

S的方程.(2)求

S与

S之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数fx在,ab上连续,在(,)ab可导,则存在,ab,使得

fbfafba

.

(2)证明:若函数fx在0x处连续,在0,0内可导,且

lim

fxA





,则0f





存在,且

0fA







(19)(本题满分10分)

计算曲面积分

3

222

xdydzydzdxzdxdy

xyz









,其中是曲面

222224xyz的外侧.

(20)(本题满分11分)

设

111

042





























(1)求满足

Aξξ的

ξ.2

Aξξ的所有向量

ξ,

ξ.(2)对(1)中的任意向量

ξ,

ξ证明

123

,,ξξξ无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型222

1231231323

,,122fxxxaxaxaxxxxx.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为

yy,求a的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,XYZ分别表示两次取球

所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求10pXZ.(2)求二维随机变量,XY概率分布

(23)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

2,0

()

xxex

fx









其他

,其中参数(0)未知,

X,…

X是来自总体X的简单

随机样本.

(1)求参数的矩估计量.

(2)求参数的最大似然估计量.

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字

母填在题后的括号内.)

(1)设函数

()ln(2)xfxtdt则()fx



的零点个数（）

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)函数(,)arctan

fxy

在点(0,1)处的梯度等于（）

(A)i(B)-i(C)j(D)j

(3)在下列微分方程中,以

123

cos2sin2xyCeCxCx(

123

,,CCC为任意常数)为通解的是（）

(A)440yyyy



(B)440yyyy







(D)440yyyy





(4)设函数()fx在(,)内单调有界,

x为数列,下列命题正确的是（）

(A)若

x收敛,则()

fx收敛(B)若n

x单调,则()

fx收敛

(C)若()

fx收敛,则n

x收敛(D)若()

fx单调,则n

x收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若

30A,则（）

(A)EA不可逆,EA不可逆(B)EA不可逆,EA可逆

(C)EA可逆,EA可逆(D)EA可逆,EA不可逆

(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1

xyzy











A在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特

征值个数为（）

(A)0(B)1(C)2(D)3

(7)设随机变量,XY独立同分布且X分布函数为Fx,则max,ZXY分布函数为（）

(A)2Fx(B)FxFy(C)211Fx





(D)11FxFy





(8)设随机变量~0,1XN,~1,4YN且相关系数1

,则（）

(A)211PYX(B)211PYX

(C)211PYX(D)211PYX

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)微分方程0xyy



满足条件11y的解是y

.

(10)曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为.

(11)已知幂级数

ax



在0x处收敛,在4x处发散,则幂级数

ax



的收敛域为.

(12)设曲面是

224zxy的上侧,则2xydydzxdzdxxdxdy



.

(13)设A为2阶矩阵,

,αα为线性无关的2维列向量,

1212

0,2AαAααα,则A的非零特征值为.

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则2PXEX.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限



sinsinsinsin

lim

xxx

x







(16)(本题满分10分)

计算曲线积分2sin221

xdxxydy,其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段.

(17)(本题满分10分)

已知曲线

22220

xyz











,求曲线C距离面最远的点和最近的点.

(18)(本题满分10分)

设fx是连续函数,

(1)利用定义证明函数

xFxftdt可导,且Fxfx



.

(2)当fx是以2为周期的周期函数时,证明函数2

2()()xGxftdtxftdt也是以2为周期的周期函数.

(19)(本题满分10分)

将函数

21(0)fxxx,用余弦级数展开,并求

1







的和.

(20)(本题满分11分)

设为3维列向量，矩阵，其中，分别是，的转置.证明：

(I)秩；

(II)若线性相关，则秩.

(21)(本题满分11分)

设元线性方程组，其中

，，，

(I)证明行列式；

(II)当为何值时，该方程组有唯一解，并求；

(III)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为

1,0,1

PXii,Y的概率密度为



101











其它

,记ZXY,

(1)求

PZX









(2)求Z的概率密度)(zfz.

(23)(本题满分11分)

设

,,,

XXX是总体为2(,)N的简单随机样本.

记

n

,

()

SXX

n





,

TXS



(1)证明T是

2的无偏估计量.

(2)当0,1时,求DT.

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