怎么证明三点共线

怎么证明三点共线

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2023年3月20日发(作者：实训目的)

一、点共线问题

证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然

后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中

两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．

1．如图1，正方体

1111

ABCDABCD中，

1

AC与截面

1

DBC交

O

点，ACBD，交

M

点，

求证：

1

COM，，三点共线．

证明：连结

11

AC，

1

C平面

11

AACC，且

1

C平面

1

DBC，

1

C是平面

11

AACC与平面

1

DBC的公共点．

又

MACM，

平面

11

AACC．

MBDM，平面

1

DBC．

M

也是平面

11

AACC与平面

1

DBC的公共点．

1

CM是平面

11

AACC与平面

1

DBC的交线．

O

为

1

AC与截面

1

DBC的交点，

O

平面

11

AACCO，平面

1

DBC，即

O

也是两平面的公共点．

1

OCM∴，即

1

CMO，，三点共线．

2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交

于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．

分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．

证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β．

又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，

而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．