初中数学压轴题
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2023年3月19日发(作者：周朝兴)中考数学压轴题解题技巧
数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综
合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行
图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是
待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代
数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点
（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析
式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般
有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、
梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关
系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求
自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关
系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径
在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式
求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数
的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思
想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的
性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常
用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方
程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压
轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想
方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思
考和探究。
解中考压轴题技能技巧：
一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的
时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几
个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检
查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；
如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学
解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过
程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何
知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性
质。
三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题
思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题
的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总
结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论
思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数
量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和
方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又
要防止轻易放弃。
中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点
多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴
题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件
不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，
创新品质得提高。
示例：（以2009年河南中考数学压轴题）
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，
0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求
出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线
段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作
PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角
形?请直接写出相应的t值.
解：(1)点A的坐标为（4，
8）…………………1分
将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b解得a=-,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x…………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.…………………5
分
∴EG=-t2+8-(8-t)=-t2+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为
2.…………………7分
②共有三个时
刻.………………
…8分
t1=，t2=，t3=
．…………………11分
中考数学《三类押轴题》专题训练
【第一类：选择题押轴题】
1、（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两
个不相等的实数根，那么
k的取值范围是【】
A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣
≤k＜且k≠0
2、（2008武汉市3分）下列命题：①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（）．
Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有
②③④．
3、（2012湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物
线的顶点所在的象限是【】
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
4、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的
图象如图所示，它与x轴的两个
交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．
其中正确的有【】
A．3个B．2个C．1个D．0个
5、（2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的
顶点A、B分别在
边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD
的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大
距离为（）
B
A．B．C．D．
6、（2012年福建3分）如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，
与AC、BC分别交于点E、F，则（）
A.
EF>AE+
=AE+≤AE+BF
7、（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形
ABCD中，过点A作AE
垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，
则CE＋CF的值为【】
A．11＋B．11－
C．11＋或11－D．11－或1＋
8、（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别
为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是
【】
A．B．2C．3D．
9.（2012湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：
墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，
否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个
不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【】．
A．B．C．D．
10、（2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=BC=6cm，点
P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动
点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿
BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′
为菱形，则t的值为【】
A.B.2C.D.4
11、（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线
段BO以点B为旋转中心逆时针
旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以
由△BOC绕点B逆
时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；
④；⑤．
其中正确的结论是【】
A．①②③⑤B．①②③④C．
①②③④⑤D．①②③
12、（2012湖北孝感3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60º，E、F分别是
AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，
其中正确的有【】
①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13、（2012湖南岳阳3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O
于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于
C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；
③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是
（）
A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
14、（2012山东东营3分）如图，一次函数的图象与轴，轴
交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别
过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．
有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④．其中正确的结论是()
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④
15、（2012湖北黄石3分）如图所示，已知
A，B为反比例
函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段
AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【】
A.B.C.D.
16、（2012浙江湖州3分）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，
P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两
点的二次
函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的
顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，
这两个二次函数的最大值之和等于【】
A．B．C．
3D．4
17、（2012山东省威海3分）已知：直线
（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为
则
18、（2012湖北鄂州3分）在平面坐标系中，正方
形ABCD的位置
如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于
点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，
第2012个正方形的面积为【】
A.B.
C.D.
19、（2012广西柳州3分）小兰画了一个函数
的图象如图，那么关于x的分式方程
的解是（）
A．x=1B．x=2
C．x=3D．x=4
20、（2012浙江宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定
理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”
的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，
可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得
到的，∠BAC=90O，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在
矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）
A、90B、100C、110D、121
21、（2010湖北十堰3分）如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中
点，AB=4，点E、F分别是线段
CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图
象是（）
D．
B
22、（2011湖北十堰3分）.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进
入后流经形如等腰直角三角形的
净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相
同，经过四层净化后流入底部的
五个出口中的一个。下列判断：
①5个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；
③1、2、3号出水口的出水量之比约为1：4：6；
④若净化材料损耗的速度与流经表面水的数量成正比，
则更换最慢的一个三角形材料约为更换最快的一个
三角形材料使用时间的8倍；
其中正确的判断有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【第二类：填空题押轴题】
1、（2012湖北武汉3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y
轴正半轴上的一点，点C是第
一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围
是．
2、（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A点从点（１，０）出发，以每秒１个
单位长的速度沿着x轴的正方向
运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，
且∠AOC=600，又以P（０，４）
为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在直线相切，则t=.
3、（2012湖北十堰3分）如图，直线y=6x，y=x分别与双曲线在第一象
限内交于点A，B，
若S△OAB=8，则k=．
4、（2011湖北十堰3分）.如图,平行四边形AOBC中,对角线交于点E,双曲线
经过A、E两点，
若平行四边形AOBC的面积为18，则k＝________.
5、（2009湖北十堰3分）已知函数的图象与轴、y轴分别交于点C、
B，与双曲线交于点
A、D,若AB+CD=BC，则k的值为．
6、（2012甘肃兰州3分）如图，M为双曲线y＝上的一点，过点M作
x轴、y轴的垂线，分别交直线
y＝－x＋m于点D、C两点，若直线y＝－x＋m与y轴交于点A，与x轴相交于
点B，则AD•BC的
值为。
7、（2011湖北武汉3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（-
1，0），B（0，-2），顶点
C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是
△ABE面积的5倍，
则k=.
8、(2012•河南省)如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作轴的垂线，
垂足分别为M,N，延长线段
AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k值
为
9、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M的圆
心坐标为（0，2），半径为1，
点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆
心N的坐标为．
10、（2012福建南平3分）如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，
以BG为边向外作正方形GBFE，
连结AE、AC、CE，则三角形AED的面积是_____________.
11、（2012攀枝花）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公
切线交于点D，且∠ADC=60°，
过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边
形ABCD的面积是．
12、（2012年安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边
中点与这两点的连线剪去两
个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，
则原直角三角形纸片的斜
边长是（）
A.10B.C.10
或D.10或
13、（2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以
AC、BC为斜边在AB的同侧
作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值
是．
14、（2012湖北黄冈3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自
的速度匀速向乙地行驶，快递车
到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返
回，直至与货车相遇．已知货车
的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间
的函数图象如图所示，现有以下
4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之
间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为(，75)；④快递车从
乙地返回时的速度为90千米／时．
以上4个结论中正确的是(填序号)
15、（2012湖北孝感3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的
对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确
的是(填正确结论的序号)．
①abc＜0；②a－b＋c＜0；
③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．
16、（2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：
①它的图象与轴有两个公共点；
②如果当≤1时随的增大而减小，则；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；
④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数
值为．
其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填
上）
17、（2012湖北随州4分）设，且1－ab2≠0，
则=.
18、（2012湖北鄂州3分）已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半
轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，
BC=，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使
OB1=OC，得到△OB1C1，将
△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的m倍，使
OB2=OC1，得到△OB2C2，……，如此继续
下去，得到△OB2012C2012，则m=。点C2012的坐标
是。
19、（2009湖北仙桃）如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边
作正方形OA1B1C1，记作第一个正
方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形
C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样
延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，
记作第三个正方形；…，依此类推，
则第n个正方形的边长为_________．
20、如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1的
坐标为(2，0)，若△P1OA1、△P2A1A2、…、△PnAn-1An均为等
边三角形，则An点的坐标是．
21、(2010湖北十堰3分)如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯
形的下底均在同一直线上，
设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边
形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一
计算S1，S2，…，可得Sn=.
N4(Pn)
【第三类：解答题押轴题】
一、对称翻折平移旋转类：
1、（2010年南宁）如图12，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长
度，再向上平移1个单位长度，
得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线
、与轴的交点，、
分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.
（1）分别写出抛物线与的解析式；
（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴
的对称点，试判断以、、
、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.
（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，
求出点的坐标，如果
不存在，请说明理由.
2、（福建2009年宁德市）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与
x轴相交于A、B两点
（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平
移，平移后的抛物线记为C3，
C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°
后得到抛物线C4．抛物线C4的
顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点
P、N、F为顶点的三角形是直角三
图1
2（1）
角形时，求点Q的坐标．（5分）
图2
3、(2010年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的
图象与x轴交于A、B两点，A点
在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P
是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在
点P，使四边形POPC为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐
标和四边形ABPC的最大面积.
二、动态：动点、动线类：
4、(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且
x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，
其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，当
△CPE的面积最大时求点P的坐标
(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为
等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y
5、（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝
4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿
BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速
运动，速度为2cm/s；连接PQ
若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平
分？若存在，求出此时t的值；
若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否
存在某一时刻t，使四边形
PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理
由．
图1
B
6、（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时
刻开始，点P、Q同时从A点
出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速
度沿A→B→C→D的方向运动
当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒
时，△APQ与△ABC重叠部分的
面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问
题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是
__________秒；
（3）求y与x之间的函数关系式．
P
7、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，，
，．以A为中心顺时
针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，
构成△ABC，设．
（第7题）
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？
三、圆类：
8、（2010青海）如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原
点，与x轴的另一个交点为B，
过B作⊙A的切线l.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析
式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此
切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长．
9、(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)的图象顶点为D与y轴交
于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，
0)，OB＝OC，OA:OC=1:3
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴
相切，求该圆的半径长度；
(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上
的一动点，当点P运动到什
么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面
积．
图1
图2
10、（2009年潍坊市）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心
在坐标原点，且与两坐标轴分
别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线
交于点，
且分别与圆相切于点和点．、
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，
说明理由．
A
11、（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线
交轴于点，交轴于，
两点（点在点的左侧）.已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直
线相切，请判断抛物线
的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点
运动到什么位置时，
(第11题)
的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.
12、如图，抛物线：与轴的交点为，与轴的交点为
，顶点为,
将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线,它的顶点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为，以为圆心，两点间的
距离为直径作⊙，试判
断直线与⊙的位置关系，并说明理由.
四、比例比值取值范围类：
13、（2010年怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-
4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不
变，得到一个新的图象，
请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共
点时，的取值范围.
图9
14、(湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分
别在x轴和y轴上，cm
OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA
方向以每秒cm的速度匀速运动
Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t
秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，
过线段BP上一动点M作
第26题图
轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形
OPBQ分成两部分的面积之比
15、（北京市2011年）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF
和以AB为直径的半圆所组成
的图形叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（，），B（，），
AE∥BF，且半圆与y轴的交点D
在射线AE的反向延长线上。
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取
值范围；
当一次函数的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取
值范围；
16、（河南2012年）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=
ax2+bx-3交于A、B两点，点
A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与
点A、B重合），过点P作x
轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D。
(1)求a、b的值；
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，
使这两个三角形的面积之比
为9:10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由。
五、探究型类：
17、（内江市2010）如图，抛物线与轴交于两
点，与轴交于点.
（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐
标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存
在，请说明理由.
18、（09年广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、
B、C三点，A点的坐标为
（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的
一个动点，过P作PH⊥OB于
点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是，b＝，c
＝；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ
相似？若存在，求出所有
t的值；若不存在，说明理由．
19、（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－
3，0)、B两点，与y轴相交于
点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函
数值y相等，连结AC、BC．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC
边运动，其中一个点到达终
点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将
△BMN沿MN翻折，B点恰好落在
AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为
顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
A
20、（四川成都2011年）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶
点在x轴上，顶点C在y轴
的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛
物线
经过A、B、C三点。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？
若存在，求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
六、最值类：
21、【2012黔东南州】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C
（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于
N，若点M的横坐标为m，
请用m的代数式表示MN的长，并求MN长的最大值．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若
存在，求m的值；若不存在，
说明理由．
22、【2012•恩施州】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，
0），C（2，3）两点，与y轴交
于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过
点E作EF∥BD交抛物线于点F
以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的
坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大
值．
23、【2012•湘潭】如图，抛物线的图象与x轴交于A、B
两点，与y轴交于C点，
已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求
出此时M点的坐标．
七、三角形、四边形类：
24、【2012菏泽】如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A
（0，1），B（2，0），O（0，0），
将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形
PB′A′B的面积是△A′B′O面积
4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出
四边形PB′A′B的两条性质．
25、【2012铜仁】如图，已知：直线交x轴于
点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、
C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO与
ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的
面积等于四边形APCE的面积？
如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
26、【2012贵州安顺】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长
OA、OC分别为12cm、6cm，
点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点
A、B，且18a+c=0．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由
点B开始沿BC边以2cm/s的
速度向终点C移动．
①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函
数关系式，并写出t的取值范围．
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R
为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
27、【2012•扬州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，
3)三点，直线l是抛物线的对
称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有
符合条件的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
28、【2012山西】：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交
于A．B两点，与y轴交于点C，
点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随
着P点的运动，在抛物线上
是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出符合条件的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
29．【2012宜宾】如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上。
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试
判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，
求点P的坐标；若不存在，请说明理由
八、实际应用类：
30、【2012安徽】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方
2m的A处发出，把球看成点，
其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知
球网与O点的水平距离为9m，
高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
第30题图
九、图像与图形信心类：
31、【2012无锡】如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P
从D点出发，以1cm/s的速度
沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面
积为Scm2，点P运动的时间
为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A．B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系
式．
32、（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动点E、F同时从点B
出发，点E沿折线BA—AD—
DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的
速度都是1cm/s．设E、F
出发ts时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其
中曲线OM为抛物线的一部分
MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；
(2)当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的
取值范围)；
(3)当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.
十、方程函数类：
33、【2012娄底】已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A
（x1，0）和点B（x2，0），
x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？
如果有，求出点P的坐标；
如果没有，请说明理由．