混沌系统
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2023年3月19日发(作者：小乙哥)典型的混沌系统...............................................................................................................................1
1.1一维混沌系统....................................................................................................................1
§1.1.1Logistic映射..........................................................................................................1
§1.1.2Chebyshev映射.....................................................................................................2
§1.1.3Logistic映射与Chebyshev映射..........................................................................3
§1.1.4概率密度函数PDF的作用.................................................................................3
1.2二维混沌系统(超混沌系统)..........................................................................................3
§1.2.1Henon映射............................................................................................................4
典型的混沌系统
混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不
收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。
按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型：
➢时间混沌；
➢空间混沌；
➢时空混沌；
➢功能混沌；
1.1一维混沌系统
一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下：
)(
1kk
xx
其中，x
k
V，k=0,1,2,3…，我们称之为状态。而:VV是一个映射，将当前状态
xk映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0开始，反复应用，就得到一个
序列{xk;k=0,1,2,3…..}。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。
原始的虫口模型方程是（37文）：
kk
axx
1
体现了两代虫子的数量关系。将此方程推导一下，可以得到如下方程：
0
xaxk
k
可以得到第n代虫子和第0代虫子的数量关系。
但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很
多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得
虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。
§1.1.1Logistic映射
一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic映射，它起源于虫口模型。其定义有
多种形式。
1．形式一
)1(
1kkk
xxx
其中，混沌域为(0,1)，04称为分枝参数，x
k
∈(0,1)。混沌动力系统的研究工作指出，
当3.5699456…<4时，logistic映射工作于混沌态。也就是说，由初始条件x0在logistic
映射的作用下所产生的序列{x
k
;k=0,1,2,3…..}是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感
的。
在=4的情况下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的概率密度函数PDF(probability
densityfunction)：
else
x
xx
x
0
10
)1(
1
表明此系统产生的混沌序列具有遍历性，并且它产生序列的PDF与初始值无关，这为将混
沌序列作为密钥置换网络的映射函数提供了理论支持。
2．形式二
2
1
1
kk
xx
其中[0,2]，混沌域为[-1,1]。当∈(1.40115,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（34
文）；当∈(1.5437,2)时，Logistic映射工作处于混沌状态。（35文）（具体看《从抛物线谈起》）
在=2的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF：
else
x
x
x
0
11
1
1
2
3．形式三
2
1kkk
xxx
当∈(3.5699,4)时，Logistic映射工作处于混沌状态。在接近4的范围内生长的混沌序列的
随机性比较好。（37文）
在=4的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF：（43文）
else
x
x
x
0
10
1
1
2
§1.1.2Chebyshev映射
Chebyshev映射，以阶数为参数。k阶Chebyshev映射定义如下：
))(coscos(1
1kk
xnx
其中x
k
的定义区间是(-1，1)。
§1.1.3Logistic映射与Chebyshev映射
上述第二类Logistic映射在=2的满射条件下，与Chebyshev映射是拓扑共轭的，它们
生成序列的概率分布函数PDF也是相同的：
else
x
x
x
0
11
1
1
2
§1.1.4概率密度函数PDF的作用
通过(x)，我们可以很容易地计算得到logistic映射所产生的混沌序列的一些很有意义
的统计特性。例如，x的时间平均即混沌序列轨迹点的均值是：
0)(
1
lim1
0
1
0
dxxxx
N
x
N
i
i
N
例如，关于相关函数，独立选取两个初始值x
0
和y
0
，则序列的互相关函数为：
0))()()(,(
))((
1
lim)(
1
0
1
0
1
0
)(
dydxyyxxyx
yyxx
N
lc
l
N
i
lii
N
例如，序列的自相关函数ACF(auto-correlationfunctions)则等于delta函数(l)。这正是
我们所需要的。
注意，联合概率密度函数pdf:(x,y)=(x)(y)。
Logistic序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于
白噪声，其具有形式简单，初始条件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。
1.2二维混沌系统(超混沌系统)
一维离散混沌系统，具有形式简单、产生混沌序列时间短等优点，但其缺点是密钥空间
太小。用二维超混沌系统生成的混沌序列，变换成加密因子序列。
Lyapunov指数（简称李氏指数），是刻画非线性系统混沌特性的有效方法之一，李氏指
数的个数与系统状态空间的维数n相同。如果只有一个李氏指数大于零，则系统是混沌的；
若至少有两个李氏指数大于零，则系统是超混沌的。大于零的李氏指数越多，系统不稳定的
程度越高。一般来说，系统的状态量个数越多（如高维系统，对离散系统来说，n>2），它
可能出现不稳定的程度越高。
不失一般性，二维混沌离散系统有如下形式：
),(
),(
21
11
nnn
nnn
yxfy
yxfx
其中
nnnnnnnn
nnnnnnnn
yxayayaxaxaayxf
yxayayaxaxaayxf
12
2
1110
2
9872
6
2
54
2
3211
),(
),(
式中a
i
（i=1,2,…12）式均为待定常系数。
采用高维系统产生超混沌，由于系统比低维情况复杂，产生超混沌时序的时间增长，将
有可能直接影响保密通讯实时性的要求。因此，如何在系统状态变量个数尽可能少而正性李
氏指数又尽可能多的条件下，寻找到非线性形式简单的系统，是十分实际而又有意义的工作。
为了寻找简单形式饿二维离散超混沌系统，需要进一步简化：
nnnnnnnn
nnnnnnnn
yxayayaxaxaayxf
yxayayaxaxaayxf
12
2
1110
2
9872
6
2
54
2
3211
),(
),(
使部分非线性项前面的系数为零，然后通过计算该系统的李氏指数，即有两个或两个以上大
于零的李氏指数，可认为该系统是超混沌特性的二维离散系统。
通过计算，得到一些形式简单且具有超混沌特性的二维离散系统，如下表：
系统序号二维离散方程参数值Lyapunov指数
1
nnn
nnn
yaxay
yayax
1081
2
541
a4=1.55a5=-1.3
a8=-1.1a10=0.1
0,238
0.166
2
nnn
nn
yaxaay
yax
10871
2
51
a5=1.3a7=-1.05
a8=1.15a10=-0.2
0.211
0.046
3
nnn
nnn
yaxaay
yaxax
10
2
971
421
a2=-0.95a4=1.55
a7=-0.45a9=2.4
a10=1.05
0.302
0.240
4
nnn
nnnn
yaxaay
yxayax
10871
641
a4=-0.95a6=-1.1
a7=0.55a8=1.55
a10=-1.8
0.175
0.065
§1.2.1Henon映射
Henon映射已是被广泛应用的一个二维混沌映射，其方程如下：
nn
nnn
bxy
axyx
1
2
1
1
当a∈[1.07,1.4]、b=0.3时，Henon映射存在混沌吸引子。