xex积分

xex积分

世界旅游景点-检查井标准图集

2023年3月18日发(作者：工程造价定额)

2437微积分初步习题

一、填空题（每小题4分，本题共20分）

⒈函数x

x

xf



4

)2ln(

1

)(的定义域是]4,1()1,2(．

⒉若2

4sin

lim

0



kx

x

x

，则k2．

⒊曲线xye在点)1,0(处的切线方程是1xy．

⒋e

1

2d)1ln(

d

d

xx

x

0．

⒌微分方程1)0(,



yyy的特解为xye

．

6函数24)2(2xxxf，则)(xf62x．

7.当

x

0时，

x

xxf

1

sin)(为无穷小量.

8.若y=x(x–1)(x–2)(x–3)，则y



(1)=2．

9.

xxxd)135(1

1

32．

10.微分方程1)0(,



yyy的特解为xye.

11.函数xxxf2)1(2，则)(xf12x．

1⒉

x

x

x

1

sinlim1．

1⒊曲线

xy

在点)1,1(处的切线方程是

2

1

2

1

xy．

1⒋若cxxxf2sind)(，则



)(xfin2x4s．

1⒌微分方程xyxyycos4)(7)5(3



的阶数为5．

16.函数74)2(2xxxf，则)(xf

32x．

17.若函数













0,

0,2

)(

2

xk

xx

xf,在0x处连续，则k2．

18.函数2)1(2xy的单调增加区间是).1[．

19.



dxex

0

2

2

1

．

20.微分方程

xyxyysin4)(5)4(3



的阶数为4．

21.设函数

54)2(2xxxf，则)(xf

12x．

22.设函数

















0,1

0,

2

sin

)(

x

xk

x

x

xf在x=0处连续，则k=1．

23.曲线1e)(xxf在)2,0(点的斜率是1．

24.

xxxd)235(1

1

34．

25.微分方程0)(42







yyyx的阶数是3．

26.函数

)2ln(

1

)(





x

xf的定义域是答案：2x且3x.

27.函数24

)2ln(

1

)(x

x

xf



的定义域是．答案：]2,1()1,2(

28.函数74)2(2xxxf，则)(xf．答案：3)(2xxf

29.若函数

















0,

0,1

3

sin

)(

xk

x

x

x

xf在0x处连续，则k．答案：1k

30.函数xxxf2)1(2，则)(xf．答案：1)(2xxf

31.函数

1

322







x

xx

y的间断点是．答案：1x

32.

x

x

x

1

sinlim．答案：1

33.若2

sin

4sin

lim

0



kx

x

x

，则k．答案：2k

34.曲线

1)(xxf

在)2,1(点的切斜率是答案：

2

1

35.曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是．答案：exy

36.已知xxxf3)(3，则)3(f



=．答案：3ln33)(2xxxf



，)3(f



=27（)3ln1

37.已知xxfln)(，则)(xf



=．答案：

x

xf

1

)(



，)(xf



=

2

1

x



38.若xxxfe)(，则



)0(f．答案：xxxxf



ee2)(，



)0(f2

39.函数yx312()的单调增加区间是．答案：),1(

40.函数

1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则

a

应满足．答案：0a

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）

⒈设函数xxysin，则该函数是（A）．

A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

⒉当k（C）时，函数













0,

0,2

)(

2

xk

xx

xf，在0x处连续.

A．0B．1C．2D．3

⒊下列结论中（C）正确．

A．)(xf在

0

xx处连续，则一定在

0

x处可微.

B．函数的极值点一定发生在其驻点上.

C．)(xf在

0

xx处不连续，则一定在

0

x处不可导.

D．函数的极值点一定发生在不可导点上.

⒋下列等式中正确的是（D）．

A.)cosd(dsinxxxB.)

1

d(dln

x

xx

C.)d(dxxaxaD.)d(2d

1

xx

x



⒌微分方程xyyxysin4)(53







的阶数为（B）

A.2；B.3；C.4；D.5

6.数

)1ln(

1

)(





x

xf的定义域是（C）．

A．),1(B．),1()1,0(C．),2()2,1(D．),2()2,0(

7.曲线1e2xy在2x处切线的斜率是（D）．

A．2B．2eC．4eD．42e

8.下列结论正确的有（B）．

A．若f



(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点

B．x0是f(x)的极值点，且f



(x0)存在，则必有f



(x0)=0

C．x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点

D．使)(xf



不存在的点x0，一定是f(x)的极值点

9.下列无穷积分收敛的是（A）．

A．



0

2dexxB．

1

d

1

x

x

C．

1

d

1

x

x

D．

0

dinxxs

10.微分方程

xyxyylncos)(2)4(3



的阶数为（D

4

6

lim

2

2

2



x

xx

x4

5

2

3

lim

)2)(2(

)2)(3(

lim

22















x

x

xx

xx

xx

）．

A.1；B.2；C.3；D.4

11.设函数

xxysin2，则该函数是（D）．

A．非奇非偶函数B．既奇又偶函数C．偶函数D．奇函数

12.当0x时，下列变量中为无穷小量的是（C）.

A．

x

1

B．

x

xsin

C．)1ln(xD．

2x

x

13.下列函数在指定区间(,)上单调减少的是（B）．

A．

xcos

B．x5C．2xD．x2

1⒋设c

x

x

xxf

ln

d)(，则)(xf（C）．

.

x

xln

C.

2

ln1

x

x

D.x2ln

1⒌下列微分方程中，（A）是线性微分方程．

A．xyyxyxlnesin







B．xxyyye2



C．yyxye







D．yyyx



ln2

16.设函数xxysin，则该函数是（B）．

A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

17.当x时，下列变量为无穷小量的是（A）.

A．

x

xsin

B．)1ln(xC．

x

x

1

sinD．

x

x

1

18.若函数f(x)在点x0处可导，则(D)是错误的．

A．函数f(x)在点x0处有定义B．函数f(x)在点x0处连续

C．函数f(x)在点x0处可．Axf

xx





)(lim

0

，但

)(

0

xfA

19.若

)0()(xxxxf

，则

xxfd)(（C）.

2

3

2

2

3

2

C.

cxx

2

3

2

3

2

2

1

20.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）

A.)(ln

d

d

yx

x

y

；

x

y

e

d

d

；

x

y

ee

d

d

；D.)ln(

d

d

yx

x

y



21.函数x

x

yln

4

1





的定义域为（D）．

A．0xB．4xC．0x且1xD．0x且4x

22.曲线xxfln)(在

ex

对应点处的切线方程是（C）．

e

1

B.1

e

1

xyC.1

e

1

xyD.1e

e

1

xy

23.下列等式中正确的是（D）．

A.)cosd(dsinxxxB.)

1

d(dln

x

xxC.)d(dxxaxaD.

)d(2d

1

xx

x



24.下列等式成立的是（A）．

A．)(d)(

d

d

xfxxf

x

B．)(d)(xfxxf

C．)(d)(dxfxxf

D．)()(dxfxf

25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）

x

y



d

d

；

x

y



d

d

；

x

y

sin

d

d

；D.)(

d

d

xyx

x

y



26.设函数

2

eexx

y







，则该函数是（B）．

A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

27.下列函数中为奇函数是（C）．

A．xxsinB．

2

eexx

C．)1ln(2xxD．2xx

28.函数)5ln(

4





x

x

x

y的定义域为（D）．

A．5xB．4xC．5x且0xD．5x且4x

29.设1)1(2xxf，则)(xf（C）

A．)1(xxB．2xC．)2(xxD．)1)(2(xx

30.当k（D）时，函数













0,

0,2

)(

xk

xe

xf

x

在0x处连续.

A．0B．1C．2D．3

31.当k（B）时，函数













0,

0,1

)(

2

xk

xx

xf，在0x处连续.

A．0B．1C．2D．1

32.函数

23

3

)(

2





xx

x

xf的间断点是（A）

A．2,1xxB．3xC．3,2,1xxxD．无间断点

33.若

xxfxcose)(，则)0(f



=（C）．

A.2B.1C.-1D.-2

34.设yxlg2，则dy（B）．

A．

1

2

d

x

xB．

1

d

x

x

ln10

C．

ln10

x

xdD．

1

d

x

x

35.设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（D）．

A．xxfd)2(cos2



B．xxxfd22sin)2(cos



C．xxxfd2sin)2(cos2



D．xxxfd22sin)2(cos





36.若

3sin)(axxf，其中

a

是常数，则



)(xf（C）．

A．

23cosaxB．ax6sinC．xsinD．

xcos

37.函数2)1(xy在区间)2,2(是（D）

A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增

38.满足方程0)(



xf的点一定是函数)(xfy的（C）.

A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点

39.下列结论中（Ａ）不正确．

A．)(xf在

0

xx处连续，则一定在

0

x处可微.

B．)(xf在

0

xx处不连续，则一定在

0

x处不可导.

C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D．函数的极值点可能发生在不可导点上.

40.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（B）．

A．xsinB．xeC．2xD．x3

三、计算题（本题共44分，每小题11分）

⒈计算极限

23

86

lim

2

2

2



xx

xx

x

．

原式2

1

4

lim

)1)(2(

)2)(4(

lim

22















x

x

xx

xx

xx

⒉设xxy3cosln，求yd.

⒊计算不定积分xxd)12(10

xxd)12(10=cxxx1110)12(

22

1

)12(d)12(

2

1

⒋计算定积分xxdln2e

1

5.计算极限

4

6

lim

2

2

2



x

xx

x

．

6.设xxy3cos5sin，求yd.

7.计算不定积分



x

x

xxx

d

sin33





x

x

xxx

d

sin33

=cxxxcos

3

2

ln32

3

8.计算定积分

0

dsin

2

xx

x

9.计算极限

6

23

lim

2

2

2



xx

xx

x

．

原式

5

1

3

1

lim

)3)(2(

)2)(1(

lim

22















x

x

xx

xx

xx

10.设xxy2cos，求yd.

11.计算不定积分xxd)12(10

xxd)12(10=cxxx1110)12(

22

1

)12(d)12(

2

1

12.计算定积分

2

0

dsinxxx

13.计算极限

23

4

lim

2

2

2



xx

x

x

．

原式4

1

2

lim

)1)(2(

)2)(2(

lim

22















x

x

xx

xx

xx

14.设

xyxcos2

，求yd

x

xyx

2

1

sin2ln2



.

15.计算不定积分xxxde

解：xxexd=cexexexexxxxd

16.计算定积分x

xx

d

ln1

13e

1



解：x

xx

d

ln1

13e

1



2ln12)ln1d(

ln1

13

3

1

1





e

exx

x

17.计算极限

4

23

lim

2

2

2



x

xx

x

解：原式

4

1

)2)(2(

)2)(1(

lim

2









xx

xx

x

18.计算不定积分x

x

x

d

)1(2



解：x

x

x

d

)1(2



=cxxx32)(1

3

2

)d(1)1(2

19.计算极限

9

32

lim

2

2

3



x

xx

x

．

解：原式

3

2

)3)(3(

)1)(3(

lim

3









xx

xx

x

20.设

x

yx

1

e1，求y



．

解：

2

1

1

1(2

1

e

x

x

yx







21.计算不定积分x

x

xde

11

2

解：

c

x

x

x

xxx111

2

e

1

dede

1

22.计算定积分xxxdcos2

0

解：xxxdcos2

0

=2

0

sin



xx

-xxdsin2

0

=2

0

cos

2



x=12

23.

4

23

lim

2

2

2



x

xx

x

．

解：

4

1

2

1

lim

)2)(2(

)1)(2(

lim

4

23

lim

22

2

2

2



















x

x

xx

xx

x

xx

xxx

24.

32

9

lim

2

2

3



xx

x

x

解：

2

3

4

6

1

3

lim

)1)(3(

)3)(3(

lim

32

9

lim

33

2

2

3



















x

x

xx

xx

xx

x

xxx

25.

45

86

lim

2

2

4



xx

xx

x

解：

3

2

1

2

lim

)1)(4(

)2)(4(

lim

45

86

lim

44

2

2

4



















x

x

xx

xx

xx

xx

xxx

26.计算极限

x

x

x

11

lim

0





．

解：

)11(

11

lim

)11(

)11)(11(

lim

11

lim

000













xx

x

xx

xx

x

x

xxx

27.计算极限

x

x

x4sin

11

lim

0





解：

x

x

x4sin

11

lim

0



)11(4sin

11

lim

)11(4sin

)11)(11(

lim

00











xx

x

xx

xx

xx

28.设xxy

1

2e，求y



．

解：)

1

(ee2

2

1

2

1

x

xxyxx



)12(e

1

xx

29.设xxy3cos4sin，求y



.

解：)sin(cos34cos42xxxy



30.设

x

yx

2

e1，求y



.

解：

2

1

2

1(2

1

e

x

x

yx







31.设

xxxycosln

，求y



.

解：)sin(

cos

1

2

3

2

1

x

x

xy



xxtan

2

3

2

1



32.设)(xyy是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd.

解：方程两边对

x

求导，得

于是得到x

xy

xy

yd

2

2

d







33.设2eecosyxyx，求yd．

解：方程两边对

x

求导，得

于是得到x

y

x

y

y

x

d

2e

esin

d







34.求微分方程yxy



e的通解

解：将原方程分离变量x

y

x

y

de

e

d



两端积分得通解为

35.求微分方程yyyxln



满足e)1(y的特解.

解：将原方程分离变量xx

yy

y

d

ln

d



两端积分得lnlny=lnCx

通解为y=eCx

将e)1(y代入通解，得1C，故特解为y=ex

36.求微分方程

xx

y

y

ln

1





的通解.

解此方程为一阶线性微分方程，且

x

xQ

x

xP

ln

1

)(,

1

)(，

则方程的通解为

37.求微分方程12



x

x

y

y满足初始条件

4

7

)1(y的特解．

解此方程为一阶线性微分方程，且1)(,

1

)(2xxQ

x

xP，

则方程的通解为

将初始条件

4

7

)1(y代入通解，得1C，于是满足初始条件的为

四、应用题

1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底边的边长为

x

，高为h，用材料为y，由已知

2

2

108

,108

x

hhx

令0

432

2

2





x

xy，解得6x是唯一驻点，

且

0

4322

2

6

3









x

x

y，

说明6x是函数的极小值点，所以当6x，3

36

108

h

2．用钢板焊接一个容积为43m的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40

元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为

x

，高为h，表面积为S，且有

2

4

x

h

所以,

16

4)(22

x

xxhxxS

令0)(



xS，得2x，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2hx时水箱的表面积最小.

此时的费用为1604010)2(S（元）

3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体底边的边长为

x

，高为h，用材料为y，由已知

2

2

108

,108

x

hhx

令0

432

2

2





x

xy，解得6x是唯一驻点，

因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6x是函数的极小值点，即当6x，3

36

108

h时用

料最省.

4.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最

省？

解：设容器的底半径为

r

，高为h，则其表面积为S，由已知hrV2，于是

2r

V

h



，则其表

面积为

令0



S，解得唯一驻点3π2

V

r，由实际问题可知，当3π2

V

r时可使用料最省，此时

3π

4V

h，即当容器的底半径与高分别为3π2

V

与3π

4V

时，用料最省．

5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两

块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？

解：设土地一边长为x，另一边长为

x

216

，共用材料为y

于是y=3

x

x

x

x

432

3

216

2

令

0



y

得唯一驻点

12x

（

12x

舍去）

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为

18时，所用材料最省.

6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高

为多少时用料最省？

解：设底边的边长为x，高为

h

，用材料为y，由已知

2

2

108

,108

x

hhx

令

0

432

2

2





x

xy

，解得6x是唯一驻点，

且0

4322

2

6

3









x

x

y，

说明6x是函数的极小值点，所以当6x，

3

36

108

h

时用料最省。

7.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底边的边长为

x

，高为h，用材料为y，由已知

2

2

108

,108

x

hhx

令0

432

2

2





x

xy，解得6x是唯一驻点，

且

0

4322

2

6

3









x

x

y，

说明6x是函数的极小值点，所以当6x，3

6

108

2

h用料最省.

8.用钢板焊接一个容积为43m的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱

的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？

解：设水箱的底边长为

x

，高为h，表面积为S，且有

2

4

x

h

所以,

16

4)(22

x

xxhxxS

令0)(



xS，得2x，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2hx时水箱的面积最小.

此时的费用为1604010)2(S（元）