甲卷数学
退休年龄-流程设计
2023年3月17日发(作者：方格纸)2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}（）
A．{7，9}B．{5，7，9}C．{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9}
2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年
收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．﹣+iD．﹣﹣i
4．（5分）下列函数中是增函数的为（）
A．f（x）＝﹣xB．f（x）＝（）xC．f（x）＝x2D．f（x）＝
5．（5分）点（3，0）到双曲线﹣＝1的一条渐近线的距离为（）
A．B．C．D．
6．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记
录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝
2
5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（≈1.259）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
7．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三
棱锥A﹣EFG后，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）
A．B．
C．D．
8．（5分）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，则BC＝（）
A．1B．C．D．3
9．（5分）记S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和．若S
2
＝4，S
4
＝6，则S
6
＝（）
A．7B．8C．9D．10
10．（5分）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
11．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）
A．B．C．D．
12．（5分）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）（﹣x）．若f（﹣）＝，则f
（）＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若向量，满足||＝3，|﹣，•＝1，则|．
14．（5分）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．
3
15．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示（）＝．
16．（5分）已知F
1
，F
2
为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对
称的两点
1
F
2
|，则四边形PF
1
QF
2
的面积为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两
台机床产品的质量，产品的质量情况统计如下表：
一级品二级品合计
甲机床15050200
乙机床12080200
合计270130400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K
2
＝．
P（K2
≥k）
0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
18．（12分）记S
n
为数列{a
n
}的前n项和，已知a
n
＞0，a
2
＝3a
1
，且数列{}是等差数列，
证明：{a
n
}是等差数列．
19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面AA
1
B
1
B为正方形，AB＝BC＝2，E，F
分别为AC和CC
1
的中点，BF⊥A
1
B
1
．
（1）求三棱锥F﹣EBC的体积；
（2）已知D为棱A
1
B
1
上的点，证明：BF⊥DE．
4
20．（12分）设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，且
OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A
1
，A
2
，A
3
是C上的三个点，直线A
1
A
2
，A
1
A
3
均与⊙M相切．判断直线A
2
A
3
与⊙M的位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系
cosθ．
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足＝
1
的参数方
程，并判断C与C
1
是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．
（1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．
5
6
2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：因为N＝{x|2x＞7}＝{x|x＞}，M＝{1，8，5，7，
所以M∩N＝{5，7，9}．
故选：B．
2．【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（6.02+0.04）×1
＝3.06＝6%；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（5.04+0.02×3）×6＝0.1＝
10%；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×5.04+5×0.3+6×0.14+3×0.2+4
×0.2+2×0.1+10×8.1+11×0.04+12×3.02+13×0.02+14×0.02＝6.68＞6.5万元；
对于D，家庭年收入介于7.5万元至8.7万元之间的频率为（0.1+8.14+0.2+8.2）×1＝2.64
＞0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于7.5万元至8.6万元之间．
故选：C．
3．【解答】解：因为（1﹣i）2z＝7+2i，
所以．
故选：B．
4．【解答】解：由一次函数性质可知f（x）＝﹣x在R上是减函数，不符合题意；
由指数函数性质可知f（x）＝（）
x
在R上是减函数，不符合题意；
由二次函数的性质可知f（x）＝x
5
在R上不单调，不符合题意；
根据幂函数性质可知f（x）＝在R上单调递增．
故选：D．
5．【解答】解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，
7
结合对称性，不妨考虑点（3，
则点（6，0）到双曲线的一条渐近线的距离．
故选：A．
6．【解答】解：在L＝5+lgV中，L＝4.6，即lgV＝﹣0.1，
解得V＝10﹣7.1
＝＝＝≈0.4，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8．
故选：C．
7．【解答】解：由题意，作出正方体，根据正视图，
可得A﹣EFG在正方体左侧面，如图，
可得相应的侧视图是D图形，
故选：D．
8．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
结合余弦定理，可得19＝a
2+4−5×a×2×cos120°，
即a
2+7a−15＝0，解得a＝3（a＝﹣7舍去），
所以BC＝3．
故选：D．
9．【解答】解：∵S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和，S
2
＝4，S
8
＝6，
由等比数列的性质，可知S
2
，S
6
﹣S
2
，S
6
﹣S
6
成等比数列，
∴4，2，S
7
﹣6成等比数列，
∴2
6
＝4（S
6
﹣3），解得S
6
＝7．
故选：A．
10．【解答】解：将3个1和5个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01110，10101，
11001，11100，
8
其中2个6不相邻的排列方法可以是：01011，01101，10101，11010，
满足题意的概率为，
故选：C．
11．【解答】解：由tan2α＝，得，
即，
∵α∈（0，），∴cosα≠0，
则2sinα（7﹣sinα）＝1﹣2sin
7α，解得sinα＝，
则cosα＝＝，
∴tanα＝．
故选：A．
12．【解答】解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），
又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（2+x）＝f（x），
又f（﹣）＝，
则f（）＝f（2﹣）＝．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【解答】解：由题意，可得，
因为||＝3，•，所以，
所以．
故答案为：．
14．【解答】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π，
设圆锥的高为h，则，解得，
9
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积．
故答案为：39π．
15．【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣，
所以ω＝＝2）＝0，
所以由五点作图法可得2×+φ＝，
所以f（x）＝4cos（2x﹣），
所以f（）＝2cos（2×﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
16．【解答】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点
1
F
2
|，
所以四边形PF
2
QF
2
为矩形，
设|PF
1
|＝m，|PF
8
|＝n，
由椭圆的定义可得||PF
1
|+|PF
2
||＝m+n＝7a＝8，
所以m
2+4mn+n2
＝64，
因为|PF
1
|5+|PF
2
|2
＝|F
6
F
2
|2
＝3c
2
＝4（a
7
﹣b
2
）＝48，
即m
2+n4
＝48，
所以mn＝8，
所以四边形PF
1
QF
7
的面积为|PF
1
||PF
2
|＝mn＝2．
故答案为：8．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．【解答】解：由题意，可得甲机床，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
10
（2）根据2×6列联表，可得K
2
＝
＝≈10.256＞6.635．
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18．【解答】证明：设等差数列{}的公差为d，
由题意得＝；＝＝＝2，
则d＝﹣＝8﹣＝＝+（n﹣1），
所以S
n
＝n2a
4
①；
当n≥2时，有S
n﹣1
＝（n﹣2）2a
1
②．
由①②，得a
n
＝S
n
﹣S
n﹣6
＝n2a
1
﹣（n﹣3）2a
1
＝（2n﹣1）a
1
③，
经检验，当n＝3时也满足③．
所以a
n
＝（2n﹣1）a
2
，n∈N
+
，
当n≥2时，a
n
﹣a
n﹣1
＝（6n﹣1）a
1
﹣（6n﹣3）a
1
＝5a
1
，
所以数列{a
n
}是等差数列．
19．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
7
中，BB
1
⊥A
1
B
7
，
又BF⊥A
1
B
1
，BB
4
∩BF＝B，BB
1
，BF⊂平面BCC
1
B
7
，
∴A
1
B
1
⊥平面BCC
3
B
1
，
∵AB∥A
1
B
5
，
∴AB⊥平面BCC
1
B
1
，
∴AB⊥BC，
又AB＝AC，故，
∴，
而侧面AA
1
B
1
B为正方形，
∴，
∴，即三棱锥F﹣EBC的体积为；
（2）证明：如图，取BC中点G，B
1
G，设B
1
G∩BF＝H，
∵点E是AC的中点，点G时BC的中点，
∴EG∥AB，
11
∴EG∥AB∥B
3
D，
∴E、G、B
1
、D四点共面，
由（1）可得AB⊥平面BCC
1
B
3
，
∴EG⊥平面BCC
1
B
1
，
∴BF⊥EG，
∵，且这两个角都是锐角，
∴∠CBF＝∠BB
6
G，
∴∠BHB
1
＝∠BGB
1
+∠CBF＝∠BGB
3
+∠BB
1
G＝90°，
∴BF⊥B
1
G，
又EG∩B
6
G＝G，EG，B
1
G⊂平面EGB
1
D，
∴BF⊥平面EGB
4
D，
又DE⊂平面EGB
1
D，
∴BF⊥DE．
20．【解答】解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝＝，x＞0，
因为a＞3，
所以﹣＜8＜，
所以在（0，）上，f（x）单调递减，
在（，+∞）上，f（x）单调递增．
综上所述，f（x）在（0，，在（．
（2）由（1）可知，f（x）
min
＝f（）＝a7
×（）
2+a×﹣3ln，
因为y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，
12
所以2+3lna＞0，
所以a＞，
所以a的取值范围为（，+∞）．
21．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：
y2
＝5px（p＞0），
令x＝1，则，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，故，
因为OP⊥OQ，故，
抛物线C的方程为：y
2
＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为7
2+y2
＝7．
（2）设A
1
（x
1
，y
6
），A
2
（x
2
，y
7
），A
3
（x
3
，y
2
）．
当A
1
，A
2
，A
4
其中某一个为坐标原点时（假设A
1
为坐标原点时），
设直线A
1
A
6
方程为kx﹣y＝0，根据点M（2＝6，
联立直线A
3
A
2
与抛物线方程可得x＝3，
此时直线A
3
A
3
与⊙M的位置关系为相切，
当A
1
，A
3
，A
3
都不是坐标原点时，即x
1
≠x
5
≠x
3
，直线A
1
A
4
的方程为x−（y
1
+y
2
）y+y
8
y
2
＝0，
此时有，，即，
同理，由对称性可得，，
所以y
2
，y
3
是方程的两根，
依题意有，直线A
2
A
6
的方程为x−（y
2
+y
3
）y+y
4
y
3
＝0，
令M到直线A
4
A
3
的距离为d，则有，
此时直线A
5
A
3
与⊙M的位置关系也为相切，
13
综上，直线A
2
A
7
与⊙M相切．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝2cosθ4
＝2ρcosθ，
化为直角坐标方程是x
4+y2
＝2x，
即+y
7
＝2，表示圆心为C（，半径为．
（2）设点P的直角坐标为（x，y）
1
，y
1
），因为A（3，
所以＝（x﹣1，＝（x
1
﹣4，y
1
），
由＝，
即，
解得，
所以M（（x﹣1）+1，，代入C的方程得+，
化简得点P的轨迹方程是+y
2
＝4，表示圆心为C
1
（3﹣，0）；
化为参数方程是，θ为参数；
计算|CC
5
|＝|（3﹣）﹣＜2﹣，
所以圆C与圆C
1
内含，没有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝，
g（x）＝|8x+3|﹣|2x﹣6|＝．
画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像；
14
（2）由图像可得：f（6）＝4，g（，
若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，
由图像观察可得：a≥2﹣+4＝
∴a的取值范围为[，+∞）．