- 📚 相关推荐文章
- 角动量守恒公式 推荐
- 角动量算符 推荐
角动量算符
土地契税税率-常用繁体字
2023年3月17日发(作者：行为研究)力学量
L
ˆ2
与
Lz
ˆ
的共同本征函数及对应能级研究
【摘要】：在研究角动量算符之前，我们在论文中先简述了算符的意义和角动量
的简单表达。接着，我们回到本次的研究课题，通过用球极坐标来表示算符，进
一步探讨L
ˆ2
和
Lz
ˆ
的关系，从而有了球谐函数
的概念，这也为下一步的能级研究做了前期铺垫。
【关键词】：角动量算符、本征值方程、球极坐标
【正文】
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，我们把动量和动量
算符的对应关系说成是：动量算符表示动量这个力学量。表示坐标的算符就是坐
标本身：
r
r
。
在经典力学中，动量为
p
、位置矢量为
r
的粒子绕坐标原点O点的角动
量是
prL*
，因而，量子力学中，角动量算符是
**rhi
prL
。
因为我们研究的课题是：力学量
L
ˆ2
与
Lz
ˆ
的共同本征函数及对应能级研究，所
以先要了解L
ˆ2
和
Lz
ˆ
的物理意义。L
ˆ2
表示的是角动量的平方算符，
Lz
ˆ
是角动量
算符
L
在直角笛卡尔坐标中的沿z方向的分量，具体表述如下：
角动量算符
pL
ˆ
r
ˆ
ˆ
在直角笛卡尔坐标中的三个分量是
).(
),(
),(
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
x
y
y
x
i
yx
z
x
x
z
i
xz
y
z
z
y
i
zy
pp
L
pp
L
pp
L
xy
z
zx
y
yz
x
角动量平方算符是
])()()[(-222
2
2222ˆˆˆˆ
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
yLLLLzyx
.（1.2）
为了讨论角动量算符的本征值方程，我们把这些算符用球极坐标来表示。注意到
迪卡儿坐标x,y,z和球极坐标r,θ,φ之间的关系：
x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ;
.tan,cos,r2222
x
y
r
z
zyx
将2222zyxr两边对x求导数，得
,cossin
x
r
xr
同样可求出.,
r
z
r
y
将
r
z
cos两边对x求偏导数，得
,coscos
1
sin
1
x2
rx
r
r
z
同样可求出
z
,
y
再将
y
x
tan两边对x求偏导数，得
,
sin
sin
sec
1
x22
rx
y
同样可以求出
zy
,.利用这些关系式可以求得
O
P
θ
φ
r
y
x
z
（1.1）
（1.3）
.sin
1
cos
,
sin
sin1
coscos
1
sinsin
,
sin
sin1
coscos
1
sinsin
rrzzrz
r
z
rrr
yyry
r
y
rrr
xxrx
r
x
将（1.4）式代入（1.1），（1.2）式中，得到用球极坐标表示的LLLLzyx
ˆˆˆˆ2,,和的
式子：
;
),sincot(cos
),coscot(sin
ˆ
ˆ
ˆ
i
i
i
L
L
L
z
y
x
由此可得
].
sin
1
)(sin
sin
1
[
,
],cossin)csc(cotsincot
sincotcossincot2[cos
],cossin)csc(cotcoscot
coscotcossincot2[sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
22
2
2
2
22
2
222
2
2
22
2
2
2
22
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L
L
L
L
z
y
x
（1.6）
由（1.6）式，
L
ˆ2的本征值方程可写为
（1.4）
（1.5）
),(),(]
sin
1
)(sin
sin
1
[-2
2
2
2
2
YY
（1.7）
或
),,(),(]
sin
1
)(sin
sin
1
[
2
2
2
YY
（1.8）
),(Y是2ˆ
L算符的本征函数，属于本征值2。
方程（1.8）的解在数学物理方法中讨论过，为使),(Y在θ变化的闭区间
[0,π]上都是有限的，必须有
),1(lll=0,1,2,….
（1.9）
方程（1.8）的解是球谐函数:),(Ylm
.,,3,2,1),,()1(),(
,,,2,1,0,)(cos)1(),(Y
lm
lme
YY
P
N
ml
m
lm
im
m
l
lm
m
lm
（1.10）
式中)(cosPm
l
是连带勒让德（associatedLegendre)多项式，Nlm
是归一化因
子。由),(Ylm
的正交归一化条件：
,sin),(),(
00
Ymmll
mllm
ddY
（1.11）
.,,2,1,0lm可以算出
.
4)!(
)12()!(
lmml
lmlN
（1.12）
由上面的结果知2ˆ
L的本征值是,)1(2ll所属的本征函数是),(Ylm
：
).,()1(),(2
2ˆYY
Llmlm
ll
（1.13）
因为l表征角动量的大小，所以称为角量子数，m则称为磁量子数。由（1.10）
式可知，对应于一个l的值，m可以取)12(l个值，因而对应于2ˆ
L的一个本征值
,)1(2ll有)12(l个不同的本征函数Ylm
。我们把这种对应于一个本征值有一个
以上的本征函数的情况称为简并，把对应于同一个本征值的本征函数的数目称为
简并度；2ˆ
L的本征值是)12(l度简并的。
由（1.5）式和（1.10）式，有
).,(),(ˆYY
Llmlm
z
m（1.14）
即在Ylm
态中，体系角动量在z轴方向的投影是
.
z
mL
这样，由方程（1.13）和（1.14）可见，球谐函数),(Ylm
是L
ˆ2和Lz
ˆ共
同的本征函数。这就是Ylm
作为方程（1.8）的本征函数，其含φ的本征函数采
用ime而不是)cos,(sinmm的原因。
一般称0l的态为s态，,3,2,1l的态依次称为p，d，f，…态。处于这
些态的粒子，依次简称为s，p，d，f，…粒子。
下面列出前面几个球谐函数：
.)(
32
15
sin
32
15
)(
8
15
cossin
8
15
,
)2(
16
5
)1cos3(
16
5
,
)(
8
15
cossin
8
15
,)(
32
15
sin
32
15
8
3
sin
8
3
,
4
3
cos
4
3
,
8
3
sin
8
3
,
4
1
222
2,2
2
2
1,2
2
222
2
0,2
2
2
1,2
222
2,2
1,1
0,1
1,1
0,0
r
iyx
e
r
iyx
e
r
yxz
r
iyx
e
r
iyx
e
r
iyx
e
r
z
r
iyx
e
i
i
i
i
i
i
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
，
【参考文献】：量子力学教程（第二版）