指数函数知识点总结
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2023年3月17日发(作者：购房资格查询系统)学习必备欢迎下载
指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果axn，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈N*．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
00n。
当
n
是奇数时，aan
n，当
n
是偶数时，
)0(
)0(
||
a
a
a
a
aan
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)1,,,0(*nNnmaaan
m
n
m
)1,,,0(
11
*nNnma
a
a
a
n
m
n
m
n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
ra
·
srraa
),,0(Rsra；
（2）
rssraa)(
),,0(Rsra；
（3）
srraaab)(
),,0(Rsra．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函
数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>10
00
定义域R定义域R
值域y＞0值域y＞0
在R上单
调递增
在R上单
调递减
非奇非偶
函数
非奇非偶
函数
函数图象
都过定点
（0，1）
函数图象
都过定点
（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
)1a0a(a)x(fx且值域是
)]b(f),a(f[
或
)]a(f),b(f[
（2）若0x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；
（3）对于指数函数
)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；
指数函数·例题解析
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【例1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y3(2)y(3)y
1
2x＝＝＝
213321xx
解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2
x+2
－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．
(3)由3－3
x-1
≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，
∴值域是≤＜．0y3
练习：
（1）4
1
2xy
；（2）||
2
()
3
xy；（3）1241xxy；
【例2】指数函数y＝a
x
，y＝b
x
，y＝c
x
，y＝d
x
的图像如图2．6－2所示，
则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C．b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b
解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，
则得b＜a＜1＜d＜c．
练习：指数函数①②满足不等式,则它们的图象是
().
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【例3】比较大小：
(1)2
(2)0.6
、、、、的大小关系是：．24816
3
2
3589
4
5
1
2
()
(3)4.5
4.1
________3.7
3.6
解(1)
y221()x
∵，，，，，
函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，
又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．
22224282162
1
3
3
8
2
5
4
9
1
2
284162
1
2
3
1
3
5
2
5
8
3
8
9
4
9
3859
解(2)0.611
0.6
∵＞，＞，
∴＞．
4
5
1
2
4
5
1
2
3
2
3
2
()
()
解(3)借助数4.5
3.6
打桥，利用指数函数的单调性，4.5
4.1
＞4.5
3.6
，作函数y
1
＝
4.5
x
，y
2
＝3.7
x
的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.5
3.6
＞3.7
3.6
∴4.5
4.1
＞3.7
3.6
．
说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数
的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小
时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥
梁，这个新的幂具有与4.5
4.1
同底与3.7
3.6
同指数的特点，即为4.5
3.6
(或
3.7
4.1
)，如例2中的(3)．
练习：（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8
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(3)1.70.3与0.93.1（４）
5.31.2
和
7.20.2
【例4】
解
比较大小与＞且≠，＞．
当＜＜，∵＞，＞，
aa
a
a
a
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
1
1
1
1
1
1
1
1
(a0a1n1)
0a1n10
()
()
∴＜，∴＜
当＞时，∵＞，＞，
∴＞，＞
aaa
nn
aaa
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
()
()
()
1
a1n10
1
【例5】作出下列函数的图像：
(1)y(2)y22x＝＝－，()
1
2
1x
(3)y＝2
|x-1|
(4)y＝|1－3
x
|
解(1)y(264)(0)(11)
y1
＝的图像如图．－，过点，及－，．
是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．
()
()
1
2
1
2
1
2
1x
x
解(2)y＝2
x
－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2
x
的图像向下平移2个单位得到
的．
解(3)利用翻折变换，先作y＝2
|x|
的图像，再把y＝2
|x|
的图像向右平移1
个单位，就得y＝2
|x-1|
的图像(如图2．6－6)．
解(4)作函数y＝3
x
的图像关于x轴的对称图像得y＝－3
x
的图像，再把y
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＝－3
x
的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下
方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)
【例8】已知＝＞f(x)(a1)
a
a
x
x
1
1
(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)
证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
解(1)定义域是R．
f(x)f(x)－＝＝－，
a
a
a
a
x
x
x
x
1
1
1
1
∴函数f(x)为奇函数．
(2)yy1a1y1x函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，
a
a
y
y
y
y
x
x
1
1
1
1
1
1
0
即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两个值x
1
、x
2
∈(－∞，＋∞)且x
1
＜x
2
．f(x
1
)－f(x
2
)
＝＝，∵＞，＜，＜，＋
＋＞，∴＜，故在上为增函数．
a
a
a
a
aa
aa
aaa
a
x
l
x
l
x
x
x
l
x
x
l
x
xxx
x
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
11
()
()()
a1xx(1)
(1)0f(x)f(x)f(x)R
12
12
单元测试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、化简
111
11
32168
421212121212
，结果是（）
A、
1
1
32
1
12
2
B、
1
1
3212
C、
1
3212D、
1
32
1
12
2
2、
44
36
63
99aa
等于（）
A、16aB、8aC、4aD、2a
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3、若1,0ab,且22bbaa,则bbaa的值等于（）
A、
6
B、2C、2D、2
4、函数2()1xfxa在R上是减函数，则
a
的取值范围是（）
A、1aB、2aC、2aD、12a
5、下列函数式中，满足
1
(1)()
2
fxfx的是()
A、
1
(1)
2
xB、
1
4
xC、2xD、2x
6、下列2()(1)xxfxaa是（）
A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数
7、已知,0abab，下列不等式（1）22ab；(2)22ab；(3)
ba
11
；(4)
11
33ab；
(5)
11
33
ab
中恒成立的有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
8、函数
21
21
x
x
y
是（）
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
9、函数
1
21x
y
的值域是（）
A、,1B、,00,C、1,D、(,1)0,
10、已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
11、
2
()1()(0)
21x
Fxfxx
是偶函数，且()fx不恒等于零，则()fx()
A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值
a
万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则
n
年后这批设备
的价值为（）
A、(1%)nabB、(1%)anbC、
[1(%)]nabD、(1%)nab
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13、若
103,104xy，则10xy。
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14、函数
22811
(31)
3
xx
yx
≤≤的值域是。
15、函数2233xy的单调递减区间是。
16、若21(5)2xfx，则(125)f。
三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、设01a，解关于
x
的不等式22232223xxxxaa。
18、已知3,2x，求
11
()1
42xx
fx的最小值与最大值。
19、设aR，
22
()()
21
x
x
aa
fxxR
，试确定
a
的值，使()fx为奇函数。
20、已知函数
2251
3
xx
y
，求其单调区间及值域。
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21、若函数4323xxy的值域为1,7，试确定
x
的取值范围。
22、已知函数
1
()(1)
1
x
x
a
fxa
a
(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明
()fx是R上的增函数。
指数与指数函数同步练习参考答案
一、
题号1112
答案ACCDDBCADAAD
二、13、
4
3
14、
9
9
1
,3
3
，令222812(2)9Uxxx，∵31,99xU≤≤≤≤,
又∵
1
3
U
y
为减函数，∴
9
9
1
3
3
y
≤≤。
15、0,，令23,23UyUx，∵3Uy为增函数，∴2233xy的单调递减区间
为0,。
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16、0，3221(125)(5)(5)220fff
三、17、∵01a,∴xya在,上为减函数，∵22232223xxxxaa,∴
222322231xxxxx
18、
2
2
1113
()14212212
4224
xxxxx
xx
fx
,
∵3,2x,∴
1
28
4
x≤≤.
则当
1
2
2
x,即1x时,()fx有最小值
4
3
；当28x,即3x时，()fx有最大值57。
19、要使()fx为奇函数，∵xR,∴需()()0fxfx,
∴
1222
(),()
212121
x
xxx
fxafxaa
,由
122
0
2121
x
xx
aa
,得
2(21)
20
21
x
x
a
,1a。
20、令
1
3
U
y
,225Uxx，则y是关于U的减函数，而U是,1上的减函数，
1,上的增函数，∴
2251
3
xx
y
在,1上是增函数，而在1,上是减函
数，又∵2225(1)44Uxxx≥,∴
2251
3
xx
y
的值域为
41
0,
3
。
21、243232323xxxxy，依题意有
2
2
(2)3237
(2)3231
xx
xx
≤
≥
即
124
2221
x
xx
或
≤≤
≥≤
，∴224021,xx或≤≤≤
由函数
2xy的单调性可得(,0][1,2]x。
22、（1）∵定义域为xR,且
11
()(),()
11
xx
xx
aa
fxfxfx
aa
是奇函数；
（2）
1222
()1,11,02,
111
x
x
xxx
a
fxa
aaa
∵
即()fx的值域为1,1；
（3）设
12
,xxR,且
12
xx，
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1212
1212
12
1122
()()0
11(1)(1)
xxxx
xxxx
aaaa
fxfx
aaaa
(∵分母大于零，且12
xxaa)
∴()fx是R上的增函数。