常见等价无穷小
-
2023年3月16日发(作者：堤角公园)等价无穷小求函数极限
1绪论
1.1研究背景和意义
极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。现有的极限问题
的求解方法主要有以下几种:定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函
数极限四则运算和洛必达法则。函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从
近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。其中，运用
等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷
的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。虽说
无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有
其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为
一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为
简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成
部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。研究等价
无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在
数学计算中的作用。等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的
方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化
计算。等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用
更简便的方法解决实际问题。用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工
具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对
等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无
穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。利用等价无穷小量求极限，只对所求
极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或
相减部分则说明不能随意替代。
针对等价无穷小求函数极限的问题本文将进行以下研究：
(1)等价无穷小求函数极限的相关概念；
(2)等价无穷小代换再求函数极限问题中的相关定理及证明；
(3)等价无穷小的应用。
1.2研究现状
等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一。在数学分析和高
等数学中等价无穷小的性质虽然仅仅在“无穷小的比较”中出现过,但是,在判定
广义积分、级数的敛散性时，无穷小也表现出了很好的性质,这说明等价无穷小
量的性质正在逐步推广。
目前,随着技术的进步及迅速发展,社会各个领域中等价无穷小量的作用越来
越突出，我们相信,在不久的将来,等价无穷小量将会延伸到更多领域,并且会对我
们人类产生更深远的影响。
虽然人们对等价无穷小量的研究范围逐渐扩大，研究形式日益广泛，研究内
容日益深入，研究成果不断出新，但仍然存在许多问题等待我们新时期的学术爱
好者去共同探讨,一起解决，因此，对等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
的意义和作用还需要我们更加深入的对其进行探讨和学习研究。
在数学分析中,求函数的极限是最基本的问题之一,也是数学分析学习的重
点。在这些求极限的问题中,最不好掌握的便是
0
0
型这类不定式的极限,一般见到
这一类型的问题,最容易想到的便是洛比达法则。事实上,洛必达法则也不是万能
的,一些问题可能会越用越复杂,并且出现循环,求不出结果。例如一个求极限问
题
[1]
0
sin(tan)
tan(sin)
lim
x
x
x
,它是一个
0
0
型的不定式极限。用洛比达法则求解如下,
原式
1
2
1
2
2
2
0
0
0
1
2
1
2
tan(sin)
sin(tan)
sin(tan)
tan(sin)
[sin(tan)]
cos(tan)sec
lim
lim
[tan(sin)]
sec(sin)cos
lim
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
,
出现了循环,此时用洛必达法则求不出结果。用等价无穷小量来替换,原式
0
0
1
sin
tan
lim
lim
x
x
x
x
x
x
,
由此可见洛必达法则并不是万能的,也不一定是最
佳的,
它的使用也具有局限性。在这里我们看到了等价无穷小量有着无可比拟的
作用,用等价无穷小量来替换能够很快地求出结果。
等价无穷小量替换是计算极限的一种重要方法,然而在目前流行使用的许多
版本的数学分析教材中,一般只给出了两个无穷小量积和商的形式等价无穷小量
替换定理,接着就强调:只有对所求的极限式中相乘或相除的因式才能用等价无
穷小量来替换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意替换[2]。
1.3文章结构
本文研究的主要对象为等价无穷小函数极限的相关问题，文章的结构如下：
第一章绪论。本章节中在查阅大量的文献资料的基础上，主要对等价无穷
小求函数极限的研究背景研究意义以及研究现状进行了介绍。
第二章基础知识。本章节的主要内容是对等价无穷小以及等价无穷小在求
解函数极限中应用的相关概念、定理进行了介绍，主要包括等价无穷小定义，无
穷小与函数求极限的关系以及等价无穷小代换及其推广相关定理的证明。
第三章等价无穷小求函数极限的应用及推广。本章节中主要对等价无穷小
在求函数极限中的具体应用进行了研究介绍，主要包括等价无穷小在求有限个函
数积或商的运算、在极限式中的加减运算、乘方运算以及变上限定积分求解等方
面的应用进行了介绍。
最后，针对本文所学习研究的内容进行了总结。
2基础知识
本文中将对等价无穷小求函数极限的相关概念和方法进行学习研究，本章节
中主要对其中的一些概念和定义进行介绍，包括等价无穷小的定义，无穷小代换
定理、推广以及相关定理证明等。
2.1等价无穷小相关概念
2.1.1相关定义
定义2.1：对于函数
()fx
的极限趋近方式，主要有7种，包括n数列
n
x
的极限、x（x、x）函数xf的极限、
0
xx（
0
xx、
0
xx）
函数
()fx
的极限，这里，本文中对上述的7种趋近方式进行总结归纳，定义x
＊表示上述某一种趋近方式，即
＊
000
;;;;;;nxxxxxxxxx
定义2.2[2]：当在给定的x＊下，
()fx
以零为极限，则称
()fx
是x＊
下的无穷小，即0lim
xf
x＊
。下面给出几个简单的无穷小量的例子，如下所示：
例2.1(1),0sinlim
0
x
x
函数
sinx
是当
0x
时的无穷小量;
(2)
,0
1
lim
xx
函数
1
x
是当x时的无穷小量;
(3),0
)1(
lim
n
n
n
函数
(1)
{}
n
n
是当n时的无穷小量。
这里需要我们注意的是，无穷小不等同于很小的数；根据上面对无穷小的定
义，零是唯一一个可以看作是无穷小的常数，除此之外的任意常数都不是无穷小。
定义2.3[2]设当
0
xx时,
f
与g均为无穷小量,若
0
()
lim1
()xx
fx
gx
,则称
f
与g
是当
0
xx时的等价无穷小量。记作
0
()~()()fxgxxx。
不难看出等价无穷小量是等价关系,具有如下性质:
性质1:设函数,,fgh在0
0
()x内有定义,且()fx~()gx
0
()xx,
()gx~
0
()()hxxx，则等价无穷小量有如下性质：
()i反身性:
0
()~()()fxfxxx;
)
(ii对称性:若
0
()~()()fxgxxx,则
0
()~()()gxfxxx;
)
(iii传递性:若
0
()~()()fxgxxx,
0
()~()()gxhxxx,
则
0
()~()()fxhxxx。
证
()i
00
()
limlim11
()xxxx
fx
fx
0
()~()()fxfxxx。
)
(ii
0
()
lim1
()xx
fx
gx
00
0
()11
limlim1
()()
()
lim
()()
xxxx
xx
gx
fxfx
fx
gxgx
。
0
()~()()gxfxxx。
)
(iii
00
()()
limlim1
()()xxxx
fxgx
gxhx
000
()()()()()
limlimlim
()()()()()xxxxxx
fxfxgxfxgx
hxhxgxgxhx
00
()()
limlim1
()()xxxx
fxgx
gxhx
0
()~()()fxhxxx
2.1.2常见的等价无穷小
当时，有如下等价无穷小：
(1)
xsin
～x；(2)
xarcsin
～x；(3)xtan～x；
(4)xarctan～x；(5)
)1ln(x
～x；(6)1xe～x
(7)xcos1～
2
2x
(8)1)1(x～x(9)1xa～lnax
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
,1lim
lim
=0，即
()o
，于是有
()o。
如
sin()xxox
，22
1
cos1()
2
xxox
。
2.1.3无穷小与函数极限的关系
定理2.1：
0
lim()()(),
xx
x
fxAfxAx其中)(x是自变量在同一变化过
程
0
xx（或x）中的无穷小。
证：（必要性）设
0
lim()
xx
fxA，令()(),xfxA则有
0
lim()0,
xx
x
).()(xAxf
（充分性）设
()(),fxAx其中
()x是当
0
xx时的无穷小，则
00
lim()lim(())
xxxx
fxAx)(lim
0
xA
xx
.A
上述内容(定理2.1)给出了无穷小在求函数极限中的等价关系，通过定理
2.1可以将一般的函数极限求解问题转化为求解无穷小相关的函数极限的特殊
问题，同时给出了函数
()fx
在
0
x附近的近似表达式
()fxA
，误差为
()x。
2.1.4无穷小的运算性质
定理2.2：对于同一趋近过程中的有限个无穷小量，他们的代数和仍是无穷
小量。(注：定理2.2成立的条件是对有限个无穷小量而言，而无穷多个无穷小量
的代数和未必是无穷小。)
例2.2n时，
1
n
是无穷小量，但是n个
1
n
无穷小量之和为1，不是无穷小量。
定理2.3：有界函数乘以一个无穷小量其结果仍然是无穷小量。
例2.3
0
1
)1(lim
n
n
n
，
0
1
sinlim
0
x
x
x
，
0sin
1
lim
x
xx
，三个函数在对应的趋近
过程中，可以表示成一个有界函数与无穷小量的乘积，其结果仍然是无穷小量。
推论2.1：在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。
推论2.2：常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2.3：有限个无穷小的乘积也是无穷小。
例2.422
1
0,,,sin,sinxxxxx
x
当时都是无穷小，
观察各极限：
(1)
x
x
x3
lim
2
0
=0,2x比
3x
的下降速度要快的多；
(2)
x
x
x
sin
lim
0
,1两者(sinx、x)的下降速度大致相同；
(3)
2
2
0
1
sin
lim
x
x
x
xxx
1
sinlim
0
的极限不存在，两者不具有可比性。
由上述例子可以看出对于不同的无穷小量，其趋向于零的“快慢”程度不同。
2.2等价无穷小代换定理及证明
定理2.4[2]：设函数,,fgh在0
0
()x内有定义,且有：
0
()~()()fxgxxx
()i
若
0
lim()(),
xx
fxhxA
则
0
lim()();
xx
gxhxA
)
(ii
若
0
()
lim,
()xx
hx
B
fx
则
0
()
lim.
()xx
hx
B
gx
注2.1：定理1称为“等价无穷小量替换定理”[2],说明了在对所求极限
式中相乘或相除的因式可用等价无穷小量来替换。
注2.2：应用等价无穷小量替换,必须记住一些常用的等价无穷小量。
当0x时,常见的等价无穷小量有[4]:
(1)~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1;xxxxxxxe
(2)11~;nx
x
n
(3)1~ln(01);xaxaaa且
(4)(1)1~();xxR
2
1
(5)1cos~;
2
xx
2
1
(6)sec1~.
2
xx
上面所列的等价无穷小量可用洛必达法则直接证明（证明从略）。
注2.3在利用等价无穷小量替换时,还要记住一些极限公式,如两个重要极
限
1
00
sin
1,(1)
limlimx
xx
x
x
e
x
[2]和
0
1
limx
x
x
[5]等。
例如，
0
13
1arctan
lim
2
xx
xx
x
，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.
32
14
lim
2
1
xx
x
x
求
解：)32(lim2
1
xx
x
,0商的法则不能用
)14(lim
1
x
x
又,03
14
32
lim
2
1
x
xx
x
.0
3
0
由无穷小与无穷大的关系,得.
32
14
lim
2
1
xx
x
x
定义2.4：设
,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
0。
(1)lim0,,();o
如果就说是比高阶的无穷小记作
;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果
CC
lim1,~;
特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作
(3)lim(0,0),.
k
CCkk
如果就说是的阶的无穷小
例2.5证明当0x时，34tanxx为x的四阶无穷小量。
证：
4
3
0
tan4
lim
x
xx
x
3
0
)
tan
(lim4
x
x
x
=4，
因此，当
0x
时，34tanxx为x的四阶无穷小量。
例2.6求解函数
tansinxx
关于x的阶数(
0x
)。
解:
3
0
sintan
lim
x
xx
x
)
cos1tan
(lim
2
0x
x
x
x
x
1
2
，
函数tansinxx关于x的阶数等于3。
定理2.5：
.limlim,lim~,~
则存在且设
证：
lim)lim(
例2.7求下列函数极限（1）
2
0
tan2
lim.
1cosx
x
x
；（2）
1cos
1
lim
2
0
x
ex
x
解：(1)
.2~2tan,
2
1
~cos1,02xxxxx时当
故原极限
2
0
2
(2)
lim
1
2
x
x
x
=8
(2)原极限=
2
lim
2
2
0x
x
x
=
2
1
例2.8.
2sin
sintan
lim
3
0x
xx
x
求
解:
,0时当x有
,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx,
2
1
~3x
故原极限
3
3
0
1
2
lim
(2)x
x
x
.
16
1
在一般情况下，等价无穷小的和、差不能进行等价代换，只有因子乘积形式
的等价无穷小量才能进行代换。
例2.9求解函数极限
0
tan5cos1
lim
sin3x
xx
x
解:
),(5tanxoxxsin3x=3x+
()ox，1-cosx=2
1
2
x+2()ox
原式=
22
0
1
5()()
2
lim
3()x
xoxxox
xox
x
xo
x
xo
x
x
xo
x)(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
2.3等价无穷小代换定理推广及证明
定理2.6：设函数(),(),()
ii
fxgxhx在0
0
()x内有定义,且有
0
,)
()~()()(1,2,
ii
n
fxgxxxi。
()i
若
0
1
lim()(),
i
xx
n
i
fxhxA
则
0
1
lim()()
i
xx
n
i
xhxAg
;
)
(ii
若
0
1
lim,
()
()
xx
i
n
i
B
f
x
hx
则
0
1
lim
()
()
xx
i
n
i
B
g
x
hx
。
证：()i对n用数学归纳法证之。
①当
1n
时,由定理1可知,命题
()i
成立;
②假设当
(1)nkk
时命题
()i
成立,即“若
0
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
”成立,则当1nk时,只要能证明“若
0
1
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
”成立即可。
而
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxg
0
0
121
121
lim()()()()()
lim[()()()()]()
kk
xx
kk
xx
gxgxgxgxhx
gxgxgxhxgx
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
lim[()()]()
lim[()()]()
()
lim[()()]()
()
ik
xx
ik
xx
k
ik
xx
k
k
i
k
i
k
i
xhxgx
fxhxgx
fx
fxhxgx
fx
g
0
1
1
1
1()
lim[()()]
()
k
i
xx
k
k
i
gx
fxhx
fx
00
1
1
1
1()
lim[()()]lim
()
k
i
xxxx
k
k
i
gx
fxhx
fx
1AA。
这就证明了当1nk时,若
0
1
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
是成
立的。
综上①②可知命题
()i
成立。
)
(ii
命题
)
(ii
的证明与命题
()i
的证明相仿,在此从略。
注2.5：定理2中的
,AB
均可以为有限实数,也可以为或。
注2.6：定理2显然是定理1的直接推广。说明了有限个函数积或商的极限
若存在（或,）,则其中全部或部分无穷小量可用其等价无穷小量来替换。
注2.7：定理2在使用上把定理1局限于两个无穷小量积或商的极限替换,
扩大到任意有限个无穷小量积或商的极限情形,从而大大拓展了使用范围。
3等价无穷小求函数极限应用及推广
3.1有限个函数积或商运算的等价无穷小量替换
定理3.1：设函数(),(),()
ii
fxgxhx在0
0
()x内有定义,且有
0
,)
()~()()(1,2,
ii
n
fxgxxxi。
()i
若
0
1
lim()(),
i
xx
n
i
fxhxA
则
0
1
lim()()
i
xx
n
i
xhxAg
;
)
(ii
若
0
1
lim,
()
()
xx
i
n
i
B
f
x
hx
则
0
1
lim
()
()
xx
i
n
i
B
g
x
hx
。
证：
()i
对n用数学归纳法证之。
①当
1n
时,由定理1可知,明题
()i
成立;
②假设当
(1)nkk
时命题
()i
成立,即“若
0
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
”成立,
则当
1nk
时,
只要能证明“若
0
1
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
”成立即可。
而
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxg
0
0
121
121
lim()()()()()
lim[()()()()]()
kk
xx
kk
xx
gxgxgxgxhx
gxgxgxhxgx
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
lim[()()]()
lim[()()]()
()
lim[()()]()
()
ik
xx
ik
xx
k
ik
xx
k
k
i
k
i
k
i
xhxgx
fxhxgx
fx
fxhxgx
fx
g
0
1
1
1
1()
lim[()()]
()
k
i
xx
k
k
i
gx
fxhx
fx
00
1
1
1
1()
lim[()()]lim
()
1
k
i
xxxx
k
k
i
gx
fxhx
fx
AA
这就证明了当
1nk
时,若
0
1
1
lim()(),
i
xx
k
i
fxhxA
则
0
1
1
lim()()
i
xx
k
i
xhxAg
是成
立的。
综上①②可知命题
()i
成立。
)
(ii
命题
)
(ii
的证明与命题
()i
的证明相仿,在此从略。
注3.1：定理2中的
,AB
均可以为有限实数,也可以为或。
注3.2：定理2显然是定理1的直接推广。说明了有限个函数积或商的极限
若存在（或,）,则其中全部或部分无穷小量可用其等价无穷小量来替换。
注3.3：定理2在使用上把定理1局限于两个无穷小量积或商的极限替换,
扩大到任意有限个无穷小量积或商的极限情形,从而大大拓展了使用范围。
3.2在极限式中有加或减运算的等价无穷小量替换
实际上,对极限式中的两个无穷小量相加的部分是可以使用等价无穷小量来
替换的,只不过它有自身的一些限制,若要进行替换,必须满足如下定理3:
定理3.2：设函数(),()
ii
fxgx在0
0
()x内有定义,且()
i
fx~()
i
gx
0
()(1,2)xxi。若
0
1
2
()
lim1,
()xx
fx
c
fx
则
0
1212
()()~()()()fxfxgxgxxx（c可
以是有限实数或）。
证
0
1
2
()
lim1
()xx
fx
c
fx
①当c为有限实数时
0
0
0
1
122
12
12
22
1
2
112
122
()
1
()()()
lim
()()
()()
()()
()
1
()
lim
()()()
()()()
1
11
1
lim
xx
xx
xx
fx
fxfxfx
gxgx
gxgx
fxfx
fx
fx
gxfxgx
fxfxfx
c
c
②当c时,即
0
1
2
()
lim
()xx
fx
fx
从而
0
2
1
()
lim0
()xx
fx
fx
，所以有：
00
2
121
122
12
121
()
1
()()()
limlim
()()()
()()
()()()
10
110
1
xxxx
fx
fxfxfx
gxgxfx
gxgx
fxfxfx
③当c时,证法同②，综上①②③所述,定理3成立。
注3.4：定理3说明了在求极限时,若某个因子是两个无穷小量的和时,只要
这两个无穷小量满足定理3中的条件,则这个因子就可以用相应的等价无穷小量
之和来替换。
注3.5：在定理3的条件中若
1c
,则结论不真（求这类等价无穷小量之和
的运算问题,可以利用泰勒公式,亦可用洛必达法则结合其它方法来求解）。
对极限式中的两个无穷小量相减的因子使用等价无穷小量替换的条件,若要
进行替换,必须满足如下推论1:
推论3.1：设函(),()
ii
fxgx在0
0
()x内有定义,且有()
i
fx~
()
i
gx
0
()(1,2)xxi。若
0
1
2
()
lim1,
()xx
fx
c
fx
则
0
1212
()()~()()()fxfxgxgxxx
（c
可以是有限实数或）。
注3.5：推论1说明了在求极限时,若某个因子是两个无穷小量的差时,只要
这两个无穷小量满足推论1中的条件,则这个因子就可以用相应的等价无穷小量
之差来替换。
注3.6：在推论1的条件中若
1c
,则结论不真（求这类等价无穷小量之差
的运算问题,可以利用泰勒公式,亦可用洛必达法则结合其它方法来求解）。
推论3.1：设函数(),()
ii
fxgx在0
0
()x内有定义,()
i
fx~
()
i
gx
0
()(1,2)xxi
(1,2,i,)n,
且
0
1
1
()
lim1(1,2,,1)(2),
()
m
xx
j
j
j
fx
cmnn
fx
（c可以是有限实数或）,