拓扑绝缘体

拓扑绝缘体

-

2023年3月16日发(作者：e字表)

科学前沿论坛

从拓扑学到拓扑绝缘体

——物质的拓扑相及其应用

李瀚宇

北京市第五中学，北京１００００７

摘 要拓扑学起源于１８世纪左右，是研究空间内在连续变化下维持不变性质的一门学科。拓扑学在生物、建筑、

计算机等方面都有着广泛的应用。从２０世纪６０年代开始，拓扑学逐渐进入到物理学领域，在宇宙学、凝聚态等研

究中发挥了重要的作用。２Ｏｌ６年的诺贝尔物理学奖还特别地表彰了物质拓扑相与拓扑相变的发现。那么，什么是

拓扑学？什么是物质的拓扑相与拓扑相变？它们两者又有着怎样的联系？本文将对这些问题做一个探析，来帮助我

们更好地理解拓扑绝缘体等拓扑材料的科学价值，以及对于人类未来科技革新的重要意义。

关键词拓扑学；拓扑相；拓扑绝缘体

中图分类号Ｏ４ 文献标识码Ａ 文章编号２０９５－６ ３６３（２０１７）１７－００４２－０１

２００５年，一种奇特的材料一一拓扑绝缘体的理论

预言，激起了科学界的强烈兴趣。这种材料的特点是它

的体内部是绝缘的，但是它的表面却表现得像一块金属。

２００７年，实验上首次确认了这种材料的存在，从而掀

起了有关拓扑材料研究的热潮。以拓扑绝缘体为首的拓

扑材料，在建设信息高速公路与量子计算方面有着重要

的应用前景。本文将就拓扑学的历史背景、拓扑相与拓

扑相变、拓扑绝缘体、拓扑材料的应用等方面做一个介

绍，探究拓扑学与拓扑材料之间的联系。

１拓扑学的背景简介

拓扑学最早的历史可以追溯到１８世纪左右，在古

普鲁士的哥尼斯堡有七座桥将四块陆地联系起来。七桥

问题的提法是：能否从这四块陆地的一块出发，恰好经

过每座桥一次然后回到起点？欧拉于１７３６年在《哥尼

斯堡的七座桥》的论文中，首次回答了这个问题，并证

明这是不可能的。数学家随后不断研究这类事例，包括

多面体问题、四色问题等等，并逐渐形成了拓扑学这一

学科。在人们的实际生活中，图形往往是重要的研究对

象。在很多情况下，人们对于图形的形状和大小并不感

兴趣，而是关注图形的相对位置关系等内禀的性质。拓

扑学就是为解决这一问题而诞生的。

拓扑学的一个重要概念是拓扑等价。一个图形，

如果可以通过连续的形变（包括伸缩或者扭曲）过渡到

另一个图形，中间没有产生撕裂或者粘合，那么就称

这两个图形是拓扑等价的。例如一个球体和一个正方

体，本质上就是拓扑等价的，因而在拓扑学中把它们视

为同一对象。为了刻画这种拓扑学内禀的性质，人们引

入了拓扑数（拓扑不变量）的概念。在对象连续变化的

过程中，拓扑数是不会变的。例如面包圈洞的个数就是

一个拓扑数，在连续形变过程中洞的数目始终为１。面

包圈不可能通过连续形变过渡到一个球，因此两者是拓

扑不等价的，而本质上的区别就是两个图形的拓扑数不

一样。

作者简介：李瀚宇，北京市第五中学。

２相变与拓扑相变

一个系统中如果物质的结构相同、成分性能均一，

则称这个系统是一个相。比如，根据物质的状态不同，

可以分成固相、液相、气相或者等离子相。根据物质导

电性能的不同，可以分成金属相、绝缘相或者超导相。

当物质在外界参数（温度、压强、电磁场）变化下从一

种相变为另一种相，则称这个过程为相变。例如，水从

液态加温沸腾变成水蒸气就是一种相变；水银在低温下

突然变成超导体，这也是一种相变。

对于物质材料，也可以类似于定义面包圈的洞数

一样，去定义材料的拓扑数。这个拓扑数与材料分子间

的相对构型与相互作用密切相关，并且，这个拓扑数与

材料可观测的一些物理量（诸如电导）有着直接的对

应。在物质发生相变的过程中，如果对应的拓扑数发生

变化，从而导致物质性质发生变化，这种相变就被称为

拓扑相变。它的本质是物质的某些离散对称性发生变化，

使得物质的拓扑性质也跟着发生变化。

３拓扑绝缘体

物质拓扑相与拓扑相变的一个重要实例就是拓扑

绝缘体。在介绍拓扑绝缘体的性质之前，我们先回到一

个经典的效应——霍尔效应。１８７９年，美国物理学家霍

尔发现，把固体导体放在一个磁场中且有电流通过的时

候，导体中的电载荷子会在洛伦兹力的作用下发生偏转，

继而会产生一个霍尔电压。这种经典的物理图像在磁场

足够强时会发生变化。这时，电子的回旋半径非常小，

导体体内的电子基本局域在原处进行回旋运动。只有导

体边上的电子会不断碰撞表面并沿着边螺旋前进。这时，

导体的体内是绝缘的，而导电性主要来源于表面。材料

这种奇异的导电特性一经发现，就立即引起了人们的兴

趣。但在这里，需要强大的磁场来实现这种效应。科学

家继而探宄，在没有外加磁场的条件下，材料是否还能

实现这种奇异的导电性。

拓扑绝缘体就是在这种背景下应运而生的。它的

０（下转第５４页）；☆

科学前沿论坛

同时也证明了导数作为工具确实可靠。

这个导函数图像在Ｘ－６．５左右存在一个不平滑的

拐点，所以，这个导函数所对应的函数图象也是不对应

任何能量的。同时也证明波函数的序列的奇偶没有决定

性的作用。

这个函数图像在定义域内都呈光滑的曲线，所以

说这个波函数对应能量。同时也证明波函数序列的大小

对波函数是否对应能量无决定性作用。

经过对波函数图像以及其性质的分析我发现，导

致导函数曲线不成立的区域都存在于函数值趋近于零的

一端，波函数图像同导函数图像的问题相同。我猜想程

序中可能不完善的步骤应该与波函数的末端有关，我们

可以通过对末端的限制在程序中就将这多余的波函数去

除掉。

（上接第４２页）

基本性质如前文所述：它的电子结构具有拓扑的性质，

其中体内部的电子是绝缘的，而表面的电子是导电的。

两种截然相反的性质统一地表现在一个材料的两个方

面。值得注意的是，由于材料的表面总是存在的，因此

不可能通过剥离将表面的导电层去除。特别的，拓扑

绝缘体的表面属性是受到拓扑保护的，也就是说，它

对于杂质的干扰是稳定的，除非体系的拓扑性质发生

变化。

４拓扑材料的应用前景

拓扑绝缘体发现至今己过十载。在拓扑材料领域，

拓扑绝缘体、拓扑超导体、拓扑半金属等等的研究正在

如火如荼的展开。以拓扑绝缘体为例，它在未来的信息

科技革命中具有重要的意义。传统金属导体材料，导电

性能会受到内部杂质散射的影响，因此在电输运过程中

往往有严重的耗散。拓扑绝缘体的表面态具有优良的导

电特性，可以高度稳定、低耗散实现电子的传递。这对

于建设高速度、大容量、多媒体的信息传输网络，具有

极大价值。另外，拓扑绝缘体的表面电子能够以存储、

传递、计算的方式完成一些量子操纵，这为实现以量子

图３第２９个波函数的导函数图像（上图）和第３Ｏ个波函数

的导函数图像（下图）

４结论

本文在研究“Ｎｕｍｅｒｏｖ算法十打靶法＋ｓｉｍｐｓｏｎ法”

求解一维定态薛定谔方程时，发现此法求解出来的本征

能量与本征函数数目不同，即存在着不对应任何本征能

量的“假态”波函数。根据量子力学的波函数统计解释，

得知波函数在定义域内图像成平滑的曲线，在边界波函

数的值因该归于零点。本文以此为依据，对存在的“假

态”波函数进行了一一筛选。

参考文献

【１】张杰．Ｍａｔｌａｂ在量子力学中的应用【Ｊ】．安庆师范学院学报

（自科版），２Ｏ０３，９（４）：５ ３—５４．

［２］曾谨言．量子力学教程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３．

【３］王忆锋，唐利斌．利用转移矩阵和ＭＡＴＬＡＢ求解一维薛定谔方

程的一种简洁方法［Ｊ】．红外技术，２ Ｏ１ Ｏ，３２（３）：１ ７７一

】８０．

计算机为目标的新一代信息革命吹响了号角。

５结论

拓扑材料领域在短短的１Ｏ年间，取得了累累硕

果。拓扑学在材料物理中的成功引入，提供了数学

与物理完美结合的一个范例。以拓扑绝缘体为首的

新一代拓扑材料，给我们未来新一代的信息革命提供

了丰富的联想。相信在这一领域，还会诞生更多的

惊喜。

参考文献

【１】翁红明．拓扑相和拓扑相变：浅谈固体中的拓扑物态［Ｊ】．科

学通报，２Ｏ１ ６（３６）：３９０７－３９１ ６．

［２］戴希．凝聚态材料中的拓扑相与拓扑相变——２０１６ｇ－诺贝尔

物理学奖解读［Ｊ】．物理，２０１６，４５（１２）：７ ５ ７－７６８．

［３】吕衍凤，陈曦，薛其坤．拓扑绝缘体简介［Ｊ】．物理与工程，

２０ｌ２，２２（１）：７－１ ０．

［４】张艳阳，李树深．神秘的新材料——拓扑绝缘体简介【Ｊ］．物

理教学，２０１ ３（１２）：２－６．