广义积分
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2023年3月16日发(作者：海德信)1
广义积分学习指导
一、内容提要
1、广义积分的概念.
⑴无穷区间上的广义积分
设)(xf在),[+∞a上有定义,aA>∀Rxf∈)((],[Aa)，记
∫∫
+∞→
+∞=A
a
A
a
dxxfdxxf)(lim)(
称其为)(xf在),[+∞a上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收
敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散.
类似地可定义：
1）)()(lim)(bBdxxfdxxf
b
B
B
b<=∫∫
−∞→
∞−
2）∫∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
+=
c
cdxxfdxxfdxxf)()()(
∫∫
+∞→−∞→
+=A
c
A
c
B
B
dxxfdxxf)(lim)(lim)(+∞<<−∞c
对积分∫+∞
∞−
dxxf)(，其收敛的充要条件是∫∞−
cdxxf)(及∫+∞
c
dxxf)(同时收敛.
⑵无界函数的广义积分(瑕积分)
若0>∀δ，函数)(xf在),(
ˆ
0
δxU内无界,则称点
0
x为)(xf的一个瑕点（或奇
点）.
设)(xf在],(ba上有定义，a为其瑕点，且0>∀ε，]),[()(baRxfε+∈.记
∫∫+
→+
=b
a
b
a
dxxfdxxf
ε
ε
)(lim)(
0
,
2
称其为)(xf在],[ba上的瑕积分.若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其
极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散.
设b为)(xf在],[ba上的唯一瑕点，类似地可定义：
∫∫−
→+
=
ε
ε
b
a
b
a
dxxfdxxf)(lim)(
0
设c为)(xf在],[ba内的唯一瑕点（bca<<）,我们定义
∫∫∫+=b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf)()()(∫∫+
→
−
→++
+=b
c
c
a
dxxfdxxf
2
2
1
1
)(lim)(lim
00
ε
ε
ε
ε
此时∫b
a
dxxf)(收敛的充要条件是∫c
a
dxxf)(及∫b
c
dxxf)(同时收敛.
2、Γ函数的定义及性质
Γ函数：)0()(
0
1>=Γ∫+∞
−−sdxexsxs
Γ函数的几个性质：
i.递推公式：)0)(()1(>Γ=+Γssss,!)1(nn=+Γ(n为正整数,1)1(=Γ)
ii.)10(
sin
)1()(<<=−ΓΓs
s
ss
π
π
这个公式称为余元公式，特别地，当
2
1
=s时，π=Γ)
2
1
(
iii.∫+∞
−−=Γ
0
1222)(duuessu，令
2
1
=s得∫∞+
−=
02
2π
dueu
3、广义积分的柯西主值
按广义积分的定义，无穷积分
∫∫
+∞→
∞+
∞−
=A
c
A
dxxfdxxf)(lim)(∫
−∞→
+c
B
B
dxxf)(lim
3
右端极限过程中的BA,是独立变化的.若考虑BA,的变化过程要求一致,即定义
AB=
,则相应的无穷积分∫+∞
∞−
dxxf)(称为
)(xf
在
),(+∞−∞
上的无穷积分的柯西
主值,记为P．Ｖ．∫+∞
∞−
dxxf)(.即P．Ｖ．∫∫−
+∞→
+∞
∞−
=A
A
A
dxxfdxxf)(lim)(，若此极限
值存在，则称广义积分∫+∞
∞−
dxxf)(
在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．
类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为
P．Ｖ．
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=∫∫∫+
−
→+
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
ε
ε
ε
)()(lim)(
0
其中c为)(xf在),(ba内的唯一瑕点.
二、重点、难点
1、本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义
积分来计算而导致错误.
2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法，
分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式.
三、答疑解惑
问题下列积分是否正确?为什么?
⑴0
ln2
1
)(ln
ln
1
ln
1
1
1
3
1
3
=−==∫∫ε
ε
ε
ε
ε
ε
x
xd
x
dx
xx
⑵奇函数积分0
12
=
+
∫+∞
∞−
dx
x
x
答都不正确.⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算.1=x
是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分.正确的解法是
∫∫∫+=
ε
ε
ε
ε
1
3
1
1
3
1
3ln
1
ln
1
ln
1
dx
xx
dx
xx
dx
xx
由于∫∫−
−
→→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
++
ε
ε
ε
ε
εε
ε
1
1
1
1
2
0
3
0
1
1
3ln2
1
lim
ln
1
lim
ln
1
x
dx
xx
dx
xx
4
−∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
+→2
1
)1(ln2
1
lim
2
0εε
故∫ε
ε
1
3ln
1
dx
xx
发散.
⑵错误的原因是)1ln(
2
1
1
2
0
2
tdx
x
xt+=
+
∫当+∞→t时是发散的,由广义积分
∫+∞
∞−
dxxf)(的收敛定义,广义积分∫+∞
∞−+
dx
x
x
21
是发散的.
一般地可以证明：当∫+∞
∞−
dxxf)(
收敛时,
0)(=∫+∞
∞−
dxxf
()(xf为奇函数).
∫∫+∞+∞
∞−
=
0
)(2)(dxxfdxxf()(xf为偶函数).证明从略.