参数方程公式大全

参数方程公式大全

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1/11

高中数学公式及知识点速记

1、函数的单调性

设

1212

[,],xxabxx、且那么

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是增函数；

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是减函数.

设函数

)(xfy

在某个区间内可导,

若

0)(



xf

,则

)(xf

为增函数；

若

0)(



xf

,则

)(xf

为减函数；

若

()=0fx



,则

)(xf

有极值。

2、函数的奇偶性

若

)()(xfxf

,则

)(xf

是偶函数；偶函数的图象关于y轴对称。

若

)()(xfxf

,则

)(xf

是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。

3、函数

)(xfy

在点

0

x处的导数的几何意义

函数

)(xfy

在点

0

x处的导数)(

0

xf

是曲线

)(xfy

在))(,(

00

xfxP处的切线的斜率,相应

的切线方程是))((

000

xxxfyy



.

4、几种常见函数的导数

①'C0

；②1')(nnnxx；③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；

⑤aaaxxln)('；⑥xxee')(；⑦

ax

x

aln

1

)(log'

；⑧

x

x

1

)(ln'

5、导数的运算法则

〔1'''()uvuv.

〔2'''()uvuvuv.

〔3''

'

2

()

uuvuv

vv



.

6、求函数yfx的极值的方法是：解方程0fx



得

0

x．当

0

0fx



时：

①如果在

0

x附近的左侧0fx



,右侧0fx



,那么

0

fx是极大值；

②如果在

0

x附近的左侧0fx



,右侧0fx



,那么

0

fx是极小值．

7、分数指数幂

m

n

m

naa

.

11m

n

m

n

m

n

a

a

a



.

2/11

8、根式的性质

〔1

()n

naa

.

〔2当

n

为奇数时,n

naa；

当

n

为偶数时,

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













.

9、有理指数幂的运算性质

rsrsaaa

；

()rsrsaa

；

()rrrabab

.

10、对数公式

〔1指数式与对数式的互化式:

logb

a

NbaN。

〔2对数的换底公式:

log

log

log

m

a

m

N

N

a

.

〔3对数恒等式：①

loglogn

aa

bnb

；②

loglog

m

n

a

a

n

bb

m



；

③log

a

NaN

；④log10

a

；⑤

log1

a

a

11、常见的函数图象

12、同角三角函数的基本关系式

22sincos1,tan=





cos

sin

.

13、正弦、余弦的诱导公式

诱导公式一：sin<



+k

2>=sin<



+2k



>=sin



；

cos<



+k

2>=cos<



+2k



>=cos



tan<



+k

2>=tan<



+2k



>=tan



诱导公式二：sin=－sin



；

cos=－cos



；

tan=tan



.

诱导公式三：sin〔

－=－sin



；

cos〔

－=cos



；

tan〔

－=－tan



.

3/11

诱导公式四：sin<

>=sin



；

cos<

>=－cos



；

tan<

>=－tan



.

诱导公式五：sin<

2





>=cos



；

cos<

2





>=sin



；

诱导公式六：sin<

2





>=cos



；

cos<

2





>=－sin



.

14、和角与差角公式

sin()sincoscossin

;

cos()coscossinsin

;

tantan

tan()

1tantan









.

sincosab=22sin()ab；<辅助角所在象限由点

(,)ab

的象限决定,

tan

b

a



>.

15、二倍角公式

sin2sincos.

2222cos2cossin2cos112sin.

2

2tan

tan2

1tan











.

公式变形：

;

2

2cos1

sin,2cos1sin2

;

2

2cos1

cos,2cos1cos2

22

22

















16、三角函数的周期

函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期

2

||

T





,最大值为|A|；函数

tan()yAx〔

2

xk





的周期

||

T





.

17.正弦定理：

2

sinsinsin

abc

R

ABC



〔R为ABC外接圆的半径.

18.余弦定理

2222cosabcbcA;

2222cosbcacaB

;

2222coscababC.

19.面积定理

4/11

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB

.

20、三角形内角和定理

在△ABC中,有

ABC

222()CAB

.

21、三角函数的性质

22、a与b的数量积:a·b=|a||b|cosθ．

23、平面向量的坐标运算

设A

11

(,)xy,B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy,则a+b=

1212

(,)xxyy

.

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy,则a-b=

1212

(,)xxyy

.

设a=

(,),xyR

,则a=

(,)xy

.

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy,则a·b=

1212

xxyy

.

设a=

),(yx

,则22yxa

24、两向量的夹角公式：1212

2222

1122

cos

xxyy

ab

xyxy

ab













；

11

(,)xy

,b=

22

(,)xy>.

25、平面两点间的距离公式：

,AB

d=||AB22

2121

()()xxyy

26、向量的平行与垂直：设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy,则

a∥bb=λa

1221

0xyxy.

ab

a·b=0

1212

0xxyy.

27、数列的通项公式与前n项的和的关系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















；<数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaa>.

28、等差数列的通项公式

11

(1)

n

aanddnad

；

29、等差数列其前n项和公式为

1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad





.

30、等差数列的性质：

①等差中项：2

n

a=

1n

a



+

1n

a



；

②若m+n=p+q,则

m

a+

n

a=

p

a+

q

a；

③

m

S,

2m

S,

3m

S分别为前m,前2m,前3m项的和,则

m

S,

2m

S-

m

S,

3m

S-

2m

S成等差数列。

5/11

31、等比数列的通项公式

1

1

n

n

aaq

；

32、等比数列前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

q

s

naq





















或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















.

33、等比数列的性质：

①等比中项：2

nb=

11nn

bb





；

②若m+n=p+q,则

mn

bb

=

pq

bb

；

③

m

S,

2m

S,

3m

S分别为前m,前2m,前3m项的和,则

m

S,

2m

S-

m

S,

3m

S-

2m

S成等比数列。

34、常用不等式：

〔1

,abR222abab．

〔2,abR

2

ab

ab





．

35、直线的3种方程

〔1点斜式：

11

()yykxx；<直线

l

过点

111

(,)Pxy,且斜率为

k

>．

〔2斜截式：

ykxb

；.

〔3一般式：

0AxByC

；.

36、两条直线的平行和垂直

若

111

:lykxb,

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb且;

②

1212

1llkk

.

37、点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







；<点

00

(,)Pxy,直线l：0AxByC>.

38、圆的2种方程

〔1圆的标准方程222()()xaybr.

〔2圆的参数方程

cos

sin

xar

ybr















.

39、点与圆的位置关系：点

00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

若22

00

()()daxby

,则

dr点P在圆外;

dr点P在圆上;

dr点P在圆内.

40、直线与圆的位置关系

6/11

直线

0CByAx

与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:其中

22BA

CBbAa

d







2=4ac0bdr相离方程组无解：；

2=4ac0bdr相切方程组有唯一解：；

2=4ac0bdr相交方程组有两个解：.

41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

①椭圆：22

22

1(0)

xy

ab

ab

,焦点〔±c,0,222bca,离心率

2

=

2

ac

e

ca



焦距

长轴

,参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

②双曲线：1

2

2

2

2



b

y

a

x

0,b>0>,焦点〔±c,0,222bac,离心率

2

=

2

ac

e

ca



焦距

长轴

,渐近

线方程是

x

a

b

y

.

③抛物线：pxy22,焦点

)0,

2

(

p

,准线

2

p

x

。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的

距离.

42、双曲线的方程与渐近线方程的关系

若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y

.

43、抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22ypx的焦半径

2

||

0

p

xPF

.〔抛物线上的点〔

0

x,

0

y到焦点〔

2

p

,0距离。

44、平均数、方差、标准差的计算

平均数:

n

xxx

xn



21；

方差:

])()()[(

1

22

2

2

1

2xxxxxx

n

s

n



；

标准差:

])()()[(

1

22

2

2

1

xxxxxx

n

s

n



；

45、回归直线方程

yabx,其中





11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx































.

46、独立性检验

1

y

2

y

7/11

原命题

若p则q

否命题

若┐p则┐q

逆命题

若q则p

逆否命题

若┐q则┐p

互

为

逆

否

互

逆

否

互

为

逆

否

互

互

逆

否

互

))()()((

)(2

2

dbcadcba

bdacn

K





；n=a+b+c+d.

①K﹥6.635,有99%的把握认为X和Y有关系；

②K﹥3.841,有95%的把握认为X和Y有关系；

③K﹥2.706,有90%的把握认为X和Y有关系；

④K≤2.706,X和Y没关系。

47、复数

①

zabi

共轭复数为

zabi

；

②复数的相等：

,abicdiacbd

；

③复数

zabi

的模〔或绝对值

||z

=

||abi

=22ab；

④复数的四则运算法则

()()()()abicdiacbdi

；

()()()()abicdiacbdi

；

()()()()abicdiacbdbcadi

；



222222

()()

acbdbcadi

acbdbcad

abicdii

cdcdcd









⑤复数的乘法的运算律

交换律:

1221

zzzz.

结合律:

123123

()()zzzzzz.

分配律:

1231213

()zzzzzzz.

48、参数方程、极坐标化成直角坐标

①











y

x





sin

cos

；②















)0(tan

222

x

x

y

yx





49、命题、充要条件

充要条件〔记

p

表示条件,

q

表示结论；即命题"若p,则q"

①充分条件：若pq,则

p

是

q

充分条件.

②必要条件：若qp,则

p

是

q

必要条件.

③充要条件：若pq,且qp,则

p

是

q

充要条件.

④命题"若p,则q"的否命题：若p,则q；

否定：若p,则q

50、

真值

表

1xab

2xcd

ｐｑ非ｐ〔pｐ或ｑ〔p∨qｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

8/11

51、量词的否定

①含有一个量词的全称命题的否

定:

全称命题p：

,()xMpx

,它的否定p：

00

,()xMpx

②含有一个量词的特称命题的否定:

特称命题p：

00

,()xMpx,它的否定p：,()xMpx

52、空间点、直线、平面之间的位置关系

①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

公理1的作用：判断直线是否在平面内

②公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

公理2的作用：确定一个平面的依据。

推论1：经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。公理2

推论3：两条平行直线确定一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据

53、空间中直线与直线之间的位置关系

①空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内；没有公共点；

异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

假真真真假

假假真假假

C

·

B

·

A

·

α

P

·

α

L

β

共面直线

9/11

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

注意点：

1.两条异面直线所成的角θ∈<0,]；

2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b；

3.两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；

54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

直线与平面有三种位置关系：

〔1直线在平面内——有无数个公共点

〔2直线在平面外直线与平面相交——有且只有一个公共点

直线在平面平行——没有公共点

注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

55、直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平

面平行。简记为：线线平行,则线面平行。

符号表示：aα

bβa∥α

a∥b

56、平面与平面平行的判定

a∥c

2



10/11

①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面

平行。

符号表示：aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

b∥α

②判断两平面平行的方法有三种：

〔1判定定理；

〔2平行于同一平面的两个平面平行；

〔3垂直于同一条直线的两个平面平行。

57、直线与平面、平面与平面平行的性质

①定理：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

11/11

β∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

③两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。

58、直线与平面垂直的判定

①定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作

l⊥α。l

如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

αp

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意：1.定理中的"两条相交直线"这一条件不可忽视；

2.定理体现了"直线与平面垂直"与"直线与直线垂直"互相转化的数学思想。

59、平面与平面垂直的判定

①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

60、直线与平面、平面与平面垂直的性质

①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

②性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。