连续系统

发布时间：2023-06-11 作者：admin 来源：文学

连续系统

2023年3月6日发(作者：广播设备)

连续系统的系统函数

二、系统函数与时域响应

由§5.4和§6.4可知，系统自由（固有）响应的函数（或序列）

形式由

0A的根确定，亦即由

H的极点确定，而冲激响应或单位

序列响应的函数形式也由

H的极点确定。下面讨论

H极点的位置

与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数

（序列）形式。

1.连续系统

连续系统的系统函数

sH的极点，按其在s平面上的位置可分为：

左半开平面（不含虚轴

的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。

在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。若

系统函数有负实单极点

0p，则sA有因子s，其所对应的响应（自由响应、冲

激响应等）函数为tAet；如有一对共轭复极点jp

2,1

，则sA

中有因子2

2s，其所对应的响应函数为ttAetcos，式

中A、为常数，响应均按指数衰减，当t时趋近于零。它们的波

形见图8.5-1。

如sH在左半开面有r重极点，则sA中有因子rs或

r

2，它们所对应的响应函数分别为tetAtj

或

1,,2,1,0cosrjttetAtj

，式中

A、

为常数。用罗必塔法

则不难证明，当t时，它们均趋于零。

sH在虚轴上的单极点0p或jp

2,1

，相应于

sA的因子为s或

22s，它们所对应的响应函数分别为

tA或

ttAcos，其幅度

不随时间变化（见图8.5-1）。

sH在虚轴上的r重极点，相应于

sA的因子为rs或rs22，其

所对应的响应函数分别为ttAj

或tttA

cos，它们都随t的增

长而增大。

在右半开平面的单极点

0p，或0

2,1

jp，相应于

sA中有因子s或2

2s，它们所对应的响应函数分别为

tAet或ttAetcos，它们都随t的增长而增大。

图8.5-1画出了

sH的一阶极点与其所对应的响应函数。

由以上讨论可得如下结论：

LTI连续系统的自由响应、冲激响应的函数形式由sH的极点确

定。

对于因果系统，sH在左半开平面的极点所对应的响应函数都是

衰减的，当t时，响应函数趋近于零。极点全部在左半开平面的

系统是稳定的系统（见§7.2）。sH在虚轴上的一阶极点对应的响应

函数的幅度不随时间变换。sH在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或

右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。当t

趋于无限时，它们都趋于无限大。这样的系统是不稳定的。

2.离散系统

离散系统的系统函数zH的极点，按其在z平面的位置可分为：单

位圆内、单位圆上和单位圆外三类。

在单位圆1z内的极点有实极点和共轭复极点两种。若系统函数

有一个实极点ap，1a，则

zA有因子

az，其所对应的响应（自

由响应、单位序列响应等）序列为

kAak；如有一对共轭极点

1

2,1

aaepj，则

zA中有因子22cos2aazz，其所对应的序列

形式为

kkAakcos，式中A、为常数。由于1a，所以响应均

按指数衰减，当k时响应也趋于零（见图8.5-2）。在单位圆内的

二阶及二阶以上极点，其所对应的响应当k时也趋于零。

zH在单位圆上的一阶极点1p（或1），jep

2,1

，相应于

zA中

的因子1z、1z或1cos22zz，它们所对应的序列分别为k、

kk1或kkAcos，其幅度不随k变化（见图8.5-2）。

zH在单位圆上的r阶极点，其所对应的序列为kkAj

、

1,,1,0cosrjkkkA

，它们都随k的增大而增大。

zH在单位圆外的单极点ap1a或1

2,1

aaepj所对应的

响应分别为kAak或kkAakcos，由于1a，所以它们都随k的

增大而增大（见图8.5-2）。如有重极点，其所对应的响应也随k的增

加而增大。

图8.5-2画出了zH的一阶极点与其所对应的响应序列。

由以上讨论可得如下结论：

LTI离散系统的自由响应、单位序列（样值）响应等的序列形式由

zH的极点所确定。

对于因果系统，zH在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰

减的，当k趋于无限时，响应趋近于零。极点全部在单位圆内的系统

是稳定系统（见§7.2）。

zH

在单位圆上的一阶极点对应的响应序列

的幅度不随k变化。

zH

在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位

圆外的极点，其所对应的序列都随k的增长而增大。当k趋于无限时，

它们都趋近于无限大。这样的系统是不稳定的。

三、系统函数与频域响应

系统函数

H的零、极点与系统的频域响应也直接关系。

1.连续系统

对于连续因果系统，如果其系统函数

sH的极点均在左半开平面，

那么它在虚轴上

js也收敛，从而由式（5.4-35）可知，式（8.5-3a）

所示系统的频率响应函数为

















jspj

sHjH







（8.5-4）

在s平面上，任意复数（常数或变数）都可用有向线段表示，可称

它为矢（向）量。例如，某极点

p可看作是自原点指向该极点

p的矢

量，如图8.5-3（a）所示。该复数的模

p是矢量的长度，其辐角是

自实轴逆时针方向至该矢量的夹角。变量j也可看作矢量。这样，

复数量

pj是矢量j与矢量

p的差矢量，如图8.5-3（a）所示。

当变化时，差矢量

pj也将随之变换。

对于任意极点

p和零点

，令









eBj

eApj









（8.5-5）

式中

A、

B分别是差矢量（

pj）和（

j）的模，

、

是它

们的辐角，如图8.5-3（b）所示。于是式（8.5-4）可以写为









j

mmejH

eAAA

eBBBb







（8.5-6）

式中，幅频响应为



AAA

BBBb



21

（8.5-7）

相频响应为





2121

（8.5-8）

当从0（或）变动时，各矢量的模和辐角都将随之变化，根据式

（8.5-7）和式（8.5-8）就能得到其幅频特性曲线和相频特性曲线。

例8.5-1二阶系统函数



22



式中0，且2

。粗略画出其幅频、相频特性。

解上式的零点位于0s，其极点在

jjp22

02,1

（8。5-9）

式中22

。于是系统函数sH可写为





psps





由于0，极点在左半开平面，故

sH在虚轴上收敛，该系统的频率

响应函数为





pjpj

js







令21

2211

,,

jj

jeApjeApjBej，如图8.5-4（a）所示。上

式可改写为



j

jejHe

jH

（8.5-10）

式中幅频特性和相频特性分别为



jH

（8.5-11）



-

（8.5-12）

由图8.5-4（a）和式（8.5-11）可以看出：

当0时，

,,,0

210

AAB，所以

0jH，

。随着的增大，

A和B增大，而

A减小，故jH

增大；而

减小，故

增大，因而减小。当



22

时，系统发生谐振，这时





jH为极大值；

而0。当继续增大时，

A、

A、B和

、

均增大，从而jH

减小，继续减小。当时，

A、

A、B均趋于无限，故jH

趋于零；

、

趋近于

π，从而



趋近于

π。图8.5-4（b）时粗

略画出的幅频想、相频特性。由幅频特性可见，该系统是带通系统。

由以上讨论可知，如果系统函数的某一极点（本例为jp

）

十分靠近虚轴，则当角频率在该极点虚部附近处（即



处），幅

频响应有一峰值，相频响应急剧减小。类似地，如果系统函数有一零

点（譬如jba-

）十分靠近虚轴，则在b处幅频响应有一谷值，

且相频响应急速增大。

下面介绍常见的全通函数和最小相移函数。

全通函数

如果系统的幅频响应jH对所有的均为常数，则称该系统为全

通系统，其相应的系统函数成为全通函数。下面以二阶系统为例说明。

如果有二阶系统，其系统函数在左半平面有一对共轭极点

jp

2,1

，令

ps、

ps，它在右半平面有一对共轭零点

1221

,sjsj，那么系统函数的零点和极点对于轴是

镜像对称的，如图8.5-5（a）所示。其系统函数可写为





*

ssss













（8.5-12）

其频率特性为







2111











je

sjsj

由图8.5-5（a）可见，对于所有的有

BA、

BA，所以幅频特

性为

1jH

（8.5-13a）

其相频特性为































































222

2121

arctan22

arctanarctan22















（8.5-13b）

由图8.5-5可见，当0时，0

，π2

，故π2；

当时，

22121

，故0。其幅频和相频响应如图

8.5-5（b）所示。

上述幅频响应为常数的系统，对所有频率的正弦信号都一律平等

地传输，因而被称为全通系统，全通系统的系统函数称为全通函数。

由以上讨论可知，凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且

所有的零点与极点为一一镜像对称于j轴的系统函数即为全通函

数。

最小相移函数

如有一系统函数sH

，它有两个极点

s和*

s，它们都在左半开

平面，其零、极点分布如图8.5-6（a）所示。系统函数sH

可以写

为





*

ssss

a





（8.5-14）

另一系统函数sH

，它的极点于sH

相同，为

s和*

s，它的

零点在右半开平面为

s和*

s，其零、极点分布如图8.5-6（b）所示。

系统函数sH

可以写为





*

ssss

a



（8.5-15）

由于sH

与sH

的极点相同，故它们在s平面上对于的矢量相同，

而由于它们的零点镜像对称于

j

轴，故它们对于的矢量的模也相同，

因此jH

与jH

的幅频特性完全相同。

由图8.5-6（a）和（b）可见，对于相同的，jH

零点矢量的

相角为





式中

,为jH

的零点矢量的相角。因此，jH

和jH

的相

频特性分别为



2121



（8.5-16）

21212121

2πππ

（8.5-17）

二者的差为



22π

由图8.5-6（a）可见，当由0增加到时，

从0增加到π，

因此，π

，

所以对于任意角频率

022

π

也就是说，对于任意角频率0，有





（8.5-18）

式（8.5-18）表明，对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位

于左半开平面的系统函数，其相频特性

最小，故称为最小相移函

数。

顺便指出，考虑到由纯电抗原件组成的电路，其网络函数的零点

可能在虚轴上，故也可定义如下：右半开平面没有零点的系统函数称

为最小相移函数，相应的网络称为最小相移网络。

如果系统函数在右半开平面有零点，则称为非最小相移函数。例

如





*

ssss

b





若用*

ssss同时乘上式的分母和分子，得





sHsH

ssss























（8.5-19）

式中，sH

是最小相移函数，而





*

ssss

c





是全通函数。由此可知，任意非最小相移函数都可以表示为最小相移

函数与全通函数的乘积。

2.离散系统

对于因果离散系统，如果系统函数

zH的极点均在单位圆内，那

么它在单位圆上1z也收敛，从而由式(6.4-34)可知，式

（8.5-3b）所示系统的频率响应函数为













zHeH







（8.5-20）

式中

T，为角频率，

T为取样周期。

在z平面上，复数可用矢量表示，令













eApe





B

（8.5-21）

式中

A、

B分别是差失量的模，

、

是它们的辐角，于是式

（8.5-20）可以写为





jjj

eAAA

eBBBb

eeHeH













（8.5-22）

式中，幅频响应为



AAA

BBBb



21

（8.5-23a）

相频响应为









（8.5-23b）

当从0变化到

π2时，即复变量

从1z沿单位圆逆时针方向旋转一

周时，各矢量的模和辐角也随之变化，根据式（8.5-23a）和式

（8.5-23b）就能得到幅频和相频响应曲线。

例8.5-2某离散因果系统的系统函数









求其频率响应。

解由

zH得表示式可知，其极点

p，故单位圆在收敛域内，

系统的频率响应（

T）





































































































tan21

sin4

cos2

4cos

222









eee

zHeH

jjj

其幅频响应为



















tan41



jeH

相频响应为





























tan2arctan





图9.5-7（a）画出了zH的零极点分布和矢量1

jeA、1

jeB，图

8.5-7（b）画出了该系统的幅频和相频特性。由于离散系统的幅频、

相频特性都以

π2为周期重复变化，图中只画出了

π2

0得部分。

例8.5-3二阶全通系统的系统函数







（8.5-24）

求其频率响应。

解由

zH的表示式可知，其零、极点分别为

231

、

ejpp







可见，本例中零点*、与极点*pp、有如下关系：

、，其

零、极点分布如图8.5-8（a）所示。

由于极点均在单位圆内，故zH在单位圆上收敛。将zH的分子、

分母同乘以1z，并令

jTez，得













sin32cos5

zHeH

ezez



















（8.5-25）

其幅频响应和相频响应分别为（式中

T）

4jeH

（8.5-26a）



















2cos5

sin3

arctan2





（8.5-26b）

按上式可画出幅频、相频特性如图8.5-8（b）所示。由特性频率可

知，式（8.5-24）是全通函数。

由本例可知，稳定的全通离散系统，其系统函数的极点全在单位

圆内，而零点全在单位圆外，并且零极点有

的对应关系，这种

对应关系称为零点与极点一一镜像对称与单位圆，这相当于在s平面

零、极点镜像对称与虚轴。

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