常用逻辑用语

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常用逻辑用语

一、知识框架

1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。其中，判断

为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断

（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q表示p与q的否定，即如下：

（四种命题的关系）

4.充分条件和必要条件

（1）充分条件：

如果A成立，那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。

（2）必要条件：

如果A成立，那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。

（3）充要条件：

如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件，与此

同时，B也一定是A成立的重要条件，所以此时，A、B互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A＝＞B”的不同表达方法。

5.逻辑联结词

（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命

题是复合命题，它们有以下几种形式：p或q（p∨q）；p且q（p∧q）；非p（¬p）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解

在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题

（1）全称量词和存在量词表示

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

存在量词存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等

命题表述形式

原命题若p则q

逆命题若q则p

否命题若¬p则¬q

逆否命题若¬q则¬p

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（2）全称命题与特称命题

命题

全称命题“xpMx,

”特称命题“

00

,xpMx

”

定义

短语“对所有的”“对任意一个”等，

在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”

表示。含有全称量词的命题叫做全称命题

短语“存在一个”“至少有一个”

等，在逻辑中通常叫做存在量词，用

符号“”表示。含有存在量词的命

题，叫做特称命题

实质

全称命题就是陈述某集合所有元素

都具有某种性质的命题

存在性命题就是陈述某集合中

有（存在）一些元素具有某种性质的

命题

表述方

法

①所有的xpMx,

成立；

②对一切xpMx,

成立；

③对每一个xpMx,

成立；

④任选一个xpMx,

成立；

⑤凡xpMx,

成立。

①存在

00

,xpMx使成立；

②至少有一个

00

,xpMx使成立；

③对有些

00

,xpMx使成立；

④对某个

00

,xpMx使成立；

⑤有一个

00

,xpMx使成立。

7.命题的否定：其与否命题不是同一概念，否命题与原命题无真假关系

（1）含一个量词的命题（全称命题与

特称命题）的否定

全称命题的否定为特称命题

特称命题的否定为全称命题

（2）复合命题的否定

①“¬p”的否定是“p”；

②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”；

③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”

二、高考常见题型及解题方法

1.命题类题型考法与思路

（1）命题及命题真假的判断方法

①一般地，陈述句、反义疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量

的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题；

②判断命题是否为真，也可先写出命题，分清条件和结论，然后直接判断；也可从其与逆否

命题等价角度判断；

（2）判断四种命题之间的关系时，要注意分清命题的条件和结论，再比较p、q之间的关系；

（3）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提；对于有并列条件组成的

命题时，要将其中一个（或n个）作为大前提。

（4）一些词语及其否定如下表所示：

命题命题的否定

)(xpMx，)(px

00

xM，

)(px

00

xM，)(xpMx，

词语是都是都不是等于大于小于

至少有

一个

至多有

一个

至少有

n个

至多有

n个

否定不是不都是

至少一

个是

不等于不大于不小于

一个都

没有

至少有

两个

至多有

n-1个

至少有

n+1个

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2.命题四种形式判断的考法与解法

（1）命题判断法

①设“若p，则q”为原命题，那么：

原命题为真原命题为假

逆命题为真P为q的充要条件必要不充分条件

逆命题为假充分不必要条件既不充分也不必要条件

②命题判断（定义法）

a.分清条件与结论（p与q）；b.找推式：即判断p=>q及q=>p的真假；c.下结论：根据上表。

（2）集合判断法

从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}那么：

①若BA则p是q的充分条件；若A⊊B，则p是q的充分不必要条件；

②若AB则p是q的必要条件；若B⊊A，则p是q的必要不充分条件；

③若BA且AB，即A=B，则p是q的充要条件。

（3）充分必要条件的判断应注意问题的设问方式

①“A是B的充分不必要条件”是指：A=>B且B≠>A；

②“A的充分不必要条件是B”是指：B=>A且A≠>B；

3.复合命题真假的判断

pq

qpqpp

真真

真假

假真

假假

4.全（特）称命题真假的判断及其应用

5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围

三、针对训练

1.给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的

面积相等”的否命题；③“若

1q

，则02qxx有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三

内角相等”的逆否命题。其中真命题是()

A．①②B．②③C．①

③D．③④

2.直线1kxy的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）

命题名称真假判断方法1判断方法2

全称命题

真所有对象命题真否定为假

假存在一个对象命题假否定为真

特称命题

真存在一个对象命题真否定为假

假所有对象命题假否定为真

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A．k＜0B．k＜－1C．k＜

1D．k＞－2

3.给出4个命题：①若

0232xx，则x=1或x=2；②若

32x

，则032xx

；③若

x=y=0，则022yx；④若Nyx,，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数。那么（）

A．①的逆命题为真B．②的否命题为真

C．③的逆否命题为假D．④的逆命

题为假

4.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）

A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

D．以上都不对

5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙

降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）

A．（¬p）∨（¬q）B．p∨（¬q）C．（¬p）∧（¬q）D．p∨q

6.已知a＞0,则

0

x满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）

A.

0

2

0

2

2

1

2

1

,bxaxbxaxRxB.

0

2

0

2

2

1

2

1

,bxaxbxaxRx

C.

0

2

0

2

2

1

2

1

,bxaxbxaxRxD.

0

2

0

2

2

1

2

1

,bxaxbxaxRx

7.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()

A.对任意x∈R，都有x2＜0B.不存在x∈R，都有x2＜0

C.存在x0∈R，使得x0

2≥0D.存在x0∈R，使得x0

2＜0

8.设Zx，集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题BxAxp2,:，则（）

A.

BxAxp2,:

B.

BxAxp2,:

C.

BxAxp2,:

D.

BxAxp2,:

9.设Ryxyxp,,211:22；Ryx

y

xy

xy

q

















,,

1

1

1

:，则p是q的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.命题22:xp，命题

1

3

1

:

x

q

，则

p

是

q

成立的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.给定两个命题p,q,p：若x+y≤4或xy≤4，则x≤2或y≤2；q：有一个偶数是质数，则“

qp

”

为命题（填“真”或“假”）。

12.已知命题p:方程0122axx有两个大于-1的实数根，命题q：关于x的不等式

012axax的解集为R。若“

qp

”与“

p

”都是真命题，则实数a的取值范围：。

13.已知命题0,2,1:2axxp，命题022,:

0

2

00

aaxxRxq，若命题“

qp

”是真

命题，求实数a的取值范围。

14.已知命题"024,,:"1mRmRxpxx，且命题

p

是假命题，则实数m的取值范围

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为。

15.若2,2x

，不等式

aaxx32恒成立，求a得取值范围。

四、高考真题训练

1.已知命题xxRxp32,:；命题231,:xxRxq，则下列命题中为真命题的是（）

A.

qp

B.

qp

C.

qp

D.

qp

2.不等式组











42

1

yx

yx

的解集记为D.有下面四个命题：

22,,:

1

yxDyxp

；22,,:

2

yxDyxp

；

32,,:

3

yxDyxp

；12,,:

4

yxDyxp

.其中真命题的是（）

A.

32

,pp

B.

21

,pp

C.

41

,pp

D.

31

,pp

3.函数xf

在

0

xx

处导数存在，若

00

:,0':xxqxfp

是xf

的极值点，则（）

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

4.设命题nnNnp2,:2

，则

p

为（）

2,22,22,22,2

5.设，

是两个不同的平面，m是直线且

”“//.mm

是

”“//

的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6.设

Rx

，则“12x”是“022xx”的（）

A.充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7.命题“nnfNnfNn且**,”的否定形式是()

A．nnfNnfNn且**,B．nnfNnfNn或**,

C．

00

*

0

*

0

,nnfNnfNn且D．

00

*

0

*

0

,nnfNnfNn或

8.【2017全国卷1理】设有下面四个命题：

1

p：若复数z满足R

z



1

，则Rz；

2

p：若复数z满足

Rz2,则Rz；

3

p：若复数

21

,zz满足Rzz

21

，则

21

zz；

4

p：若复数Rz，则

Rz

；

A.

31

,ppB.

41

,ppC.

32

,ppD.

42

,pp