数学中考压轴题
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2023年3月5日发(作者：城市内部空间结构)一、中考数学压轴题
1．如图，射线
AM
上有一点
B
，
AB
＝
6
．点
C
是射线
AM
上异于
B
的一点，过
C
作
CD
⊥
AM
，且
CD
＝
4
3
AC
．过
D
点作
DE
⊥
AD
，交射线
AM
于
E.
在射线
CD
取点
F
，使得
CF
＝
CB
，连接
AF
并延长，交
DE
于点
G
．设
AC
＝
3x
．
（
1
）当
C
在
B
点右侧时，求
AD
、
DF
的长．
(
用关于
x
的代数式表示
)
（
2
）当
x
为何值时，△
AFD
是等腰三角形．
（
3
）若将△
DFG
沿
FG
翻折，恰使点
D
对应点'D落在射线
AM
上，连接'FD，
'GD
．此
时
x
的值为（直接写出答案）
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2
39
33
44
yxx与
x
轴交于AB、两点（点
A在点B的左侧），与
y
轴交于点C．
（
1
）过点C的直线
5
33
4
yx
交
x
轴于点H，若点P是第四象限内抛物线上的一个动
点，且在对称轴的右侧，过点P作
//PQy
轴交直线CH于点
Q
，作//PNx轴交对称轴
于点N，以
PQPN、
为邻边作矩形
PQMN
，当矩形
PQMN
的周长最大时，在
y
轴上有
一动点K，
x
轴上有一动点T，一动点G从线段CP的中点R出发以每秒1个单位的速度
沿RKT的路径运动到点T，再沿线段TB以每秒2个单位的速度运动到B点处停
止运动，求动点G运动时间的最小值：
（
2
）如图2，将ABC绕点B顺时针旋转至ABC
的位置，点AC、的对应点分别为
AC
、
，且点C
恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC
．点E是
y
轴上的一个动点，连
接AECE
、，将ACE
沿直线CE
翻折为ACE
，是否存在点E，使得BAA
为等
腰三角形
?
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图
1
，抛物线2(0)yaxbxca的顶点为
C
（
1
，
4
），交
x
轴于
A
、
B
两点，交
y
轴于点
D
，其中点
B
的坐标为（
3
，
0
）．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）如图
2
，点
E
是
BD
上方抛物线上的一点，连接
AE
交
DB
于点
F
，若
AF=2EF
，求出点
E
的坐标．
（
3
）如图
3
，点
M
的坐标为（
3
2
，
0
），点
P
是对称轴左侧抛物线上的一点，连接
MP
，
将
MP
沿
MD
折叠，若点
P
恰好落在抛物线的对称轴
CE
上，请求出点
P
的横坐标．
4．如图，
AB
∥
CD
，定点
E
，
F
分别在直线
AB
，
CD
上，平行线
AB
，
CD
之间有一动点
P．
（
1
）如图
1
，当
P
点在
EF
的左侧时，∠
AEP
，∠
EPF
，∠
PFC
满足数量关系为，如
图
2
，当
P
点在
EF
的右侧时，∠
AEP
，∠
EPF
，∠
PFC
满足数量关系为．
（
2
）如图
3
，当∠
EPF
＝
90
°，F
P
平分∠
EFC
时，求证：
EP
平分∠
AEF
；
（
3
）如图
4
，
QE
，
QF
分别平分∠
PEB
和∠
PFD
，且点
P
在
EF
左侧．
①
若∠
EPF
＝
60
°，则∠
EQF
＝．
②
猜想∠
EPF
与∠
EQF
的数量关系，并说明理由；
5．如图
1
，正方形
CEFG
绕正方形
ABCD
的顶点
C
旋转，连接
AF
，点
M
是
AF
中点．
（
1
）当点
G
在
BC
上时，如图
2
，连接
BM
、
MG
，求证：
BM=MG
；
（
2
）在旋转过程中，当点
B
、
G
、
F
三点在同一直线上，若
AB=5
，
CE=3
，则
MF=
；
（
3
）在旋转过程中，当点
G
在对角线
AC
上时，连接
DG
、
MG
，请你画出图形，探究
DG
、
MG
的数量关系，并说明理由．
6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是
3
：
5
，那么称这个三角形为
“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（概念感知）
（
1
）如图
1
，在ABC中，12AC，10BC，30ACB，试判断ABC是否
是“准黄金”三角形，请说明理由．
（问题探究）
（
2
）如图
2
，ABC是“准黄金”三角形，
BC
是“金底”，把ABC沿
BC
翻折得到
DBC△，连
AB
接
AD
交
BC
的延长线于点
E
，若点
C
恰好是ABD△的重心，求
AB
BC
的
值．
（拓展提升）
（
3
）如图
3
，
12
ll//
，且直线
1
l与
2
l之间的距离为
3
，“准黄金”ABC的“金底”
BC
在
直线
2
l上，点
A
在直线
1
l上．
10
5
AB
BC
，若ABC是钝角，将ABC绕点C按顺时针
方向旋转090
得到ABC
，线段AC
交
1
l
于点
D
．
①当30时，则
CD_________
；
②如图
4
，当点
B
落在直线
1
l
上时，求
AD
CD
的值．
7．如图，在等边ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接
BE，DE．
（
1
）如图
1
，若310DE，23BC，求CE的长；
（
2
）如图
2
，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且
DFCD，求证：
1
2
ABEF
；
（
3
）在（
2
）的条件下，若45AED直接写出线段BD，EF，ED的等量关系
8．（
1
）阅读理解：
如图①，在ABC中，若8AB，5AC，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将ACD绕着点D逆时针旋转
180
得到EBD△，在ABE△中，利用
三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是
______
；
（
2
）问题解决：
如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，
DF交AC于点F，连接EF，求证：BECFEF；
（
3
）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，180BD，CBCD，100BCD，以C为
顶点作一个50的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段
BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
9．对于平面直角坐标系
xOy
中的图形
W
1和图形
W2．给出如下定义：在图形
W1上存在两
点
A
，
B
（点
A
，
B
可以重合），在图形
W
2上存在两点
M
，
N
，（点
M
于点
N
可以重合）
使得
AM=2BN
，则称图形
W
1和图形
W2满足限距关系
(1)
如图
1
，点
C(1
，
0)
，
D(-1
，
0)
，
E(0
，3)
，点
P
在线段
DE
上运动
(
点
P
可以与点
D
，
E
重合
)
，连接
OP
，
CP
．
①线段
OP
的最小值为
_______
，最大值为
_______
；线段
CP
的取值范直范围是
_____
；
②在点
O
，点
C
中，点
____________
与线段
DE
满足限距关系；
(2)
如图
2
，⊙
O
的半径为
1
，直线3yxb(b>0)
与
x
轴、
y
轴分别交于点
F
，
G
．若线段
FG
与⊙
O
满足限距关系，求
b
的取值范围；
(3)
⊙
O
的半径为
r(r>0)
，点
H
，
K
是⊙
O
上的两个点，分别以
H
，
K
为圆心，
1
为半径作圆
得到⊙
H
和
K
，若对于任意点
H
，
K
，⊙
H
和⊙
K
都满足限距关系，直接写出
r
的取值范
围．
10．综合与探究:如图
1
,在平面直角坐标系
xOy
中,四边形OABC是边长为4的菱形，
60C
（1）把菱形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移03mm
个单位，得到菱形
''''OABC,在向下平移的过程中，易知菱形''''OABC与菱形OABC重叠部分的四边形
'AECF为平行四边形，如图
2
.试探究:当
m
为何值时，平行四边形'AECF为菱形:
（2）如图，在1
的条件下，连接
''',ACBOG、
为CE的中点J为EB的中点，H为
AC上一动点，I为''BO上一动点，连接
,,,GHHIIJ
求GHHIIJ的最小值，并直
接写出此时
,HI
点的坐标.
11．问题背景：如图，四边形ABCD中，
ADBC∥
，
8BC
，17AD，
32AB，45ABC，P为边AD上一动点，连接BP、CP．
问题探究
（
1
）如图
1
，若30PBC，则AP的长为
__________
．
（
2
）如图
2
，请求出BPC△周长的最小值；
（
3
）如图
3
，过点P作PEBC于点E，过点E分别作EMPB于M，ENPC
于点N，连接MN
①是否存在点P，使得PMN的面积最大？若存在，求出PMN面积的最大值，若不存
在，请说明理由；
②请直接写出PMN面积的最小值．
12．已知：如图
①
，在等腰直角ABC中，斜边2AC．
（
1
）请你在图
①
的AC边上求作一点P，使得90APB；
（
2
）如图
②
，在（
1
）问的条件下，将AC边沿BC方向平移，使得点A、P、C对应
点分别为E、
Q
、D，连接
AQ
，
BQ
．若平移的距离为
1
，求
AQB∠
的大小及此时四
边形ABDE的面积；
（
3
）将AC边沿BC方向平移
m
个单位至ED，是否存在这样的
m
，使得在直线DE上
有一点M，满足30AMB，且此时四边形ABDE的面积最大？若存在，求出四边形
ABDE面积的最大值及平移距离
m
的值；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，点
(1,2)A
，
(5,0)B
，抛物线22(0)yaxaxa交
x
轴正半轴于点C，连结AO，AB．
（
1
）求点C的坐标；
（
2
）求直线AB的表达式；
（
3
）设抛物线22(0)yaxaxa分别交边BA，BA延长线于点D，E．
①若2AEAO，求抛物线表达式；
②若CDB△与BOA△相似，则
a
的值为．（直接写出答案）
14．在ABC中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的
n
倍（
n
为大于
1
的正整
数），则称ABC为
n
倍角三角形．例如，在ABC中，80A，75B，
25C，可知3BC，所以ABC为
3
倍角三角形．
（
1
）在ABC中，
55A
，25B，则ABC为
________
倍角三角形；
（
2
）若DEF是
3
倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的
1
3
，求DEF的最小内角．
（
3
）若MNP是
2
倍角三角形，且90MNP，请直接写出MNP的最小
内角的取值范围．
15．如图，抛物线2(40)yaxbxa与
x
轴交于3,0,4,0AC
两点，与
y
轴
交于点B．
1
求这条抛物线的顶点坐标；
2
已知ADAB(
点D在线段AC上
)
，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长
度的速度移动：同时另一个点
Q
以某一速度从点B沿线段BC移动，经过ts
的移动，线
段
PQ
被BD垂直平分，求
t
的值；
3
在2
的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M,
使
MQMC
的值最小
?
若存
在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，直线
4
(0)
3
yxbb交
x
轴于点A，交
y
轴于点B，
10AB．
（
1
）如图
1
，求b的值；
（
2
）如图
2
，经过点B的直线
(4)(40)ynxbn
与直线
ynx
交于点C，与
x
轴交于点R，//CDOA，交AB于点D，设线段CD长为d，求d与
n
的函数关系式；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，点F在第四象限，CF交OA于点E，45AEF,
点
P在第一象限，PHOA，点N在
x
轴上，点M在PH上，MN交PE于点G，
PHEN，过点E作
EQCF
，交PH于点
Q
，32EQEFPM，
OBRHNM，BCCR，点G的坐标为
1927
,
55
，连接FN，求EFN的面
积．
17．（
1
）如图
1
，
A
是⊙
O
上一动点，
P
是⊙
O
外一点，在图中作出
PA
最小时的点
A
．
（
2
）如图
2
，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90°
，
AC
＝
8
，
BC
＝
6
，以点
C
为圆心的⊙
C
的半径是
3.6
，
Q
是⊙
C
上一动点，在线段
AB
上确定点
P
的位置，使
PQ
的长最小，并求出其最小值．
（
3
）如图
3
，矩形
ABCD
中，
AB
＝
6
，
BC
＝
9
，以
D
为圆心，
3
为半径作⊙
D
，
E
为⊙
D
上一
动点，连接
AE
，以
AE
为直角边作
Rt
△
AEF
，∠
EAF
＝
90°
，
tan
∠
AEF
＝
1
3
，试探究四边形
ADCF
的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．
18．如图，在矩形ABCD中，6ABcm，8ADcm，连接BD，将ABD△绕B点作
顺时针方向旋转得到ABD
△（B′与B重合），且点D刚好落在BC的延长上，AD与
CD相交于点E．
（
1
）求矩形ABCD与ABD
△重叠部分（如图
1
中阴影部分ABCE）的面积；
（
2
）将ABD△以每秒
2
cm
的速度沿直线BC向右平移，如图
2
，当B′移动到C点时
停止移动．设矩形ABCD与ABD△重叠部分的面积为
y
，移动的时间为
x
，请你直接
写出
y
关于
x
的函数关系式，并指出自变量
x
的取值范围；
（
3
）在（
2
）的平移过程中，是否存在这样的时间
x
，使得AAB△成为等腰三角形？若
存在，请你直接写出对应的
x
的值，若不存在，请你说明理由．
19．已知：矩形
ABCD
内接于⊙
O
，连接
BD
，点
E
在⊙
O
上，连接
BE
交
AD
于点
F
，
∠
BDC+45°=
∠
BFD
，连接
ED
．
（
1
）如图
1
，求证：∠
EBD=
∠
EDB
；
（
2
）如图
2
，点
G
是
AB
上一点，过点
G
作
AB
的垂线分别交
BE
和
BD
于点
H
和点
K
，若
HK=BG+AF
，求证：
AB=KG
；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，⊙
O
上有一点
N
，连接
CN
分别交
BD
和
AD
于10点
M
和点
P
，连接
OP
，∠
APO=
∠
CPO
，若
MD=8
，
MC=3
，求线段
GB
的长．
20．已知：
AB
为⊙
O
的直径，点
C
为弧
AB
的中点，点
D
为⊙
O
上一点，连接
CD
，交
AB
于点
M
，
AE
为∠
DAM
的平分线，交
CD
于点
E
．
（
1
）如图
1
，连接
BE
，若∠
ACD=22°
，求∠
MBE
的度数；
（
2
）如图
2
，连接
DO
并延长，交⊙
O
于点
F
，连接
AF
，交
CD
于点
N
．
①求证：
DM2+CN2=CM2；
②如图
3
，当
AD=1
，
AB=10时，请直接写出
．．．．
线段
ME
的长．
21．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第
23
页第七题选择题（
2
）如图
1
，
如果
AB
∥
CD
∥
EF
，那么∠
BAC+
∠
ACE+
∠
CEF
＝（）
A．180°B．270°C．360°D．540°
（
1
）请写出这道题的正确选项；
（
2
）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图
2
，
AB
∥
EF
，请直
接写出∠
BAD
，∠
ADE
，∠
DEF
之间的数量关系．
（
3
）善于思考的龙洋同学想：将图
1
平移至与图
2
重合（如图
3
所示），当
AD
，
ED
分别
平分∠
BAC
，∠
CEF
时，∠
ACE
与∠
ADE
之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需
要证明．
（
4
）彭敏同学又提出来了，如果像图
4
这样，
AB
∥
EF
，当∠
ACD=90°
时，∠
BAC
、∠
CDE
和∠
DEF
之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
22．如图
1
，
D
是等边△
ABC
外一点，且
AD
＝
AC
，连接
BD
，∠
CAD
的角平分交
BD
于
E
．
（
1
）求证：∠
ABD
＝∠
D
；
（
2
）求∠
AEB
的度数；
（
3
）△
ABC
的中线
AF
交
BD
于
G
（如图
2
），若
BG
＝
DE
，求
AF
DE
的值．
23．如图，平行四边形
ABCD
中，
AB
⊥
AC
，
AB=2
，
AC=4
．对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，将
直线
AC
绕点
O
顺时针旋转
°
（
0°
＜
＜
180°
），分别交直线
BC
、
AD
于点
E
、
F
．
（
1
）当
=_____
°时，四边形
ABEF
是平行四边形；
（
2
）在旋转的过程中，从
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
中任意
4
个点为顶点构造四边形，
①当
=_______
°时，构造的四边形是菱形；
②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长．
24．问题探究
（
1
）如图
1
．在ABC中，
8BC
，D为BC上一点，6AD．则ABC面积的最大
值是
_______
．
（
2
）如图
2
，在ABC中，
60BAC
，AG为BC边上的高，
O
为ABC的外接
圆，若
3AG
，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明
理由．
问题解决：
如图
3
，王老先生有一块矩形地ABCD，6212AB，626BC，现在他想利
用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，ADDE，点F在BC
上，且6CF，点M在AE上，点N在AB上，90MFN，这个四边形AMFN的
面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
25．平面直角坐标系中，点
A
、
B
分别在
x
轴正半轴、
y
轴正半轴上，
AO
=
BO
，△
ABO
的面
积为
8
.
（
1
）求点
A
的坐标；
（
2
）点
C
、
D
分别在
x
轴负半轴、
y
轴正半轴上（
D
在
B
点上方），
AB
⊥
CD
于
E
，设点
D
纵坐标为
t
，△
BCE
的面积为
S
，求
S
与
t
的函数关系；
（
3
）在（
2
）的条件下，点
F
为
BE
中点，连接
OF
交
BC
于
G
，当∠
FOB
+∠
DAE
=
45
°时，
求点
E
坐标.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、中考数学压轴题
1．A
解析：（
1
）5ADx，6DFx；（
2
）△
ADF
为等腰三角形，
x
的取值可以是
48
17
，
48
31
，
1
2
；（
3
）
4
或
4
3
【解析】
【分析】
（
1
）由已知条件可得：
CD=4x
，根据勾股定理得：
AD=5x
，由
AB=6
且
C
在
B
点右侧，可以
依次表示
BC
、
CF
、
DF
的长；（
2
）分两种情况：①当
C
在
B
点的右侧时，
AF=DF
，②当
C
在线段
AB
上时，又分两种情况：
i
）当
CF
＜
CD
时，如图
3
，
ii
）当
CF
＞
CD
时，如图
4
，由
AF=DF
，作等腰三角形的高线
FN
，由等腰三角形三线合一得：
AN=ND=2.5x
，利用同角的三
角函数列比例式可求得
x
的值；（
3
）由翻折性质得到
DG='GD
，'DGFFGD，从
而证出'ADGAGD△≌△，从而推出∠
FAC=
∠
DAG
，即
AF
平分∠
DAC
，过
F
作
FN
⊥
AD
于
N
，分两种情况：当
C
在
AB
的延长线上时，当
C
在
AB
边上时，根据
3
5
sinCDA＝
可列
出关于
x
的比例式，即可求解
.
【详解】
⑴∵CD＝
4
3
AC，AC=3x，
∴CD=4x，
∵CD⊥AM，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：AD=5x，
∵AB=6，C在B点右侧，
∴
BC=AC-AB=3x-6
，
∵
BC=FC=3x-6
，
∴DF=CD-FC=4x-（3x-6）=x+6；
（2）分两种情况：
①当C在B点的右侧时，
∴
AC
＞
AB
，
∴F必在线段CD上，
∵∠
ACD=90°
，
∴∠AFD是钝角，若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，过F作FN⊥AD于N，如图，
∴
AN=ND=2.5x
，
∴
DNDC
cosADC
DFAD
，
即
2.54
65
xx
xx
＝
，
解得，
48
17
x
；
②当C在线段AB上时，同理可知若△ADF为等腰三角形，只可能AF=DF，
i）当CF＜CD时，过F作FN⊥AD于N，如图，
x的取值可以是
48
17
，
48
31
，
1
2
；
∵
AB=6
，
AC=3x
，
∴
BC=CF=6-3x
，
∴
DF=4x-
（
6-3x
）
=7x-6
，
∵
DNDC
cosADC
DFAD
，
∴
2.54
765
xx
xx
＝
，
解得
48
31
x；
ii）当CF＞CD时，如图4，
BC=CF=6-3x
，
∴
FD=AD=6-3x-4x=6-7x
，
则
6-7x=5x
，
x=
1
2
，
综上所述，x的取值可以是
48
17
，
48
31
，
1
2
；
（3）∵△DFG沿FG翻折得到'FDG△
∴DG=
'GD
，'DGFFGD
又∵AG=AG，
∴'ADGAGD△≌△
∴∠FAC=∠DAG，
即AF平分∠DAC，
如图，当C在AB的延长线上时，过F作FN⊥AD于N，
FN=FC=3x-6
，
DF=x+6
，
363
65
x
x
＝
，
解得：x=4；
当C在AB边上时，如图，
∵
FN=FC=6-3x
，
DF=7x-6
，
∴
633
765
x
sinCDA
x
＝
，
解得
4
3
x
；
综上所述，x的值是
4
或
4
3
.
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判
定、同角的三角函数以及动点问题，采用分类讨论的思想，并参考数形结合解决问题．
2．A
解析：（1）
min
119
3
42
tRH
；（
2
）（0，3-3）或（0，6）或（0，3+3）或
（0，12）．
【解析】
【分析】
（
1
）根据题意设2
39
(,33)
4
Pmmm
m
，
5
(,33)
4
Qmm，以及作R关于
y
轴对称
3
(3,33)
2
R
，并过R
点作直线
3
:4
3
x
ly的垂线交于H点RH
即为所求，从
而进行分析求解即可；
（
2
）根据题意分四种情形即
①
当
AA''=A''B
时；
②
当
AA''=AB
时；
③
当
AA''=A''B
时；
④
当
A''B=AB
时分别画出图形并进行分析求解
.
【详解】
解：（
1
）设2
39
(,33)
4
Pmmm
m
，
5
(,33)
4
Qmm，
2
393
2()2(3)
422PQMN
CQPNPmm
矩形
，
3
0
2
，开口向下，
当33m时，(33,33)P，
最少时间
1
2
tRKRKTB，
3
(3,33)
2
R，作R关于
y
轴对称
3
(3,33)
2
R
，
过R
点作直线
3
:4
3
x
ly的垂线交于H点RH
即为所求，
令
y=0
，解得
5
3
12
x，
12
()
5
30H，，
tRKKTTH
，
过R
作RHl
，
22
min
3119
(33)(330)3
242
12
5
tRH
.
（
2
）
①
当
AA''=A''B
时，如图
2
中，
此时，
A''
在对称轴上
对称性可知
∠AC′E=∠A''C′E
又
∠HEC′=∠A''C′E
∴∠AC′E=∠HEC′
∴HE=HC'=5
3−23＝
33，
∴OE=HE-HO=3
3−3
，
∴E(0
，
3−3
3)
，
②
当
AA''=AB
时，如图
3
中，设
A″C′
交
y
轴于
J
．
此时
AA''=AB=BC'=A''C'
，
∴
四边形
A''ABC'
为菱形，
由对称性可知，
∠AC'E=∠A''C'E=30°
，
∴JE=3JC′
＝
3
2
，
∴OE=OJ-JE=6
∴E
（
0
，
6
）
③
当
AA''=A''B
时，如图
4
中，设
AC′
交
y
轴于
M
．
此时，
A''
在对称轴上
∠MC'E=75°
又
∠AMO=∠EMC'=30°
∴∠MEC'=75°
∴ME=MC'
∴MC'=3
3，
∴OE=3+3
3，
∴E
（
0
，
3+
3）
.
④
当
A''B=AB
时，如图
5
中，
此时
AC'=A''C'=A''B=AB
∴
四边形
AC'A''B
为菱形
由对称性可知，
C''
，
E
，
B
共线
由抛物线2
39
33
44
yxx与
x
轴交于AB、两点（点A在点B的左侧）可知，
令
x=0
，解得
y=
−
33；令
x=0
，解得：
x
1=
−3，
x
2=43；
∴
A
（−3，
0
），
B(43，
0)
，
OB=43，
∴OE=
3OB
＝
12
，
∴E
（
0
，
12
）．
综上满足条件的点
E
坐标为（
0
，
3-3）或（
0
，
6
）或（
0
，
3+3）或（
0
，
12
）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线
段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．E
解析：（
1
）
2yx2x3；（
2
）
E
（
2
，
3
）或（
1
，
4
）；（
3
）
P
点横坐标为
11201
8
【解析】
【分析】
(1)
抛物线2(0)yaxbxca的顶点为
C
（
1
，
4
），设抛物线的解析式为
2(1)4yax，由抛物线过点
B,
（
3
，
0
），即可求出
a
的值，即可求得解析式；
（
2
）过点
E
、
F
分别作
x
轴的垂线，交
x
轴于点
M
、
N
，设点
E
的坐标为
2,23xxx
，求出
A
、
D
点的坐标，得到
OM=x
，则
AM=x+1
，由
AF=2EF
得到
22(1)
33
x
ANAM
，从而推出点
F
的坐标
21210
(,)
3333
xx
，由
2
3
FN
EM
，列出
关于
x
的方程求解即可；
（
3
）先根据待定系数法求出直线
DM
的解析式为
y=-2x+3
，过点
P
作
PT
∥
y
轴交直线
DM
于点
T
，过点
F
作直线
GH
⊥
y
轴交
PT
于点
G
，交直线
CE
于点
H.
证明△
FGP
≌△
FHQ
，得到
FG=FH
，
PT=
4
5
GH.
设点
P
（
m
，
-m²+2m+3
），则
T
（
m
，
-2m+3
），则
PT=m²-4m
，
GH=1-
m
，可得
m²-4m=
4
5
（
1-m
），解方程即可
.
【详解】
（
1
）∵抛物线的顶点为
C
（
1
，
4
），
∴设抛物线的解析式为2(1)4yax，
∵抛物线过点
B,
（
3
，
0
），
∴20(31)4a，
解得
a=-1
，
∴设抛物线的解析式为2(1)4yx，
即
2yx2x3；
（
2
）如图，过点
E
、
F
分别作
x
轴的垂线，交
x
轴于点
M
、
N
，设点
E
的坐标为
2,23xxx
，
∵抛物线的解析式为
2yx2x3，
当
y=0
时，2023xx，
解得
x=-1
或
x=3
，
∴
A
（
-1.0
），
∴点
D
（
0,3
），
∴过点
BD
的直线解析式为
3yx
，点
F
在直线
BD
上，
则
OM=x
，
AM=x+1
，
∴
22(1)
33
x
ANAM
，
∴
2(1)21
11
333
xx
ONAN
，
∴
21210
(,)
3333
xx
F
，
∴
2
210
33
2
233
FN
EMxx
x
，
解得
x=1
或
x=2
，
∴点
E
的坐标为（
2
，
3
）或（
1
，
4
）；
（
3
）设直线
DM
的解析式为
y=kx+b
，过点
D
（
0,3
），
M
（
3
2
，
0
），
可得，
3
0
2
3
kb
b
，
解得
k=-2
，
b=3
，
∴直线
DM
的解析式为
y=-2x+3
，
∴
3
2
OM，3OD，
∴
tan
∠
DMO=2
，
如图，过点
P
作
PT
∥
y
轴交直线
DM
于点
T
，过点
F
作直线
GH
⊥
y
轴交
PT
于点
G
，交直线
CE
于点
H.
∵
PQ
⊥
MT
，
∴∠
TFG=
∠
TPF
，
∴
TG=2GF
，
GF=2PG
，
∴
PT=
2
5
GF
，
∵
PF=QF
，
∴△
FGP
≌△
FHQ
，
∴
FG=FH
，
∴
PT=
4
5
GH.
设点
P
（
m
，
-m²+2m+3
），则
T
（
m
，
-2m+3
），
∴
PT=m²-4m
，
GH=1-m
，
∴
m²-4m=
4
5
（
1-m
），
解得：
1
11201
8
m
，或
2
11201
8
m
（不合题意，舍去），
∴点
P
的横坐标为
11201
8
.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是
学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度
.
4．E
解析：（
1
）∠
EPF=
∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）
①150°，∠EQF=180°－
1
2
∠EPF
【解析】
【分析】
（
1
）如下图，过点
P
作
AB
的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（
2
）如下图，根据（
1
）的结论，可得∠
AEP+∠PFC=∠EPF=90°
，利用△
EPF
内角和为
180°
可推导得出∠
PEF+∠PFE=90°
，从而得出∠
PEF=
∠
AEP
；
（
3
）
①
根据（
1
）的结论知：∠
AEP+∠PFC=∠EPF=60°
，再利用角平分线的性质得出
∠
PEQ+∠PFQ=150°
，最后在四边形
EPFQ
中得出结论；
②根据（
1
）的结论知：∠
AEP+∠PFC=∠EPF°
，再利用角平分线的性质得出
∠
PEQ+∠PFQ=180°
－
1
EPF
2
，最后在四边形
EPFQ
中得出结论．
【详解】
（
1
）如下图，过点
P
作
PQ
∥
AB
∵
PQ
∥
AB
，
AB
∥
CD
，∴
PQ
∥
CD
∴∠
AEP=∠EPQ
，∠
QPF=∠PFC
又∵∠
EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠
EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点
P
作
PQ
∥
AB
同理，
AB
∥
QP
∥
CD
∴∠
AEP+∠QPE=180°
，∠
QPF+∠PFC=180°
∴∠
AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°
（
2
）根据（
1
）的结论知：∠
AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵
PF
是∠
CFE
的角平分线，∴∠
PFC=∠PFE
在△
PEF
中，∵∠
EPF=90°
，∴∠
PEF+∠PFE=90°
∴∠
PEF+∠PFE=
∠
AEP+∠PFC
∴∠
PEF=
∠
AEP
，∴
PE
是∠
AEF
的角平分线
（
3
）
①
根据（
1
）的结论知：∠
AEP+∠PFC=∠EPF=60°
∴∠
BEP+∠PFD=180°
－∠
AEP+180°
－∠
PFC=300°
∵
EQ
、
QF
分别是∠
PEB
和∠
PFD
的角平分线
∴∠
PEQ=QEB
，∠
PFQ=∠QFD
∴∠
PEQ+∠PFQ=150°
在四边形
PEQF
中，∠
EQF=360°
－∠
EPF
－
(
∠
PEQ+∠PFQ)=360°
－
60°
－
150°=150°
②根据（
1
）的结论知：∠
AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠
BEP+∠PFD=180°
－∠
AEP+180°
－∠
PFC=360°
－∠
EPF
∵
EQ
、
QF
分别是∠
PEB
和∠
PFD
的角平分线
∴∠
PEQ=∠QEB
，∠
PFQ=∠QFD
∴∠
PEQ+∠PFQ=
1
360EPF
2
－=180°
－
1
EPF
2
∴在四边形
PEQF
中：
∠
EQF=360°
－∠
EPF
－
(
∠
PEQ+∠PFQ)=360°
－EPF－
(180°
－
1
EPF
2
)=180°
－
1
EPF
2
【点睛】
本题考查“
M
”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后
利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．
5．D
解析：（
1
）证明见解析；（
2
）29或5；（
3
）
DG=2MG
，理由见解析．
【解析】
【分析】
(1)
连接
MG
并延长交
AB
于
N
点，证明△
ANM
≌△FGM后得到MG=MN，AN=CG，进而得到
BN=BG，得到△ANG为等腰直角三角形，即可证明MG=MB.
(2)
分两种情况画出图形再利用
(1)
中的思路结合勾股定理即可求解
.
(3)
先画出图形，然后证明△
ADG
≌△
ABG
，得到
DG=BG
，又△
BMG
为等腰直角三角形，故
而得到
DG=BG=2
MG.
【详解】
解：
(1)
连接
MG
并延长交
AB
于
N
点，如下图所示：
∵
GF
∥
AN
，
∴∠
NAM=
∠
GFM
在△
ANM
和△
FGM
中
∠∠
BAMGFM
AMFM
NMAGMF
，∴△
ANM
≌△
FGM(ASA)
∴
MG=MN
，
CG=GF=AN
∴
AB-AN=BC-CG
∴
NB=GB
∴△
NBG
为等腰直角三角形
又
M
是
NG
的中点
∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：
故有：
MG=MB.
(2)
分类讨论：
情况一：当
B
、
G
、
F
三点在正方形
ABCD
外同一直线上时
延长
MG
到
N
点，并使得
MG=MN
，连接
AN
，
BN
∴
∠∠
MNMG
AMNGMF
AMFM
，∴△
AMN
≌△
FMG(SAS)
∴
AN=GF=GC
，∠
NAM=
∠
GFM
∴
AN
∥
GF
∴∠
NAB+
∠
ABG=180°
又∠
ABC=90°
∴∠
NAB+
∠
CBG=90°
又在△
BCG
中，∠
BCG+
∠
CBG=90°
∴∠
NAB=
∠
BCG
∴在△
ABN
中和△
CBG
中：
∠∠
ABBC
NABGCB
ANCG
，∴△
ABN
≌△
CBG(SAS)
∴
BN=BG
，∠
ABN=
∠
CBG
∴∠
ABC=
∠
NBG=90°
∴△
NBG
是等腰直角三角形，且∠
BGN=45°
在
Rt
△
BCG
中，2222=534BGBCCG
过
M
点作
MH
⊥
BG
于
H
点，∴△
MHB
为等腰直角三角形
∴
MH=BH=HG=
1
2
BG=2
在
Rt
△
MFH
中，2222MF=2529MHHF
情况二：当
B
、
G
、
F
三点在正方形
ABCD
内同一直线上时
如下图所示，延长
MG
到
MN
，并使得
MG=MN
，连接
NA
、
NB
，
同情况一中证明思路，
∠∠
MNMG
AMNGMF
AMFM
，△
AMN
≌△
FMG(SAS)
∴
AN=GF=GC
，∠
NAM=
∠
GFM
∴
AN
∥
GF
∴∠
NAB=
∠
ABG
又∠
ABG+
∠
GBC=90°
∠
GBC+
∠
BIF=90°
∴∠
BIF=
∠
ABG
又∠
BIF=
∠
BCG
，∠
ABC=
∠
NAB
∴∠
NAB=
∠
GCB
∴在△
ABN
中和△
CBG
中：
∠∠
ABBC
NABGCB
ANCG
，∴△
ABN
≌△
CBG(SAS)
∴
BN=BG
，∠
ABN=
∠
CBG
∴∠
ABC=
∠
NBG=90°
∴△
NBG
是等腰直角三角形，且∠
BGN=45°
在△
BCG
中，2222=534BGBCCG
过
M
点作
MH
⊥
BG
于
H
点，∴△
MHB
为等腰直角三角形
∴
MH=BH=HG=
1
2
BG=2
∴
HF=HG-GF=2-1=1
在
Rt
△
MFH
中，2222MF=215MHHF
故答案为：29或5.
(3)
由题意作出图形如下所示：
DG
、
MG
的数量关系为：
DG=
2
MG
，理由如下：
∵
G
点在
AC
上
∴∠
DAG=
∠
BAG=45°
在△
ADG
和△
ABG
中：
∠∠
ADAB
DAGBAG
AGAG
，∴△
ADG
≌△
BAG(SAS)
∴
DG=BG
又由
(2)
中的证明过程可知：△
MBG
为等腰直角三角形
∴
BG=2
MG
∴
DG=2MG
故答案为：
DG=2
MG.
【点睛】
本题考查了正方形的旋转、三角形的全等、勾股定理等知识，难度很大，关键是要能正确
做出图形，利用数形结合的思想，熟练的使用正方形的性质是解题的关键
.
6．A
解析：（
1
）ABC是“准黄金”三角形，理由见解析；（
2
）
329
10
AB
BC
；（
3
）
①125615；②
35
5
AD
CD
．
【解析】
【分析】
（
1
）过点
A
作
ADBC
于点
D
，先求出
AD
的长度，然后得到
6
10
3
5
AD
BC
，即可得到
结论；
（
2
）根据题意，由“金底”的定义得:3:5AEBC，设3AEk，5BCk，由勾股
定理求出
AB
的长度，根据比值即可求出
AB
BC
的值；
（
3
）①作
AE
⊥
BC
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
，先求出
AC
的长度，由相似三角形的性质，得到
AF=2DF
，由解直角三角形，得到3CFDF，则(23)35ACx，即可求出
DF
的长度，然后得到
CD
的长度；
②由①可知，得到
CE
和
AC
的长度，分别过点B
，
D
作BGBC
，DFAC，垂足分
别为点
G
，
F
，然后根据相似三角形的判定和性质，得到
DFAF
AEEC
，然后求出
CD
和
AD
的长度，即可得到答案．
【详解】
解：（
1
）ABC是“准黄金”三角形．
理由：如图，过点
A
作
ADBC
于点
D
，
∵12AC，30ACB，
∴
1
6
2
ADAC．
∴:6:103:5ADBC．
∴ABC是“准黄金”三角形．
（
2
）∵点
A
，
D
关于
BC
对称，
∴BEAD，AEED．
∵ABC是“准黄金”三角形，
BC
是“金底”，
∴:3:5AEBC．
不防设3AEk，5BCk，
∵点C为ABD△的重心，
∴:2:1BCCE．
∴
5
2
k
CE
，
15
2
k
BE
．
∴
2
2
15329
(3)
22
k
ABkk
．
∴
329329
:5
210
AB
kk
BC
．
（
3
）
①
作
AE
⊥
BC
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
，如图：
由题意得
AE=3
，
∵
3
5
AE
BC
，
∴
BC=5
，
∵
10
5
AB
BC
，
∴10AB，
在
Rt
△
ABE
中，由勾股定理得：
22(10)31BE，
∴156EC，
∴223635AC；
∵∠
AEC=
∠
DFA=90
°，∠
ACE=
∠
DAF
，
∴△
ACE
∽△
DAF
，
∴
31
26
AE
E
D
C
F
AF
，
设DFx，则2AFx，
∵∠
ACD=30
°，
∴3CFx，
∴(23)35ACx，
解得：65315DFx
∴2125615CDDF．
②如图，过点
A
作AEBC于点
E
，则3AE．
∵ABC是“准黄金”三角形，
BC
是“金底”，
∴:3:5AEBC．
∴
5BC
．
∵
10
5
AB
BC
，
∴10AB．
∴221BEABAE．
∴6CEBEBC，2236935ACCEAE．
分别过点B
，
D
作BGBC
，DFAC，垂足分别为点
G
，
F
，
∴90BGCDFC
，3BG
，5CBBC
，则
CG4
．
∵GCBFCD
，
∴AECDFA∽△△．
∴
::::3:4:5DFFCCDBGGCCB
．
∴设3DFk，4FCk，5CDk．
∵
12
ll//
，
∴ACECAD，且
90AECAFD
．
∴AECDFA∽△△．
∴
DFAF
AEEC
．
∴
3354
36
kk
，解得
35
10
k．
∴
35
5
2
CDk，
22
22
95959
5102
AFDFAD
．
∴
9
335
2
5
355
2
AD
CD
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解
直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图
形，根据数形结合的思想进行解答．
7．B
解析：（
1
）93CE；（
2
）详见解析；（
3
）
61
32
BDDEEF
【解析】
【分析】
（
1
）过点B作BHAC于点H，分别求出BH，BE，根据勾股定理问题得解；
（
2
）如图在FE上取一点G，使FGAC，连接DG，先证明
()ACDGFDSAS≌
，再证明
()ECBDGEAAS≌
，问题得证；
（
3
）过点D作AE的垂线，构造出一个
30
，60，90的三角形和一个等腰直角三角形,
借助（
2
）的结论，设222EFABACx，2EDy，通过解两个直角三角形，代
换
x
和
y
的关系，得出结论．
【详解】
解：（
1
）如图，过点B作BHAC于点H，
在等边ABC中∵23BC
∴3AHHC，223BHBCCH
,
∵
点
E
在
BD
的垂直平分线上，
∴310BEDE
，
在RtBHE中229EHBEBH
∴93CEEHHC
（
2
）如图在FE上取一点G，使FGAC，连接DG
∵DFCD
∴FCDCFD
∴ACDEFD
在ACD和GFD中，
DFCD
ACDEFD
FGAC
∴
()ACDGFDSAS≌
∴ADDG
∴60ADGA
∴60ADGAADG
设EBDEDB
∴120CBE
在ADE中
∴18060120AED
∴120AEDCBE
在ECB和DGE中
120
AEDCBE
ECBECD
EBDE
∴
()ECBDGEAAS≌
∴BCGE
∴ABACBCGEFG
1
2
ABEF
（
3
）如图，设222EFABACx，
DP=y
，
过点DP⊥AE，垂足为
P
，
∵∠
AED=45
°
,
∠
A=60
°
,
∴
2
sinsin45
DPy
EDy
AED
，
23
sinsin603
DPyy
AD
A
，
∴
2
=
2
yDE,
∴
BD=AD-AB=
23232161
332232
y
xDEEFDEEF，
故答案为：
61
32
BDDEEF．
【点睛】
本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造
直角三角形或构造全等是解题关键．
8．F
解析：（
1
）28AD；（
2
）见详解；（
3
）EFBEDF，理由见详解
【解析】
【分析】
（
1
）根据旋转的性质可证明ADCEDB，
6,ACBEADED
，在ABE△中
根据三角形三边关系即可得出答案；
（
2
）延长
FD
至
M
，使
DF=DM
，连接
BM
，
EM
，可得出CFBM，根据垂直平分线的性
质可得出EFEM，利用三角形三边关系即可得出结论；
（
3
）延长
AB
至
N
，使
BN=DF
，连接
CN
，可得NBCD，证明NBCFDC，得
出
,CNCFNCBFCD
，利用角的和差关系可推出50ECNECF，再证明
NCEFCE，得出
ENEF
，即可得出结论．
【详解】
解：（
1
）∵
,,ADEDCDBDADCBDE
∴ADCEDB
∴
6,ACBEADED
在ABE△中根据三角形三边关系可得出：
ABBEAEABBE，即4216AD
∴28AD
故答案为：28AD；
（
2
）延长
FD
至
M
，使
DF=DM
，连接
BM
，
EM
，
同（
1
）可得出CFBM，
∵
,FDMDFDDE
∴EFEM
在BEM△中，BEBMEM
∴BECFEF；
（
3
）EFBEDF，理由如下：
延长
AB
至
N
，使
BN=DF
，连接
CN
，
∵
180,180ABCDABCNBC
∴NBCD
∴NBCFDC
∴
,CFCNNCBFCD
∵
100,50BCDFCE
∴50ECNECF
∴NCEFCE（
SAS
）
∴
ENEF
∴EFENBEBNBEDF
∴EFBEDF．
【点睛】
本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三
角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的
图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
9．C
解析：（
1
）①
3
2
，3，32CP，②O；（2）
1
3
b
；（3）0＜r≤3．
【解析】
【分析】
（
1
）①根据垂线段最短以及已知条件，确定
OP
，
CP
的最大值，最小值即可解决问题．②
根据限距关系的定义判断即可．
（
2
）直线3yxb与
x
轴、
y
轴分别交于点
F
，
G
（
0
，
b
），分三种情形：①线段
FG
在⊙
O
内部，②线段
FG
与⊙
O
有交点，③线段
FG
与⊙
O
没有交点，分别构建不等式求解
即可．
（
3
）如图
3
中，不妨设⊙
K
，⊙
H
的圆心在
x
轴上位于
y
轴的两侧，根据⊙
H
和⊙
K
都满足
限距关系，构建不等式求解即可．
【详解】
（
1
）①如图
1
中，
∵
D
（
-1
，
0
），
E(0
，3
)
，
∴
OD=1
，3OE，
∴
3
OE
tanEDO
OD
，
∴∠
EDO=60
°，
当
OP
⊥
DE
时，
3
•60
2
OPODsin，此时
OP
的值最小，
当点
P
与
E
重合时，
OP
的值最大，最大值为3，
当
CP
⊥
DE
时，
CP
的值最小，最小值•603CDcos，
当点
P
与
D
或
E
重合时，
PC
的值最大，最大值为
2
，
故答案为：
3
2
，3，32CP.
②根据限距关系的定义可知，线段
DE
上存在两点
M
，
N
，满足
OM=2ON
，
故点
O
与线段
DE
满足限距关系．
故答案为
O
．
（
2
）直线3yxb与
x
轴、
y
轴分别交于点
F
，
G
（
0
，
b
），
当
0
＜
b
＜
1
时，线段
FG
在⊙
O
内部，与⊙
O
无公共点，
此时⊙
O
上的点到线段
FG
的最小距离为
1-b
，最大距离为
1+b
，
∵线段
FG
与⊙
O
满足限距关系，
∴
1+b
≥
2
（
1-b
），
解得
1
3
b
，
∴
b
的取值范围为
1
3
1b＜
．
当
1
≤
b
≤
2
时，线段
FG
与⊙
O
有公共点，线段
FG
与⊙
O
满足限距关系，
当
b
＞
2
时，线段
FG
在⊙
O
的外部，与⊙
O
没有公共点，
此时⊙
O
上的点到线段
FG
的最小距离为
1
2
1b
，最大距离为
b+1
，
∵线段
FG
与⊙
O
满足限距关系，
∴
1
121
2
bb
，
而
1
121
2
bb
总成立，
∴
b
＞
2
时，线段
FG
与⊙
O
满足限距关系，综上所述，
b
的取值范围为
1
3
b
．
（
3
）如图
3
中，不妨设⊙
K
，⊙
H
的圆心在
x
轴上位于
y
轴的两侧，
两圆的距离的最小值为
2r-2
，最大值为
2r+2
，
∵⊙
H
和⊙
K
都满足限距关系，
∴
2r+2
≥
2
（
2r-2
），
解得
r
≤
3
，
故
r
的取值范围为
0
＜
r
≤
3
．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系
的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创
新题型．
10．H
解析：（
1
）3；（
2
）最短距离为：21，H(
9
14
，
13
3
14
)，I(
27
5
，
2
3
5
)
【解析】
【分析】
（
1
）根据菱形性质，得到
A
、
B
、
C
、
O
四点坐标，然后根据平移得到对应点坐标，故可求
得CE
和CF
的长，令它们相等可得
m
的值；
（
2
）点G作以CA
为对称轴的点G
，交CF
于点G
，点J作以OB
为对称轴的点J
，
交AB
于点J
，GJ
与CA
、AB
的交点便是点H、I；先利用对称的性质，求解得出
点G
、J
的坐标，然后利用代入系数法求得线段对应函数解析式，最后联立方程得到点
H、I的坐标.
【详解】
（
1
）如下图，
CB
与
y
轴交于点
M
，过点
C
作
x
轴的垂线，交
x
轴于点
N
∵在菱形
ABCO
中，∠
C=60°
，菱形边长为
4
∴在
Rt
△COM中，CM=2，MO=23
∴O(0，0)，A(4，0)，B(2，23)，C(－2，23)
∵将菱形OABC先向右平移4个单位后，再向下平移03mm
个单位，得到菱形
''''OABC
∴O
(4，－m)，A
(8，－m)，B
(6，23m－)，C
(2，23m－)
∴直线AB的解析式为：y=343x
∵点E的纵坐标为：23m－，代入解析式得：x=
3
2
3
m
∴E(
3
2
3
m，23m－)
同理，F(
3
4
3
m，0)
∵四边形AECF
是菱形
∴EFCC
E
3
3
Cm
∵C
(2，23m－)，F(
3
4
3
m，0)
∴NF=
3
2
3
m，∴
23
F4
3
Cm
∴
323
4
33
mm
解得：m=3
（2）如下图，点G作以CA
为对称轴的点G
，交CF
于点G
，过点C
作x轴的垂线，
交过点G
作y轴的垂线于点K，同样作点J
和点Q
∵m=3，∴C
(2，3)，E(3，3)
∵点G是CE
的中点，∴
1
2
CG
∴
1
2
CG
，∴
1
4
GK
，
3
4
CK
∴G
(
9
4
，
33
4
)
同理，J
3
2
BJB
∴
3
4
JQ
，
33
4
QB
∴J
(
27
4
，
3
4
)
∴
2
2279333
21
4444
GJ
∴最短距离为：21
根据点A、C
可得直线AC
的解析式为：
353
24
yx
根据点O
、B
可得直线OB
的解析式为：353yx
根据点G
、J
可得直线GJ
的解析式为：
3
3
9
yx
联立GJ
和AC
得：x=
9
14
，y=
133
14
，∴H(
9
14
，
133
14
)
联立GJ
和OB
得：x=
27
5
，y=
23
5
，∴I(
27
5
，
23
5
)
【点睛】
本题考查了菱形的性质、一次函数与平面直角坐标系，在第（
2
）问中，解题关键是利用对
称找出最短距离对应的点
.
11．B
解析：（
1
）333；（
2
）
18
；（
3
）①
27
16
；②
972
625
【解析】
【分析】
（
1
）过点
B
作
BF⊥AD
，交
DA
的延长线于点
F
，利用等腰直角三角形
ABF
求得
AF
和
BF
的长，再利用
Rt△PBF
求得
PF
的长，进而得解；
（
2
）作点
B
关于直线
AD
的对称点
B'
，连接
B'C
，交
AD
于点
P'
，连接
BP'
，根据两点之间
线段最短可知当
B'
，
P
，
C
三点共线时，BPC△周长取得最小值，再利用勾股定理计算即
可；
（
3
）
①②
根据EMPB，ENPC可得点
E
、
M
、
P
、
N
在以
PE
为直径的圆上，利用
圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△
MPN
∽△
CPB
，进而可知当
MN
最大时，
PMN面积的最大，当
MN
最小时，PMN面积的最小，由圆的性质可知当
MN
为直径
时
MN
最大，当
MN⊥PE
时，
MN
最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质
求解即可．
【详解】
解：（
1
）如图，过点
B
作
BF⊥AD
，交
DA
的延长线于点
F
，
∵
AD
∥
BC
，
∠ABC
＝
45°
，
∴∠
FAB
＝∠
ABC
＝
45°
，
∵
BF
⊥
AD
，
∴在
Rt△ABF
中，
AF2+BF2＝
AB2，
∵32AB
∴
AF
＝
BF
＝
2
2
AB
＝
2
323
2
，
∵
AD
∥
BC
，
∠PBC
＝
30°
，
∴∠
FPB
＝∠
PBC
＝
30°
，
∵在
Rt△PBF
中，
tan
∠
FPB
＝
BF
PF
∴
tan30°
＝
33
3PF
，
∴33PF
∴333APPFAF；
（
2
）如图，作点
B
关于直线
AD
的对称点
B'
，连接
B'C
，交
AD
于点
P'
，连接
BP'
，
∵点
B
与点
B'
关于直线
AD
对称，
∴
AD
垂直平分
BB'
，
BF
＝
B'F
＝
3
，
∴
P'B
＝
P'B'
，
BB'
＝
6
，
∴当点
P
在点
P'
时，
PB+PC
取得最小值，最小值为
B'C
的长，此时
△BPC
的周长最小，
在
Rt
△
BB'C
中，
B'C
＝22226810'BBBC，
∴
△BPC
的周长最小值为
B'C+BC
＝
10+8
＝
18
；
（
3
）
①
∵EMPB，ENPC，
∴∠
EMP
＝∠
ENP
＝
90°
，
∴点
E
、
M
、
P
、
N
在以
PE
为直径的圆上，如图所示，
则
∠PMN
＝∠
PEN
，
∵PEBC，ENPC，
∴∠
PEC
＝∠
ENC
＝
90°
，
∴∠
PEN+
∠
NEC
＝∠
NEC+
∠
PCB
＝
90°
，
∴∠
PEN
＝∠
PCB
，
∴∠
PMN
＝∠
PCB
，
又∵∠
MPN
＝∠
CPB
，
∴△
MPN
∽△
CPB
，
∴
2
PMN
PCB
S
MN
SBC
∵PEBC，
∴
PE
＝
3
，
∴
11
8312
22PCB
SBCPE
∴
2
128
PMN
S
MN
∴当
MN
取得最大值时，PMN的面积取得最大值，
当
MN
＝
PE
＝
3
时，
23
128
PMN
S
解得
27
16PMN
S
即当
MN
＝
PE
＝
3
时，PMN的面积最大，最大值为
27
16
；
②
由
①
可知，
2
128
PMN
S
MN
，
∴当
MN
取得最小值时，PMN的面积取得最小值，
由垂径定理可知，当
MN⊥PE
时，
MN
取得最小值，
如图，当
MN⊥PE
时，则弧
ME
＝弧
NE
∴
∠MPE
＝
∠NPE
，
∵PEBC，
∴
∠PEB
＝
∠PEC
＝
90°
，
∴△
PEB≌
△
PEC
，
∴
EB
＝
EC
＝
1
2
BC
＝
4
，
在
Rt△BEP
中，
BP
＝2222435BEPE,
∵
11
22BEP
SBEPEBPME
∴
11
435
22
ME
∴
12
5
ME,
在
Rt△PME
中，
PM
＝
2
222
129
3
55
PEME
∵
11
22PME
SPMMEPEMH
∴
19121
3
2552
MH
∴
36
25
MH,
∴
72
2
25
MNMH,
∴
2
2
72
9
25
12825
PMN
S
,
解得
972
625PMN
S，
∴PMN面积的最小值为
972
625
．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、特殊角的三角函数、相似三角形的判定及性质、勾股定理、
垂径定理和圆周角定理等相关知识，有点难度，属中考压轴题，能够将第（
3
）问转化为利
用圆的相关知识和相似三角形的性质解决是解决本题的关键．
12．A
解析：（
1
）详见解析；（
2
）
45AQB
，21
ABDE
S
四边形
；（
3
）存在，当
642
2
m
时，四边形ABDE面积最大值为322
【解析】
【分析】
（
1
）利用等腰三角形
“
三线合一
”
的性质，取
AC
中点为点
P
即可．
（
2
）延长
AP
、
CD
相交于点
M
，取
AB
的中点
F
，连接
PF
．证明△
APE
≌△
MPD
，得到
AP=MP
，从而可得
PF
是△
ABM
的中位线．进而得到
PF
是
AB
的垂直平分线，这样可以得
出∠
APB=2
∠
M=2
∠
EAP
．由
AE=PE
可得∠
M=
∠
MPD=
∠
EPA=
∠
EAP
，所以可得
∠
PDB=2
∠
M
，由
AC
∥
ED
可得∠
PDB=
∠
ACB=45°
，所以∠
APB=45°
．
（
3
）如图，以
AB
为边长，在直线
AB
的右侧作等边三角形
ABO
，在以
O
为圆心、
OA
长为
半径作⊙
O
．过点
O
作
OM
⊥
AC
，交⊙
O
于点
M
，点
M
在
AC
的右上方．过点
M
作
AC
的
平行线
DE
，
AE
∥
BC
，
BC
的延长线交
DE
于点
D
．则此时满足∠
AMB=30°
，此时四边形
ABDE
的面积最大．
【详解】
解：
(1)
利用等腰三角形的“三线合一”性质，取
AC
的中点
P
，连接
BP
即可，如下图所
示：
(2)
如下图所示：
延长
AQ
、
CD
相交于点
M
，取
AB
的中点
F
，连接
PF
．
由平移的性质可得，
DE=AC=2
，
AE=CD=1
，
AC
∥
DE
，
AE
∥
CD
设∠
EAQ=x
∵点
Q
是
DE
的中点∴
QE=QD=
1
2
DE=1
∴
QE=AE
∴∠
AQE=
∠
EAQ=x
，∴∠
MQD=
∠
AQE=x
∵
AE
∥
CD
∴∠
M=
∠
EAQ=x
在△
AQE
和△
MQD
中
EAQM
AQEMQD
QEQD
，
∴
△
AQE
≌△
MQD(AAS)
∴
AQ=MQ
∵点
F
是
AB
的中点
∴
QF
是△
ABM
的中位线
∵由题知，∠
ABC=90
°
∴∠
AFQ=90
°
∴
PF
⊥
AB
，点
F
是
AB
的中点
∴
BQ=AQ=MQ
∴∠
QBM=
∠
M=x
∴∠
AQB=
∠
QBM+
∠
M=2x
由题知∠
ACB=45
°且
AC
∥
DE
∴∠
QDB=
∠
ACB=45
°
∵∠
QDB=
∠
MQD+
∠
M=2x
∴
2x=45°
即∠
AQB=45°
在等腰直角△
ABC
中，斜边
AC=2
，则
AB=BC=2
∴
BD=BC+CD=2+1
∴四边形
ABDE
的面积为：
11
()(121)221.
22
AEBDAB
故答案为：
45AQB
，21
ABDE
S
四边形
.
(3)
存在．
如下图，以
AB
为边长，在直线
AB
的右侧作等边三角形
ABO
，在以
O
为圆心、
OA
长为半
径作⊙
O
．过点
O
作
OM
⊥
MD
，交⊙
O
于点
M
，点
M
在
AC
的右上方．
过点
M
作
AC
的平行线
DE
，
AE
∥
BC
，
BC
的延长线交
DE
于点
D
，
AE
交⊙
O
于点
H
．
则此时满足∠
AMB=30
°，此时四边形
ABDE
的面积最大．
作
OF
⊥
AE
于
F
，
OM
与
AE
相交于点
N
．
∵
AE
∥
CD
，
DE
∥
AC
∴四边形
ACDE
是平行四边形
∴
AE=CD
，
DE=AC=2
∴∠
EDC=
∠
ACB=45
°
∴∠
AEM=
∠
EDC=45
°
∵
OM
⊥
AC
∴
OM
⊥
DE
∴∠
NME=90
°
∴
NE=2MN
，∠
MNH=45
°
由（
2
）知，
AB=BC=2
∴⊙
O
的半径是2.
连接
BH
，∵
AE
∥
BC
，∠
ABC=90°
∴∠
BAH=180°-
∠
ABC=90°
∵∠
AMB=30
°，AB
AB
∴∠
AHB=
∠
AMB=30
°
∴3=6AHAB
∵
OF
⊥
AH
，点
O
是圆心
∴
16
==
22
AFAH
根据勾股定理得22
2
==
2
OFOAAF
∵∠
FNO=
∠
MNH=45°
∴
2
=2=1==
2
，ONOFFNOF
∴21MNOMON
∴=222NEMN
∴
26
CD=AE=AF+FN+NE=+2+
22
∴
116226
=()(22)2
222222四边形最大面积
ABDE
SAEBDAB
223
故答案为：当
642
2
m
时，四边形ABDE面积最大值为322.
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平移的性质、平行四边形的判定及其性质以及圆
的性质．本题综合性强，难度大，在第三问中，根据定弦定圆周角找到辅助圆解决问题，
这是近年来中考的一个热点
13．C
解析：（
1
）点C的坐标为
(2,0)
；（
2
）
15
22
yx
；（
3
）①2
48
1515
yxx
；
②
10
13
．
【解析】
【分析】
（
1
）求得对称轴，由对称性可知
C
点坐标；
（
2
）利用待定系数法求解可得；
（
3
）①由
AE=3AO
的关系，建立
K
型模型相似，求得点
E
坐标代入解析式可得；
②若
△CDB
与
△BOA
相似，则∠
OAB=
∠
CDB=90°
，由相似关系可得点
D
坐标，代入解析式
y=ax2-2ax
可得
a
值．
【详解】
解：（
1
）把
0y
代入22yaxax，得220axax，
解得：0x，或2x．
∵点C在
x
轴正半轴上，
∴点C的坐标为
(2,0)
．
（
2
）设直线表达式为
ykxb
，把点
(1,2)A
，
(5,0)B
分别代入
ykxb
，
得
2
50
kb
kb
，解得
1
2
5
2
k
b
，
∴直线AB的表达式为：
15
22
yx
．
（
3
）①作AHx轴于点H，EFAH于点F（如图），
∵222125OA，2222420AB
，22525OB，
∴222OAABOB．
∴90EAOOAB．
由EFAAHO△∽△，得
2
EFFAEA
AHHOAO
，
∴4EF，2FA，
∴点E坐标为
()3,4
．
把
(3,4)E
代入22yaxax，得964aa，
解得：
4
15
a
．
∴2
48
1515
yxx
．
②
若
△CDB
与
△BOA
相似，如图，作
DG
⊥
BC
，
∴
CDBDBC
AOABBO
，∠
OAB=
∠
CDB=90°
，
∴
3
5
525
CDBD
，
∴
35
5
CD，
65
5
BD，
∵523BC，
∴
3565
6
55
35
DG
，
∴
156
225
x
，解得：
13
5
x
，
∴点
D
的坐标为：（
13
5
，
6
5
），
把点
D
代入22yaxax，即
169136
2
2555
aa
解得：
10
13
a
；
故答案为：
10
13
．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与
K
型模型的使用，
以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．
14．C
解析：（
1
）
4
；（
2
）DEF的最小内角为
15
°或
9
°或
180
()
11
；（
3
）
30
°＜
x
＜
45
°．
【解析】
【分析】
(1)
根据三角形内角和定理求出
∠C
的度数，再根据
n
倍角三角形的定义判断即可得到答
案；
(2)
根据△
DEF
是
3
倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的
3
倍，然后根据这两个角
之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；
(3)
可设未知数表示
2
倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．
【详解】
解：
(1)
∵在ABC中，
55A
，25B，
∴
∠C=180°-55°-25°=100°
，
∴∠
C=4
∠B，
故ABC为
4
倍角三角形；
(2)设其中一个内角为
x
°，
3
倍角为
3x
°，则另外一个内角为：1804x
①当小的内角的度数是
3
倍内角的余角的度数的
1
3
时，
即：
x=
1
3
（
90
°
-3x
），
解得：
x=15
°，
②
3
倍内角的度数是小内角的余角的度数的
1
3
时，
即：
3x=
1
3
（
90
°
-x
），解得：
x=9
°，
③当
1
180490
3
xx
时，
解得：
450
11
x
，
此时：
450
18041804
11
x
=
180
()
11
，因此为最小内角，
因此，△
DEF
的最小内角是
9
°或
15
°或
180
()
11
．
(3)
设最小内角为
x
，则
2
倍内角为
2x
，第三个内角为（
180
°
-3x
），由题意得：
2x
＜
90
°且
180
°
-3x
＜
90
°，
∴
30
°＜
x
＜
45
°，
答：△
MNP
的最小内角的取值范围是
30
°＜
x
＜
45
°．
15
．
A
解析：(1)
149
,
212
；
(2)
25
7
t；
(3)
存在，见解析
【解析】
【分析】
（
1
）已知抛物线的
2
点，代入可直接求解；
（
2
）根据
A
、
B
的坐标，得出
AD
、
AB
的长，通过推导可证
ABCQDB
，利用相似得
到的比例线段即可求得
DQ
、
PD
的长，从而得出
t
；
（
3
）根据轴对称的最短路径先作
C
关于对称轴的对称点，即点
A
，连接
AO
与对称轴的交
点即为点
M
．
【详解】
（
1
）抛物线240yaxbxa
与
x
轴交于3,0,4,0AC
两点
16440
9340
ab
ab
解这个方程组，得
1
3
1
3
a
b
抛物线的解析式为2
11
4
33
yxx
2
2
111149
4
333212
yxxx
这条抛物线的顶点坐标为
149
,
212
（
2
）点
,AC
的坐标为3,0,4,0
3,4AOOC
7ACAOOC
抛物线2
11
4
33
yxx与轴交于点B
点B的坐标为0,4
4OB
5AB
5ABAB
2DCACAD
连接
QD
ADAB
ABDADB
线段
PQ
被BD垂直平分
DPDQ
DPQDQP
PDBQDB
ABDQDB
//ABDQ
ABCQDB
DQCD
ABCA
2
57
DQ
10
7
DQ
10
7
PD
25
7
APADPD
25
7
t
（
3
）存在
连接
AQ
交对称轴于
M
，此时
MQ+MC
为最小，过点
Q
作
QN⊥x
轴于点
N
∵DQ∥AB
，
∴∠QDN=∠BAC
sin∠QDN=sin∠BAC=
OBQN
ABDQ
∴
4
10
5
7
QN
，
∴QN=
8
7
设直线
BC
的解析式为：
y=kx+b
将点
B(0
，
4)
和点
C(4
，
0)
代入可求得：
k=
－
1
，
b=4
∴
直线
BC
的解析式为：
y=
－
x+4
当
y=
8
7
时，
x=
20
7
∴Q(
20
7
，
8
7
)
同理可得：
AQ
的解析式为：
y=
824
4141
x
当
x=
1
2
时，
y=
28
41
∴M(
1
2
，
28
41
)
【点睛】
本题考查二次函数的综合，在求解最短距离时，解题关键是利用对称，将要求解的
2
段线
段转化为
1
条线段，从而求出点
M
．
16．B
解析：（
1
）8b；（
2
）
3
8
2
dn；（
3
）
9
2EFN
S
△
【解析】
【分析】
（
1
）先用
b
表示出点
B
和点
A
的坐标，然后利用勾股定理列出方程即可求出
b
的值；
（
2
）联立直线
BC
的解析式和直线
AB
的解析式即可用
n
表示出点
C
的坐标，从而求出点
D
的坐标，从而求出d与
n
的函数关系式；
（
3
）过点
C
作
CS
⊥
x
轴于
S
，过点
F
作
FT
⊥
x
轴于
T
，过点
G
作
GD
⊥
y
轴于
D
，
MN
与
y
轴交于点
I
，根据相似三角形判定可得△
RSC
∽△
ROB
，列出比例式即可求出
OR
和
CS
，然
后根据等角的锐角三角函数相等求出
ON
，再根据等腰直角三角形的性质求出
NE
，然后结
合已知条件和等角的锐角三角函数相等求出
TF
，即可求出结论．
【详解】
解：（
1
）当
x=0
时，
y=b
；当
y=0
时，
x=
3
4
b
∴点
B
的坐标为（
0
，
b
），点
A
的坐标为（
3
4
b
，
0
）
∴
OB=b
，
OA=
3
4
b
根据勾股定理
OB2＋
OA2=AB2
b2＋（
3
4
b
）2=102
解得：
b=8
或
-8
（不符合已知条件，舍去）
∴
b=8
（
2
）直线
BC
的解析式为
(4)8ynx
，直线
AB
的解析式为
4
8
3
yx
联立
(4)8ynx
ynx
解得：
2
2
x
yn
∴点
C
的坐标为（
-2
，
-2n
）
∵//CDOA
∴点
D
的纵坐标为
-2n
将
y=-2n
代入
4
8
3
yx中，解得：
x=
3
6
2
n
∴点
D
的坐标为
3
6,2
2
nn
∴线段CD长d=
3
6
2
n－（
-2
）
=
3
8
2
n
（
3
）过点
C
作
CS
⊥
x
轴于
S
，过点
F
作
FT
⊥
x
轴于
T
，过点
G
作
GD
⊥
y
轴于
D
，
MN
与
y
轴交于点
I
∴
OD=
27
5
，
GD=
19
5
由（
2
）知点
C
坐标为（
-2
，
-2n
）
∴
CS=-2n
，
OS=2
∵BCCR，
CS
∥
y
轴
∴
RB=2RC
，△
RSC
∽△
ROB
∴
1
2
CSRSRC
OBORRB
即
221
82
nOR
OR
解得：
n=-2
，
OR=4
∴
CS=4
∵OBRHNM，
GD
∥
x
轴
∴OBRHNM=
∠
DGI
∴tantanOBRHNM=tan
∠
DGI
∴
OROIID
OBONGD
即
4
8
9
27
5
1
5
ID
ID
ON
解得：
19
10
,7IDON
∵45AEF
∴∠
CES=
∠
AEF=45
°，∠
QEH=
∠
QEF
－∠
AEF=45
°
∴△
CES
、△
EFT
和△
EHQ
都是等腰直角三角形
∴
CS=SE=4
，
ET=TF=
2
2
EF，
EH=HQ
，设
EH=HQ=a
，则
EQ=2a
∴
EN=ON
＋
OE=ON
＋
SE
－
OS=9
∵32EQEFPM，PHEN
∴
EF=
2
3
a，
PM=a
，
PH=9
，
∴
NH=EN
＋
EH=9
＋
a
，
MH=PH
－
PM=9
－
a
∴tanHNM=
1
2
MHOI
NHON
∴
91
92
a
a
解得：
a=3
∴
EF=
2
32
3
∴
TF=
2
21
2
∴
S
△EFN
=
1
2
EN
·
TF=
1
2
×
9
×
1=
9
2
【点睛】
此题考查的是一次函数与几何图形的综合题型，此题难度较大，掌握勾股定理、联立方程
求交点坐标、锐角三角函数的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和相似三角形的判
定及性质是解决此题的关键．
17．A
解析：（1）作图见解析；（2）
PQ
长最短是
1.2
；（
3
）四边形
ADCF
面积最大值是
81313
2
，最小值是
81313
2
．
【解析】
【分析】
（
1
）连接线段
OP
交⊙
C
于
A
，点
A
即为所求；
（
2
）过
C
作
CP
⊥
AB
于
Q
，
P
，交⊙
C
于
Q
，这时
PQ
最短，根据勾股定理以及三角形的面
积公式即可求出其最小值；
（
3
）△
ACF
的面积有最大和最小值，取
AB
的中点
G
，连接
FG
，
DE
，证明△
FAG
～△
EAD
，
进而证明点
F
在以
G
为圆心
1
为半径的圆上运动，过
G
作
GH
⊥
AC
于
H
，交⊙
G
于
F
1，
GH
反向延长线交⊙
G
于
F
2，①当
F
在
F1时，△
ACF
面积最小，分别求出△
ACD
的面积和△
ACF
的面积的最小值即可得出四边形
ADCF
的面积的最小值；②当
F
在
F
2时，四边形
ADCF
的
面积有最大值，在⊙
G
上任取异于点
F
2的点
P
，作
PM
⊥
AC
于
M
，作
GN
⊥
PM
于
N
，利用
矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形
ADCF
的面积的最大值．
【详解】
解：（
1
）连接线段
OP
交⊙
C
于
A
，点
A
即为所求，如图
1
所示；
（
2
）过
C
作
CP
⊥
AB
于
Q
，
P
，交⊙
C
于
Q
，这时
PQ
最短．
理由：分别在线段
AB
，⊙
C
上任取点
P'
，点
Q'
，连接
P'
，
Q'
，
CQ'
，如图
2
，
由于
CP
⊥
AB
，根据垂线段最短，
CP≤CQ'+P'Q'
，
∴
CO+PQ≤CQ'+P'Q'
，
又∵
CQ
＝
CQ'
，
∴
PQ
＜
P'Q'
，即
PQ
最短．
在
Rt
△
ABC
中22228610ABACBC，
11
22ABC
SACBCABCP
••
，
∴
68
4.8
10
ACBC
CP
AB
•
，
∴
PQ
＝
CP
﹣
CQ
＝
6.8
﹣
3.6
＝
1.2
，
∴222264.83.6BPBCCP．
当
P
在点
B
左侧
3.6
米处时，
PQ
长最短是
1.2
．
（
3
）△
ACF
的面积有最大和最小值．
如图
3
，取
AB
的中点
G
，连接
FG
，
DE
．
∵∠
EAF
＝
90°
，
1
tan
3
AEF
，
∴
1
3
AF
AE
∵
AB
＝
6
，
AG
＝
GB
，
∴
AC
＝
GB
＝
3
，
又∵
AD
＝
9
，
∴
31
93
AG
AD
，
∴
D
AF
AE
AG
A
∵∠
BAD
＝∠
B
＝∠
EAF
＝
90°
，
∴∠
FAG
＝∠
EAD
，
∴△
FAG
～△
EAD
，
∴
1
3
FGAF
DEAE
，
∵
DE
＝
3
，
∴
FG
＝
1
，
∴点
F
在以
G
为圆心
1
为半径的圆上运动，
连接
AC
，则△
ACD
的面积＝
6
927
22
CD
AD
，
过
G
作
GH
⊥
AC
于
H
，交⊙
G
于
F
1，
GH
反向延长线交⊙
G
于
F2，
①当
F
在
F
1时，△
ACF
面积最小．理由：由（
2
）知，当
F
在
F1时，
F1H
最短，这时△
ACF
的边
AC
上的高最小，所以△
ACF
面积有最小值，
在
Rt
△
ABC
中，222269313ACABBC
∴
9313
sin
13
313
BC
BAC
AC
，
在
Rt
△
ACH
中，
313913
sin3
1313
GHAGBAC•，
∴
11
913
1
13
FHGHGF，
∴△
ACF
面积有最小值是：
1
1191327313
313(1)
22132
ACFH
•；
∴四边形
ADCF
面积最小值是：
2731381313
27
22
；
②当
F
在
F
2时，
F2H
最大理由：在⊙
G
上任取异于点
F2的点
P
，作
PM
⊥
AC
于
M
，作
GN
⊥
PM
于
N
，连接
PG
，则四边形
GHMN
是矩形，
∴
GH
＝
MN
，
在
Rt
△
GNP
中，∠
NGF
2＝
90°
，
∴
PG
＞
PN
，
又∵
F
2G
＝
PG
，
∴
F
2G+GH
＞
PN+MN
，即
F2H
＞
PM
，
∴
F
2H
是△
ACF
的边
AC
上的最大高，
∴面积有最大值，
∵
22
913
1
13
FHGHGF，
∴△
ACF
面积有最大值是
2
1191327313
313(1)
22132
ACFH
•；
∴四边形
ADCF
面积最大值是
2731381313
27
22
；
综上所述，四边形
ADCF
面积最大值是
81313
2
，最小值是
81313
2
．
【点睛】
本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
18．B
解析：（
1
）2
45
2
cm
；（
2
）
2
2
3316
24(0)
225
88020016
(4)
3335
xxx
y
xxx
；（
3
）存在，使得
AAB△成为等腰三角形的
x
的值有：
0
秒、
3
2
秒、
669
5
．
【解析】
【分析】
（
1
）先用勾股定理求出
BD
的长，再根据旋转的性质得出10BDBDcm，
2CDBDBCcm，利用BDA
的正切值求出CE的值，利用三角形的面积差即
可求阴影部分的面积；
（
2
）分类讨论，当
16
0
5
x
时和当
16
4
5
x
时，分别列出函数表达式；
（
3
）分类讨论，当ABAB时；当AAAB时；当ABAA时，根据勾股定理列
方程即可．
【详解】
解：（
1
）6ABcm，8ADcm，
10BDcm，
根据旋转的性质可知10BDBDcm，2CDBDBCcm，
tan
ABCE
BDA
ADCD
，
6
82
CE
，
3
2
CEcm
，
2
86345
22
222ABCEABDCED
SSScm
；
（
2
）①当
16
0
5
x
时，22CDx，
3
2
CEx
，
2
33
+
22CDE
Sxx
△
，
22
1333
6824
2222
yxxx
；
②当
16
4
5
x
时，102BCx，
4
102
3
CEx
2
2
14880200
102
23333
yxxx
．
（
3
）①如图
1
，当ABAB时，0x秒；
②如图
2
，当AAAB时，
18
2
5
ANBMBBBMx
，
24
5
AMNB
，
2236ANAN，
222418
6236
55
x
，
解得：
669
5
x
秒，（
669
5
x
舍去）；
③如图
2
，当ABAA时，
18
2
5
ANBMBBBMx
，
24
5
AMNB
，
2222ABBBANAN
22
2
2418
36462
55
xx
解得：
3
2
x
秒．
综上所述：使得AAB△成为等腰三角形的
x
的值有：
0
秒、
3
2
秒、
669
5
．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全
面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．
19．G
解析：（
1
）证明见解析；（
2
）证明见解析；（
3
）
GB
13
10
15
．
【解析】
【分析】
（
1
）根据矩形的性质可知∠
BDC=
∠
DBA
，∠
A=90°
，再结合已知条件∠
BDC+45°=
∠
BFD
，通
过角的等量代换可得出∠
EBD=45°
，又因为∠
BED=90°
，即可得出结论；
（
2
）过点
K
作
KS
⊥
BE
，垂足为
R
，交
AB
于点
S
．证明△
SRB
≌△
HRK
，得出
SB=HK
，再证
明△
ABF
≌△
GKS
，即可得出结论；
（
3
）过点
O
分别作
AD
和
CN
的垂线，垂足分别为
Q
和
T
，连接
OC
．通过证明
△
OQD
≌△
OTC
，得出
AD=CN=BC
，连接
ON
，证△
NOC
≌△
BOC
，得出∠
BCO=
∠
NCO
设∠
OBC=
∠
OCB=
∠
NCO=α
，由此得出∠
MOC=2α
，过点
M
作
MW
⊥
OC
，垂足为
W
在
OC
上取一点
L
，使
WL=OW
，连接
ML
，设
OM=ML=LC=a
，根据勾股定理可求出
OM
的值,
继而求出
MW=3
，
WC=9
，∴
OB=OC=OD=13
，
BD=26
，再解直角三角形即可．
【详解】
解：（
1
）如图
1
，∵矩形
ABCD
∴
AB
∥
CD
，∠
A=90°
∴∠
BDC=
∠
DBA
，
BD
是⊙
O
的直径
∴∠
BED=90°
∵∠
BFD=
∠
ABF+
∠
A
，∠
BFD=
∠
BDC+45°
∴∠
ABF+
∠
A=
∠
BDC+45°
即∠
ABF+90°=
∠
DBA+45°
∴∠
DBA-
∠
ABF=45°
∴∠
EBD=45°
∴∠
EBD=
∠
EDB
（
2
）证明：如下图，在图2中，过点
K
作
KS
⊥
BE
，垂足为
R
，交
AB
于点
S
．
∵
KG
⊥
AB
∴∠
BGH=
∠
KRH=
∠
SRB=
∠
KGS=90°
∴∠
SBR=
∠
HKR
∵∠
RBK=
∠
RKB=45°
∴
BR=KR
∵∠
SRB=
∠
HRK=90°
∴△
SRB
≌△
HRK
∴
SB=HK
∵
SB=BG+SG
，
HK=BG+AF
∴
BG+SG=BG+AF
∴
SG=AF
∵∠
ABF=
∠
GKS
，∠
BAF=
∠
KGS=90°
∴△
ABF
≌△
GKS
∴
AB=KG
（
3
）如下图，在图3中，过点
O
分别作
AD
和
CN
的垂线，垂足分别为
Q
和
T
，连接
OC
．
∵∠
APO=
∠
CPO
∴
OQ=OT
∵
OD=OC
，∠
OQD=
∠
OTC=90°
∴△
OQD
≌△
OTC
∴
DQ=CT
∴
AD=CN=BC
连接
ON
∵
OC=OC
，
ON=OB
∴△
NOC
≌△
BOC
∴∠
BCO=
∠
NCO
设∠
OBC=
∠
OCB=
∠
NCO=α
∴∠
MOC=2α
过点
M
作
MW
⊥
OC
，垂足为
W
在
OC
上取一点
L
，使
WL=OW
，连接
ML
∴
MO=ML
∴∠
MOL=
∠
MLO=2α
∴∠
LCM=
∠
LMC=α
∴
ML=CL
设
OM=ML=LC=a
则
OD=a+8=OC
，∴
OL=8
，
OW=WL=4
∵
OM2
OW2
MW2
MC2
CW2
∴24450aa
1
a
（
9
舍去），
2
a
5
∴
OM=5
∴
MW=3
，
WC=9
，∴
OB=OC=OD=13
，
BD=26
∵∠
GKB=
∠
CBD=
∠
ADB=
∠
BCO=
∠
MCW
，
tan
∠
MCW=
1
3
∴
tan
∠
GKB=tan
∠
CBD=tan
∠
ADB=tan
∠
BCO=tan
∠
MCW=
1
3
∴
CD=GK=AB
13
10
5
在
Rt
△
GKB
中，
tan
∠
GKB=
1
3
GB
GK
∴
GB
13
10
15
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，难度很大，综合性很强，考查了圆周角定理、矩形的性
质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形等多个知识点，和三角形
,
四边形相比，圆这
部分知识综合性比较强，与各方面联系比较广，所以一道题往往有多种证明方法，添加辅
助线的原则是：一
,
运用基本图形的性质
,
补全基本图形，以利证明；二
,
运用图形转化的思
想，将图形中的分散的条件相对集中，产生新的图形，运用基本图形的性质证明．
20．C
解析：（
1
）11；（
2
）①见解析；②
52
5
4
【解析】
【分析】
（
1
）由圆周角定理，得到
∠CAB=∠ABC=∠ADC=45°
，由角平分线的定义和三角形的外角
性质，得到
∠CAE=∠CEA
，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出答
案；
（
2
）①根据题意，将
△ADM
绕点
A
逆时针旋转
90°
，得到ADM
，连接
CM
，由旋转
的性质，
△ADM≌△ANM
，得到
DM=NM
，然后证明
△M
AC≌
△
MAC
，得到
CM
=CM
，利用勾股定理，即可得到结论成立；
②连接
CF
，由（
1
）可知
AC=BC=CE
，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出
CE
的长
度，然后利用相似三角形的判定和性质，得到线段的比，然后构建方程，求出
CM
的长
度，即可得到
ME
的长度．
【详解】
（1）解：∵
AB
是⊙
O
的直径，
∴∠
ACB=90°
，
∵点
C
为弧
AB
中点，
∴AC
=
BC，
∴∠
CAB=
∠
ABC=
∠
ADC=45°
，
AC=BC
∴△
ACB
是等腰直角三角形
∵AE为∠
DAM
的平分线，
∴∠
MAE=
∠
EAD
∵∠
CAE=
∠
CAB+
∠
MAE
，∠
CEA=
∠
ADC+
∠
EAD
，
∴∠
CAE=
∠
CEA
，
∴
AC=CE=BC
∴∠
CBE=
∠
CBM+
∠
MBE=
180BCE
2
∵∠
ACD=22°
，
BCE68
又∵∠
CBM=45°
∴∠
MBE=
18068
4511
2
；
（
2
）证明：将△
ADM
绕点
A
逆时针旋转
90°
，得到ADM
，连接
CM
，
∵
DF
是⊙
O
的直径，
∴∠
DAF=90°
∵∠
ADC
＝
45°
∴△
AND
为等腰三角形，
AD=AN
∴'AD和
AN
重合
∴△
ADM
≌△
ANM’
∴
DM=NM
，
AM=AM
，∠MNA
=
∠
ADC
＝
45°
，
∵∠
M’AM=90°
，∠
CAB=45°
，
∴∠MAC
=45°
∴△
M’AC
≌△
MAC
（
SAS
），
∴
CM
=CM
∵∠
M’NA=
∠
ADC
＝∠
AND
＝
45°
，
∴∠
M’ND
＝∠
M’NC
＝
90°
，
∴
M’N2+CN2＝
CM’2，
∴
MD2+CN2＝
CM2；
（
3
）如图：连接
CF
，
∵
AB
与
DF
为直径，
AB=10，
AD=1
，
∴∠
DCF=90
°，∠
DAF=90
°，
∴22(10)13AF，
由（
1
）可知，△
AND
是等腰直角三角形，△
ABC
是等腰直角三角形，
∴
AN=AD=1
，∠
AND=45
°，
AC=BC=CE=5，
∴
NF=3-1=2
，
∴△
CNF
是等腰直角三角形，
∴
CN=CF=2，
∴22(10)(2)22CD，
∵∠
AMD=
∠
CMB
，∠
ADM=
∠
CBM=45
°，
∴△
ADM
∽△
CBM
，
∴
1
5
AMDMAD
CMBMCB
，
∵10AMBM，22DMCM，
∴
10221
5
BMCM
CMBM
，
解得：
52
4
CM,
310
4
BM，
∴
52
5
4
MECECM．
【点睛】
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂
径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用相似比，构建方程解决问
题，属于中考压轴题．
21．（
1
）C；（
2
）BADDEFADE；（
3
）
2360CADE
；（
4
）
90BACDEFCDE
【解析】
【分析】
（
1
）利用平行线的性质，即可得到180AACD，180EECD，进而得
出360BACACECEF；
（
2
）过D作//DGAB，利用平行线的性质，即可得到AADG，EEDG，进而
得出AEADGEDGADE；
（
3
）利用（
1
）可得360BACCCEF，利用（
2
）可得DBADDEF，根
据AD，ED分别平分
BAC
，CEF，即可得到22360BADCDEF,
化简即可
得到ACE与ADE之间的数量关系；
（
4
）过C作//CGAB，过D作//DHAB，则有//////CGABEFDH，可得
1180BAC
，23，
4DEF
，34CDE，则有
1180BAC
，可求出
390BAC
，利用34CDE，
4DEF
，得到
90BACDEFCDE
．
【详解】
解：（
1
）
////ABCDEF，
180AACD，180EECD，
360AACDEECD，
即360BACACECEF，
故选：C．
（
2
）BADDEFADE，
如图，过D作//DGAB，
//ABEF，
////DGABEF，
AADG，EEDG，
AEADGEDGADE；
（
3
）
2360CADE
，
理由：由（
1
）可得，360BACCCEF，
由（
2
）可得，DBADDEF，
又AD，ED分别平分
BAC
，CEF，
2BACADB，2CEFDEF，
22360BADCDEF，
即
2()360BADDEFC
，
2360ACEADE．
（
4
）
90BACDEFCDE
，
理由：如图，过C作//CGAB，过D作//DHAB，
//ABEF，
//////CGABEFDH，
∴
1180BAC
，23，
4DEF
，34CDE
∴
1180BAC
∵
1290，
∴329019018090BACBAC
，
∴
3490BACDEFCDE
，
即有：
90BACDEFCDE
．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补．
22
．
A
解析：（
1
）见解析；（
2
）
60°
；（
3
）
3
2
【解析】
【分析】
(1)
利用等边三角形的性质可得
AB=AC,
又因为
AD
＝
AC
已知，所以
AB=AD,
进而得到本题答
案；
(2)
设∠
3=
∠
D=x°
，∠
1=
∠
2=y°
，利用等边三角形的性质以及三角形内角和定理得出
∠
3+
∠
D+
∠
BAD=180°
，进而得出答案；
(3)
首先得出△
ABE
≌△
ADG,
进而得出∠
4=
∠
AEB=60°,
进而求出
DE=BG=2GF,AG=BG=2GF,
AF=AG+GF=3FG
，即可得出答案
.
【详解】
解：（
1
）∵
AB=AC
，
AD=AC
，
∴
AB=AD
，
∴∠
3=
∠
D
（即∠
ABD=
∠
D
）
（
2
）∵
AE
平分∠
CAD
，
∴∠
1=
∠
2
，
∵△
ABC
是等边三角形，
∴∠
BAC=60°
，
设∠
3=
∠
D=x°
，∠
1=
∠
2=y°
，
∵∠
3+
∠
D+
∠
BAD=180°
，
∴
x+x+60°+2y=180°
，
∴
x+y=60°
，
∴∠
AEB=
∠
1+
∠
D=x+y=60°
；
（
3
）∵
BG=DE
，
∴
BE=DG
，
在△
ABE
和△
ADG
中，
3
ABAD
D
BEDG
，
∴△
ABE
≌△
ADG
（
SAS
）
∴∠
4=
∠
AEB=60°
∵△
ABC
是等边三角形，
F
是
BC
中点，
∴∠
AFB=90°
，∠
7=30°
，
∵∠
6=90°
﹣∠
5=30°
，
∴
DE=BG=2GF
，
∵∠
3=60°
﹣∠
6=30°=
∠
7
，
∴
AG=BG=2GF
，
∴
AF=AG+GF=3FG
，
∴
AF3GF3
==
DE2GF2
.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质
,
将
AF
，
DE
用
FG
表示得出
是解题关键
.
23．A
解析：（
1
）
90
º；（
2
）①
45
º或
90
º；②
8
5
5
和
4
5
5
；
12
5
5
和
4
5
5
【解析】
【分析】
（
1
）根据平行四边形的判断方法即可解决问题；
（
2
）①分两种情形分别解决问题即可；
②分两种情形讨论求解即可；
【详解】
解：（
1
）当
α
＝
90°
，四边形
ABEF
是平行四边形；
理由：∵
AB
⊥
AC
，
∴∠
BAO
＝∠
AOF
＝
90°
，
∴
AB
∥
EF
，
∵平行四边形
ABCD
∴
AF
∥
BE
，
∴四边形
ABEF
是平行四边形．
故答案为：
90
°．
（
2
）①当
α
＝
45°
或
90
°时，四边形
BEDF
是菱形．
当
α
＝
45°
时
∵
AD
∥
BC
，
∴∠
FDO
＝∠
EBO
，
∵∠
FOD
＝∠
BOE
，
OD
＝
OB
，
∴△
FDO
≌△
EBO
，
∴
DF
＝
BE
，
∵
DF
∥
BE
，
∴四边形
BEDF
是平行四边形，
∵
OA
＝
OC
＝
2
，
AB
＝
2
，
∴
AB
＝
OA
，
∴∠
AOB
＝
45°
，
∴∠
BOF
＝
45°
＋
45°
＝
90°
，
∴
BD
⊥
EF
，
∴四边形
BEDF
是菱形．
当
α
＝
90
°时，同法可证四边形
AFCE
是菱形．
故答案为：
45
°或
90
°．
②∵
AB
⊥
AC
，
AB
＝
2
，
AC
＝
4
，
∴
BC
＝
25，
当
EF
＝
AC
时，四边形
AECF
是矩形，对角线
AC
＝
4
，过
A
点作
AE
⊥
BC
于
BC,
过点
C
作
CF
⊥
AD
于
F
，如图
1
，
∴△
AEB
∽△
BAC
∴
2
AEAC
BEAB
∴
AE2+BE2=AB2
∴
BE=
2
5
5
，
AE=
4
5
5
∴
EC=BC-BE=
28
25-5=5
55
过
B
作
BF
⊥
AD
于
F
，过
D
作
DE
⊥
BC
于
E
，
此时四边形
BEDF
是矩形，
EF
＝
BD
，如图
2
同理可得：
DA=BC=25，
AF=
2
5
5
，
BF=
4
5
5
，
∴
BE=DF
＝
DA+FA=
212
2555
55
矩形的边长为：
8
5
5
和
4
5
5
或
12
5
5
和
4
5
5
故答案为：
8
5
5
和
4
5
5
或
12
5
5
和
4
5
5
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于
中考常考题型．
24．问题探究：（
1
）
24
；（
2
）存在，BC的最小值为23；问题解决：存在，
144
【解析】
【分析】
（
1
）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（
2
）如图
2
中，连接OA，OB，OC，作OEBC于E．设2OBOCx．求出
x
的最小值即可解决问题；
（
3
）如图
3
中，连接AF，延长BC交AE的延长线于G，将EFM△顺时针旋转得到
FBH，作FNH△的外接圆
O
．由（
2
）可知，当FNH△的外接圆的圆心O在线段
BF上时，FNH△的面积最小，此时四边形ANFM的面积最大．
【详解】
解：（
1
）当
ADBC
时，ABC面积的最大，
则ABC面积的最大值是
11
8624
22
BCAD
，
故答案为：
24
；
（
2
）如图中，连接OA，OB，OC，作OEBC于E．设2OAOCx，
∵2120COBCAB，OCOB，OECB，
∴CEEB，60COEBOE，
∴
1
2
OEOBx，3BEx．
∵
OCOEAG
，
∴
33x
，
∴
1x
，
∴
x
的最小值为
1
，
∵23BCx，
∴BC的最小值为23；
（
3
）如图中，连接AF，EF，延长BC交AE的延长线于G，
∵90D，626ADDE，
∴45DAEAED，
∵6212CDAB，
∴6CECF，
∴45CEFCFE，
∴
90AEF
，
∴62EFBF，
将EFM△顺时针旋转得到FBH，作FHB△的外接
O
交BC于N，
连接
ON
，
∵90AEFABF，AFAF，EFBF，
∴
RtRt()AEFABFHL△≌△
，
∴
AEFABF
SS
△△
，
∵
45EFG
，
∵90FEG，
45EFG
，
∴62EFEG，
∴212FGEF，
由（
2
）可知，当FHN△的外接圆的圆心O在线段BF上时，FNH△的面积最小，此时
四边形ANFE的面积最大，
设OFONr，则
2
2
OBBNr，
∴
2
62
2
rr，
∴62(22)r，
∴212(22)NHr，
∴四边形ANFM的面积的最大值
11
2(1262)6212(22)62
22
144．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关
键是学会用转化的思想思考问题．
25．A
解析：（
1
）
A
（
4
，
0
）；（
2
）2
1
4
4
St
；（
3
）
(4,8)E
【解析】
【分析】
（
1
）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
（
2
）证明△
CEA
和△
COD
是等腰直角三角形，由
EN
⊥
AC
，推出
4
2
t
CNNENA
，
AC=4+t
，根据
S=S△
AEC
-S
△
ABC计算即可．
（
3
）过点
F
作
FM
⊥
AC
于点
M
，由（
2
）求出点
F
的坐标为
(1,3)
44
tt
，从而得到
11
44
tt
OM
，
3
4
t
FM
，由∠
ABO=
∠
BDA+
∠
BAD=45
°，
∠
FOB
+∠
DAE
=
45
°，得出∠
FOB=
∠
BDA
，进而得出∠
MFO=
∠
ODA
，
tan
∠
MFO
=tan
∠
ODA
，故而
OAOM
ODMF
，
即
1
4
4
3
4
t
t
t
，解出
t
的值，再求点
E
的坐标即可
.
【详解】
（
1
）由题意可得：2
11
•••8
22AOB
SOAOBOA＝
，
∴
OA2=16
，
∵
OA
＞
0
，
∴
OA=OB=4
，
∴
A
（
4
，
0
），
B
（
0
，
4
）．
（
2
）如图，过点
E
作
EN
⊥
AC
于点
N
．
∵∠
AOB=90
°，
OA=OB
，
∴∠
OAB=45
°，
∵
AB
⊥
CD
，
∴∠
CEA=90
°，
∴∠
ECA=45
°，
∴△
CEA
是等腰直角三角形，
∵∠
ECA=45
°，∠
COD=90
°，
∴∠
CDO=45
°，
∴△
CDO
是等腰直角三角形
.
∵点
D
纵坐标为
t
，
∴
CO=DO=t.
∵
OA=OB=4,
∴
AC=t+4.
∴
4
2
t
CNNENA
，
∴2
1411
4444
2224AECABC
t
SSSttt
；
∴
S
与
t
的函数关系是：2
1
4
4
St.
（
3
）如图，过点
F
作
FM
⊥
AC
于点
M
，
由（
2
）可知，
4
2
t
CNNE
，
∴
2
2
t
ONOCCN
，
∴点
E
的坐标为
(2,2)
22
tt
，
∵点
B
（
0,4
），点
F
为
BE
中点，
∴点
F
的坐标为
(1,3)
44
tt
，
∴
11
44
tt
OM
，
3
4
t
FM
，
∵∠
ABO=
∠
BDA+
∠
BAD=45
°，∠
FOB
+∠
DAE
=
45
°，
∴∠
FOB=
∠
BDA
，
∴
OF
∥
AD
，
∵
FM
⊥
AC
，
∴
FM
∥
DO
，
∴∠
MFO=
∠
ODA
，
∴
tan
∠
MFO=tan
∠
ODA
，
∴
OAOM
ODMF
，
即
1
4
4
3
4
t
t
t
，
解得
t=12
或
4=-4
（不合题意，舍去）
∴点
E
的坐标为
(4,8)
.
【点睛】
本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构
建方程解决问题．