二次根式化简技巧

二次根式化简技巧

-

2023年3月4日发(作者：saperp)

1

二次根式化简的方法与技巧(初二初三)

湖南省隆回县第一中学35班彭伟指导老师邹启文

所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解

千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往

往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二

次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约

分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、巧用公式法

例1计算

ba

ba

ba

baba









2

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与

b成立，且分式也成立，故有

a

＞0，

b

＞0，0ba

而同时公式：

ba2=

a2-2

ab

+

b2，

a2-2b

=baba

，可以帮助我们将

baba2和ba变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=



ba

ba





2

+



ba

baba





=ba+ba=2a-2b

二、适当配方法。

例2．计算：

321

63223





分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32其分子

必有含1+32的因式，于是可以发现3+22=2

21

，且

21363，通过因式分解，分子所含的1+32的因式就出来了。

解：原式=



321

63223





=









321

21321

2

1+2

三、正确设元化简法。

教辅稿

2

例3：化简

532

62



分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，

使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例

如：

a2

，c5，

,3b6ab

，正好与分子吻合。对于分子，我

们发现222cba

所以

0222cba

，于是在分子上可加

0222cba

，因此可能能使分子也有望化为含有cba因式的积，这

样便于约分化简。

解：设

,2a,3b

c5则2

62ab

且

0222cba

所以：

原式

=



532

222

2

222























cba

cba

cbacba

bca

cba

cba

cbaab

cba

ab

四、拆项变形法

例4，计算7665

5627





分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约

分化简，如转化成：

baab

ba11





再化简，便可知其答案。

解：原式==



7665

76

7665

65

7665

7665

















576756

76

1

65

1









五、整体倒数法。

例5、计算



1325

1335





分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：

baab

ba11





，化简但还

要通过折项变形，使其具有公因式。

3

解：设A=



1325

1335









1335

1335

1335

13251













A

则

=

2

35

2

13

35

1

13

1













所以A=

2

15

15

2





六、借用整数“1”处理法。

例6、计算

632

32231





分析：本例运用很多方面的知识如：1=ba.2323和

×

22baba

，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约

分化简。

解：原式

=



632

2362323

632

32232323











=23

623

)623)(23(







七、恒等变形整体代入结合法

分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将

x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与

xy的因式，

如x2－xy+y2=(x+y)2－3xy，然后再约分化简。

例7：已知X=

2

1

（57），y=

2

1

(75)，求下列各式的值。

（1）x2－xy+y2;(2)

y

x

+

x

y

4

解：因为X=

2

1

（57），y=

2

1

(

75

)，所以：x+y=

7

，xy=

2

1。

（1）x2－xy+y2=（x+y）2－3xy=(

7

)2－3×

2

1=

2

11

（2）

y

x

+

x

y

=

xy

yx22

=







xy

xyyx22

12

2

1

2

1

2)7(2





八、降次收幂法：

例8、已知x=2+

3

，求

72

5232





x

xx

的值。

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式

142xx

转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由x=2+3,得x－2=3。(x-2)2=3整理得：x2=4x－1。

所以：3x2－2x+5=3（4x－1）－2x+5=10（2+

3

）+2=22+10

3

22x－7（2+3）-7=23

－3，所以原式=

332

31022





=42+

3

374