动点问题的解题技巧
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2023年3月2日发(作者：电突触)1
初中数学动点最值思路方法
（上）
所谓“动点问题”是指图形中有一个或多个动点，在线段、射线或者弧线上
运动的一类开放性题目，而解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活
地运用相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题
的基本思路．
数学压轴题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向，
加强了对几何图形运动变化的考核，从变化的角度来研究三角形、四边形、函数
图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究手段和方法来探究图形
性质及变化．让学生经历探索的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，把
运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．
2
目录
一、利用“垂线段最短”解决最值问题
.........................................................................................
2
二、利用“三点共线”解决最值问题
...........................................................................................
11
三、利用“轴对称变换”解决最值问题
.......................................................................................
21
四、利用“旋转变换”解决最值问题
...........................................................................................
28
五、“二次函数的最值性质”解决最值问题
..............................................................................
42
六、等腰三角形的存在性动点问题
...............................................................................................
55
七、直角三角形的存在性动点问题
...............................................................................................
72
一、利用“垂线段最短”解决最值问题
【典型例题1】难度★★
3
【思路分析】利用“垂线段最短”，线段PE的最小值即过E做AB的垂线段的长
度.本题条件告诉了线段长度和比值，因此我们可以利用性质求最值的过程列方
程求解（方程思想），同学们要好好领悟和掌握．
【答案解析】解：
说明：此题还可用等面积法求解，同学们可自己尝试。
【典型例题2】难度★★
4
【思路分析】AP与直线y=-x+4垂直时，线段AP最短.本题同学们要熟练掌握含
有45º角的直角三角形的三边的比例性质（下图中的AM=PM=MN）.
【答案解析】
5
【典型例题3】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
6
【典型例题4】难度★★★
【答案解析】
【典型例题5】难度★★★
7
【解题思路】
【答案解析】
【典型例题6】难度★★★
8
【思路分析】因为点D是动点，A是定点．所以线段AD是变化的，圆的大小也
随AD变化，而弦EF是由圆0和△ABC确定的，所以当圆0的直径最小时，线段
EF的最小值也就确定了．AD何时最短？
【答案解析】解：
【典型例题7】难度★★★
【答案解析】
9
【典型例题8】难度★★★
【答案解析】
10
【典型例题9】难度★★★
【答案解析】
【典型例题10】难度★★★
【答案解析】
11
二、利用“三点共线”解决最值问题
【典型例题1】难度★★★
【思路分析】点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在z轴运动时，点C随
之在y轴上运动，线段OB的长度随之发生变化，因此需要寻找与点O、点B有
关的不变的量．仔细观察，我们可以发现在运动过程中，点O在到AC的中点的
距离不变，点B到AC的中点的距离也不变，然后求解即可．
【答案解析】解：
12
【典型例题2】难度★★★★
【答案解析】解：
13
【规律总结】在本例题中，主要涉及到三角形三边关系、直角三角形斜边上的中
线、勾股定理、正方形的性质等多个知识点为如何求一条线段最短提供了一个新
的思路一一建立三角形，利用两边之和大于第三边的性质，再次强调三点共线时
线段取最值．
【典型例题3】难度★★★
14
【思路分析】四边形PQFE的周长＝PE+EF+FQ+PQ，其中PQ为定值，所
以周长的最小值就是求PE+EF+FQ的最小值．那么三条线段和的最小值如何求
呢？利用作图构造兰条线段共线，来求得和的最小值．连接AC，延长DA至M，
使AM=AP，延长DC到N，使CN=CQ，则当E、F是MN和AB、BC的交点时，
四边形PQFE周长最小，则PE+EF+FQ的最小值是MN的长．
【答案解析】解：
【典型例题4】难度★★★★
15
【思路分析】
【答案解析】解：
【典型例题5】难度★★★
16
【思路分析】
【答案解析】解：
【典型例题6】难度★★
17
【答案解析】
【典型例题7】难度★★
【答案解析】
18
【典型例题8】难度★★★
【答案解析】
19
【典型例题9】难度★★★★
【答案解析】解：
20
【典型例题10】难度★★★★
21
【答案解析】解：
【扩展】
三、利用“轴对称变换”解决最值问题
【典型例题1】难度★★
22
【思路分析】利用轴对称的性质解决一动点到两定点距离和最小的问题，辅助线
方法是作某一定点的对称点（本题做C点的对称点，与A连接确定点D），熟练
运用此方法是本例题和变式的主要目的，同时运用到勾股定理、三角函数等相关
知识．本题做C点的对称点
【答案解析】解：
【典型例题2】难度★★★
23
【思路分析】本题是轴对称一一最短路线问题在坐标系中的应用．一个动点到两
个定点距离和最小的问题，首先要明确对称轴是什么，然后根据轴对称作出最短
路线，即可得出△ABC的周长最小时C点的坐标．
【答案解析】解：
【典型例题3】难度★★★
24
【思路分析】本题是一定点到两动点距离和最小的问题那么应该用到了轴对称一
一最短路线问题这部分知识，将两个变量线段通过作图转化到同一条线段上．
【答案解析】解：
【典型例题4】难度★★★
25
【答案解析】解：
【典型例题5】难度★★★★
【答案解析】解：
26
【典型例题1】难度★★
27
【思路分析】构造包含所求线段的兰角形，通过三边关系求解；解直角三角形求
出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出DC有最大值
再代人数据进行计算即可得
【答案解析】解：
28
四、利用“旋转变换”解决最值问题
【典型例题1】难度★★
【思路分析】构造包含所求线段的兰角形，通过三边关系求解；解直角三角形求
出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出DC有最大值
再代人数据进行计算即可得
【答案解析】解：
29
【典型例题2】难度★★★
30
【思路分析】本题利用旋转等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质解直角
三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，通过运用旋转和作辅助线构，
造特殊图形，利用垂线段最短的性质求得最小值．
【答案解析】解：
【典型例题3】难度★★★
31
【思路分析】通过证一组三角形全等来证明BE和AD的数量关系及位置关系．思
考问题中要考虑点E在旋转过程中的运动轨迹通过构图发现BE的最大和最小
值．
【答案解析】解：
32
【典型例题4】难度★★★★
【答案解析】解：
33
【典型例题5】难度★★★★
34
【答案解析】解：
35
【典型例题6】难度★★★★
36
【思路分析】
【答案解析】解：
37
【典型例题7】难度★★★★
38
【思路分析】
【答案解析】解：
39
40
【典型例题8】难度★★★★
【答案解析】
41
【典型例题9】难度★★★★
【答案解析】
42
五、“二次函数的最值性质”解决最值问题
【典型例题1】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
43
【典型例题2】难度★★★
【解题思路】
44
【答案解析】
【典型例题3】难度★★★
【解题思路】
45
【典型例题4】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
46
【典型例题5】难度★★★
47
【答案解析】
【典型例题6】难度★★★★
48
【解题思路】
【答案解析】
【典型例题7】难度★★★
49
【答案解析】
50
【典型例题8】难度★★★★
【解题思路】
51
【答案解析】
52
【典型例题9】难度★★★
【答案解析】
【典型例题10】难度★★★★
53
【答案解析】
54
55
六、等腰三角形的存在性动点问题
【典型例题1】难度★★★
【解题思路】
56
【答案解析】
57
【典型例题2】难度★★★
【答案解析】
58
【典型例题3】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
59
【典型例题4】难度★★★
【解题思路】
60
【答案解析】
61
【典型例题5】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
62
63
【典型例题6】难度★★★
【解题思路】
【答案解析】
64
【典型例题7】难度★★★★
65
【答案解析】
66
67
【典型例题8】难度★★★★
【解题思路】
【答案解析】
68
【典型例题9】难度★★★★
69
【答案解析】
70
71
【典型例题10】难度★★★
【答案解析】
【典型例题11】难度★★★★
72
【答案解析】
七、直角三角形的存在性动点问题
【典型例题1】难度★★★
73
【答案解析】解：
【总结】本例和上例考查了动点问题的运用涉及到含有30°角的直角三角形的
性质、相似三角形的判定与性质等,解答时根据相似列出等式关系是解题的关键．
【典型例题2】难度★★★
74
【解题思路】
【答案解析】解：
75
【典型例题3】难度★★★
【答案解析】解：
76
77
【总结】本例主要考查了等腰三角形的性质与一次函数的综合应用，根据数形
结合进行分类讨论计算是解题的关键，注意不要漏解错解．
【典型例题4】难度★★★★
78
【解题思路】
【答案解析】解：
79
80
【总结】本例综合考查了勾股定时腰三角形阳等腰昨角形切线的判定、相似三角
形的性质和判定、轴对称性质、切线长定理、直线与圆的位置关系等多个知识点，
主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题难度偏大，对学生提出
了较高的要求，要求能够灵活应用方程思想和分类讨论思想．
【典型例题5】难度★★★★
【解题思路】
【答案解析】解：
81
82
【总结】本例综合考查了勾股定时腰三角形阳等腰昨角形切线的判定、相似三角
形的性质和判定、轴对称性质、切线长定理、直线与圆的位置关系等多个知识点，
主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题难度偏大，对学生提出
了较高的要求，要求能够灵活应用方程思想和分类讨论思想．
【典型例题7】难度★★★★
83
【答案解析】解：
84
【总结】解答此题的关键是借助图形，把形的关系转化为量的关系.本例题是很
好的压轴题型．
【典型例题8】难度★★★★
85
【答案解析】
86
【典型例题9】难度★★★★
【答案解析】解：
87
88
89