条件概率公式

发布时间：2023-06-11 作者：admin 来源：文学

条件概率公式

2023年3月2日发(作者：济南消防)

概率公式大全

第一章随机事件和概率

（1）排

列组合

公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能

数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能

数。

（2）加

法和乘

法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由

m种方法完成，第二种方法可由n种方法来

完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由

m种方法完成，第二个步骤可由n种方法

来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

（3）一

些常见

排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随

机试验

和随机

事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，

而每次试验的可能结果不止一个，但在进行

一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，

则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基

本事

件、样

本空间

和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以

从其中找出这样一组事件，它具有如下性

质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这

一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组

成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事

件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用

表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）

组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…

表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零

的事件不一定是不可能事件；同理，必然事

件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也

不一定是必然事件。

（6）事

件的关

系与运

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成

部分，（A发生必有事件B发生）：

算如果同时有，，则称事件A与事件B等

价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或

者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，

称为A与B的差，记为A-B，也可表示为

A-AB或者，它表示A发生而B不发生的

事件。

A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，

则表示A与B不可能同时发生，称事件A

与事件B互不相容或者互斥。基本事件是

互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事

件，记为。它表示A不发生的事件。互斥

未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪

B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪

B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：，

（7）概设为样本空间，为事件，对每一个事件都

率的公

理化定

义

有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1°0≤P(A)≤1，

2°P(Ω)=1

3°对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件的概率。

（8）古

典概型

1°，

2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P(A)==

（9）几

何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个

结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的

每一个基本事件可以使用一个有界区域来

描述，则称此随机试验为几何概型。对任一

事件A，

。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）

加法公

式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）P(A-B)=P(A)-P(AB)

减法公

式

当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P()=1-P(B)

（12）

条件概

率

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则

称为事件A发生条件下，事件B发生的条

件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都

适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)

（13）

乘法公

式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若

P(A1A2…An-1)>0，则有

…………。

（14）

独立性

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独

立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、

与也都相互独立。

必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相

互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的

条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；

P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）

全概公

式

设事件满足

1°两两互不相容，，

2°，

则有

。

（16）

贝叶斯

公式

设事件，，…，及满足

1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，

2°，，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，…，），通常叫先验概率。，

（，，…，），通常称为后验概率。贝叶

斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

（17）

伯努利

概型

我们作了次试验，且满足

u每次试验只有两种可能结果，发生或

不发生；

u次试验是重复进行的，即发生的概率

每次均一样；

u每次试验是独立的，即每次试验发生

与否与其他次试验发生与否是互不影响

的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努

利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的

概率为，用表示重伯努利试验中出现

次的概率，

，。

第二章随机变量及其分布

（1）

离散

型随

机变

量的

分布

设离散型随机变量的可能取值为

Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件

(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量的概率分布

或分布律。有时也用分布列的形式给出：

律。

显然分布律应满足下列条件：

（1），，（2）。

（2）

连续

型随

机变

量的

分布

密度

设是随机变量的分布函数，若存在非负

函数，对任意实数，有

，

则称为连续型随机变量。称为的概率

密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°。

2°。

（3）

离散

与连

续型

随机

变量

的关

系

积分元在连续型随机变量理论中所起的

作用与在离散型随机变量理论中所起的

作用相类似。

（4）

分布

函数

设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一

个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。分布函

数表示随机变量落入区间（–∞，x]内的

概率。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

5°。

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量，。

（5）

八大

分布

0-1分

布

P(X=1)=p,P(X=0)=q

二项分

布

在重贝努里试验中，设事件发生

的概率为。事件发生的次数是随

机变量，设为，则可能取值为。

，其中，

则称随机变量服从参数为，的

二项分布。记为。

当时，，，这就是（0-1）分布，

所以（0-1）分布是二项分布的特

例。

泊松分

布

设随机变量的分布律为

，，，

则称随机变量服从参数为的泊

松分布，记为或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布

（np=λ，n→∞）。

超几何

分布随机变量X服从参数为n,N,M的

超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分

布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何

分布，记为G(p)。

均匀分

布

设随机变量的值只落在[a，b]内，

其密度函数在[a，b]上为常数，

即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量在[a，b]上服从均

匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

a≤x≤b

0，x

1，x>b。

当a≤x1

内的概率为

。

指数分

布

0,,

其中，则称随机变量X服从参数

为的指数分布。

X的分布函数为

x<0。

记住积分公式：

正态分

布

设随机变量的密度函数为

，，

其中、为常数，则称随机变量服

从参数为、的正态分布或高斯

（Gauss）分布，记为。

具有如下性质：

1°的图形是关于对称的；

2°当时，为最大值；

若，则的分布函数为

。。

参数、时的正态分布称为标准正

态分布，记为，其密度函数记为

，，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编

制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。

如果~，则~。

。

（6）

分位

数

下分位表：；

上分位表：。

（7）

函数

分布

离散型已知的分布列为

，

的分布列（互不相等）如下：

，

若有某些相等，则应将对应的相

加作为的概率。

连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y

的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再

利用变上下限积分的求导公式求

出fY(y)。

第三章二维随机变量及其分布

（1）

联合

分布

离散型如果二维随机向量

（X，Y）的所有可能

取值为至多可列个有

序对（x,y），则称为

离散型随机量。

设=（X，Y）的所有

可能取值为，且事件

{=}的概率为pij,,称

为=（X，Y）的分布

律或称为X和Y的联

合分布律。联合分布

有时也用下面的概率

分布表来表示：

y1y2…yj…

x1p11p1

…p1

…

x2p2

…p2

…

xipi1……

这里pij具有下面两

个性质：

（1）pij≥0

（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型对于二维随机向量，

如果存在非负函数，

使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的

矩形区域D，即

D={(X,Y)|a

则称为连续型随机

向量；并称f(x,y)为=

（X，Y）的分布密度

或称为X和Y的联合

分布密度。

分布密度f(x,y)具

有下面两个性质：

（1）f(x,y)≥0;

（2）

二维

随机

变量

的本

质

（3）

联合

分布

函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实

数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，

或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，

以事件的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1

时，有F(x,y2)≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，

即

（4）

（5）对于

（4）

离散

型与

连续

型的

关系

（5）

边缘

分布

离散型X的边缘分布为

；

Y的边缘分布为

。

连续型X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）

条件

分布

离散型在已知X=xi的条件

下，Y取值的条件分

布为

在已知Y=yj的条件

下，X取值的条件分

布为

连续型在已知Y=y的条件

下，X的条件分布密

度为

；

在已知X=x的条件

下，Y的条件分布密

度为

（7）

独立

性

一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

有零不独立

连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为

矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数若

X1,X2,…Xm,Xm+1,

…Xn相互独立，h,g

为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）

和g（Xm+1,…Xn）

相互独立。

特例：若X与Y独立，

则：h（X）和g（Y）

独立。

例如：若X与Y独立，

则：3X+1和5Y-2独

立。

（8）

二维

均匀

分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）

服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U

（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

O1x

图3.1

O2x

图3.2

Oabx

图3.3

（9）

二维

正态

分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二

维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正

态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态

分布。

（10）

函数

分布

Z=X+Y根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个独立的正态分布

的和仍为正态分布

（）。

n个相互独立的正态

分布的线性组合，仍

服从正态分布。

，

Z=max,min(X1,X2,

…Xn)

若相互独立，其分布

函数分别为，则

Z=max,min(X1,X2,

…Xn)的分布函数

为：

分布设n个随机变量相

互独立，且服从标准

正态分布，可以证明

它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W

服从自由度为n的

分布，记为W～，

其中

所谓自由度是指独立

正态随机变量的个

数，它是随机变量分

布中的一个重要参

数。

分布满足可加性：设

则

t分布设X，Y是两个相互

独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服

从自由度为n的t分

布，记为T～t(n)。

F分布设，且X与Y独立，

可以证明的概率密

度函数为

我们称随机变量F服

从第一个自由度为

n1，第二个自由度为

n2的F分布，记为

F～f(n1,n2).

第四章随机变量的数字特征

（1）

一维

随机

变量

的数

字特

征

离散型连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型

随机变量，其分

布律为P()＝

pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收

敛）

设X是连续型

随机变量，其

概率密度为

f(x)，

（要求绝对收

敛）

函数的期望Y=g(X)Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，

标准差

，

矩①对于正整数

k，称随机变量

X的k次幂的

数学期望为X

的k阶原点矩，

记为vk,即

νk=E(Xk)=,

k=1,2,….

②对于正整数

k，称随机变量

X与E（X）差

的k次幂的数

学期望为X的

k阶中心矩，记

为，即

=，k=1,2,….

①对于正整数

k，称随机变量

X的k次幂的

数学期望为X

的k阶原点矩，

记为vk,即

νk=E(Xk)=

k=1,2,….

②对于正整数

k，称随机变量

X与E（X）差

的k次幂的数

学期望为X的

k阶中心矩，记

为，即

k=1,2,….

切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E

（X）=μ，方差D（X）=σ2，

则对于任意正数ε，有下列切

比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知

X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重

要意义。

（2）

期望

的性

质

（1）E(C)=C

（2）E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，

（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y

独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）

方差

的性

质

（1）D(C)=0；E(C)=C

（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

（4）D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y

独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）

常见

分布

的期

望和

方差

期望方差

0-1分布p

二项分布np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n2n

t分布0(n>2)

（5）

二维

随机

变量

的数

字特

征

期望

函数的期望＝＝

方差

协方差对于随机变量X与Y，称它们

的二阶混合中心矩为X与Y

的协方差或相关矩，记为，即

与记号相对应，X与Y的方

差D（X）与D（Y）也可分别

记为与。

相关系数对于随机变量X与Y，如果D

（X）>0,D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作

（有时可简记为）。

||≤1，当||=1时，称X与Y

完全相关：

完全相关

而当时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

混合矩对于随机变量X与Y，如果有

存在，则称之为X与Y的k+l

阶混合原点矩，记为；k+l阶

混合中心矩记为：

（6）

协方

差的

性质

(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);

(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);

(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

（7）

独立

和不