高中数学椭圆
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2023年3月1日发(作者：完善的近义词)1/22
高中数学椭圆题型归纳
一．椭圆の标准方程及定义
1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P
到另一个焦点の距离为（）
A．2B．3C．5D．7
2、已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数m
の值为．
3．求满足下列条件の椭圆の标准方程
（1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，）
（2）经过两点（2，），（）
4．求满足下列条件の椭圆方程：
（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；
（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；
（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．
5．设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，
点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为．
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二、离心率
1、已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，
则椭圆离心率の取值范围是．
2．设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线
x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心
率为（）
A．B．C．D．
3．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦
点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，
|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）
A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]
三、焦点三角形
1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，
且∠F1PF2=60°．
①求△PF1F2の周长
②求△PF1F2の面积．
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2．已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶
点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使•=0，若存在，请求出
点Pの坐标；若不存在，请说明理由．
四、弦长问题
1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围．
（2）求被椭圆截得の最长弦の长度．
2、设F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜
率为1の直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差
数列．
（1）求Eの离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程．
五、中点弦问题
1、已知椭圆+=1の弦ABの中点Mの坐标为（2，1），求直线
ABの方程，并求ABの长．
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六、定值、定点问题
1、已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐
标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为M．
（1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能
否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由．
七、对称问题
1．已知椭圆方程为，试确定mの范围，使得椭圆上有不同
の两点关于直线y=4x+m对称．
高中数学椭圆题型归纳
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2016春•马山县期末）已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个
焦点の距离为3，则点P到另一个焦点の距离为（）
A．2B．3C．5D．7
【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d
の等式即可得到结论．
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【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆の定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．
故选D．
【点评】本题主要考查椭圆の定义．在解决涉及到圆锥曲线上の点与
焦点之间の关系の问题中，圆锥曲线の定义往往是解题の突破口．
2．（2015秋•友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b
＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の
等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，
根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆の离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=a上一点
∴2（a﹣c）=2c
∴e==
故选：B．
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【点评】本题考查椭圆の几何性质，解题の关键是确定几何量之间の
关系，属于基础题．
3．（2016•衡水模拟）已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b
＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且
满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围
为（）
A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]
【分析】由直角三角形の判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1
⊥PF2，运用双曲线の定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，
运用离心率公式，即可得到所求范围．
【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，
即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，
可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
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又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，
即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，
化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，
即有2c2﹣a2≤4a2，
可得c≤a，
由e=可得
1＜e≤，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线の离心率の范围，注意运用双曲线の定义和
直角三角形の性质，考查运算能力，属于中档题．
二．填空题（共3小题）
4．已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数m
の值为4或．
【分析】由题设条件，分椭圆の焦点在x轴上和椭圆の焦点在y轴上
两种情况进行讨论，结合椭圆中a2﹣b2=c2进行求解．
【解答】解：∵椭圆の标准方程为，
椭圆の焦距为2c=6，c=3，
∴当椭圆の焦点在x轴上时，25﹣m2=9，
解得m=4；
当椭圆の焦点在y轴上时，m2﹣25=9，
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解得m=．
综上所述，mの取值是4或．
故答案为：4或
【点评】本题考查椭圆の简单性质，是基础题．解题时要认真审题，
仔细解答，注意分类讨论思想の合理运用．
5．（2016•漳州一模）设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P
为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为
15．
【分析】由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，
由此可得结论．
【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，
由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤
10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
故答案为：15．
【点评】本题考查椭圆の定义，考查学生分析解决问题の能力，属于
基础题．
6．已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，
则椭圆离心率の取值范围是．
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【分析】根据题意，点P即在已知椭圆上，又在以F1F2为直径の圆上．因
此以F1F2为直径の圆与椭圆有公式点，所以该圆の半径c大于或等于
短半轴bの长度，由此建立关于a、cの不等式，即可求得椭圆离心
率の取值范围．
【解答】解∵P点满足∠F1PF2=90°，
∴点P在以F1F2为直径の圆上
又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径の圆与椭圆有公共点，
∵F1、F2是椭圆の焦点
∴以F1F2为直径の圆の半径r满足：r=c≥b，
两边平方，得c2≥b2
即c2≥a2﹣c2⇒2c2≥a2
两边都除以a2，得2e2≥1，
∴e≥，结合0＜e＜1，
∴≤e＜1，即椭圆离心率の取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．
【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90度の情况下，
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求椭圆の离心率，着重考查了椭圆の基本概念和解不等式の基本知
识，属于中档题．
三．解答题（共9小题）
7．（2013秋•琼海校级月考）已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，
F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°．
①求△PF1F2の周长
②求△PF1F2の面积．
【分析】①根据椭圆の方程求得c，利用△PF1F2の周长L=2a+2c，即
可得出结论；
②设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2の值，最后利用
三角形面积公式求解．
【解答】解：①∵a=5，b=3，∴c=4
∴△PF1F2の周长L=2a+2c=18；
②设|PF1|=t1，|PF2|=t2，
则由椭圆の定义可得：t1+t2=10
在△F1PF2中∠F1PF2=60°，
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∴t1
2+t2
2﹣2t1t2•cos60°=28，
可得t1t2=12，
∴==3．
【点评】解决此类问题の关键是熟练掌握椭圆の标准方程、椭圆の定
义，熟练利用解三角形の一个知识求解问题．
8．（2015秋•揭阳月考）已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x
轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和
F2．
（1）求椭圆方程；
（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；
（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使•=0，若存在，请求出
点Pの坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点の坐标和离心率得
b=，根据a2=b2+c2求出aの值，即求出椭圆标准方程；
（2）根据（1）求出の椭圆标准方程，求出点M纵坐标の范围，即求
出三角形面积の最大值；
（3）先假设存在点P满足条件，根据向量の数量积得•，根据
椭圆の焦距和椭圆の定义列出两个方程，求出Sの值，结合（2）
中三角形面积の最大值，判断出是否存在点P．
【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为+=1，
由已知得，b=．（2分）
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则e2===1﹣=，
解得a2=6（4分）
∴所求椭圆方程为+=1（5分）
（2）令M（x1，y1），
则S=|F1F2|•|y1|=•2•|y1|=|y1|（7分）
∵点M在椭圆上，∴﹣≤y1≤，
故|y1|の最大值为，（8分）
∴当y1=±时，Sの最大值为．（9分）
（3）假设存在一点P，使•=0，
∵≠，≠，
∴⊥，（10分）
∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2②（12分）
∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴|PF1|•|PF2|=5，（13分）
即S=5，由（1）得S最大值为，故矛盾，
∴不存在一点P，使•=0．（14分）
【点评】本题考查了椭圆方程の求法以及椭圆の性质、向量数量积の
几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和bの值，根
据椭圆上点の坐标范围求出相应三角形の面积最值，即根据此范围判
断点P是否存在，此题综合性强，涉及の知识多，考查了分析问题和
解决问题の能力．
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9．（2015秋•葫芦岛校级月考）求满足下列条件の椭圆の标准方程
（1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，）
（2）经过两点（2，），（）
【分析】（1）设出椭圆の标准方程，代入点の坐标，结合c=2，即可
求得椭圆の标准方程；
（2）设出椭圆の标准方程，代入点の坐标，即可求得椭圆の标准方
程．
【解答】解：（1）依题意，设所求椭圆方程为=1（a＞b＞0）
因为点（4，3），在椭圆上，又c=2，得，
解得a=6，b=4…（10分）
故所求の椭圆方程是=1；
（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，则
∵经过两点（2，），（），
∴，∴，n=，
∴椭圆方程为=1．
【点评】本题考查椭圆の标准方程，考查学生の计算能力，属于基础
题．
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10．（2012秋•西安期末）求满足下列条件の椭圆方程：
（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；
（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；
（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．
【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和
a，b，cの关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）
和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；
（3）讨论椭圆の焦点の位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程
可得a，c，再由a，b，cの关系解得b，即可得到椭圆方程．
【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得，2a=12，e=，
即有a=6，=，即有c=4，
b===2，
即有椭圆方程为+=1；
（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），
由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得
36m+0=1，且0+64n=1，
解得m=，n=，
即有椭圆方程为+=1；
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（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得a﹣c=4，a+c=10，
解得a=7，c=3，
b==2，
即有椭圆方程为+=1；
同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．
即有椭圆方程为+=1或+=1．
【点评】本题考查椭圆の方程和性质，主要考查椭圆の方程の求法，
注意运用椭圆の方程の正确设法，以及椭圆性质の运用，属于基础题．
11．（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆の左、右
焦点，过F1斜率为1の直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，
|BF2|成等差数列．
（1）求Eの离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程．
【分析】（I）根据椭圆の定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据
|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线lの方程，
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据
韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和bの关系，
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进而求得a和cの关系，离心率可得．
（II）设ABの中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，
根据|PA|=|PB|，推知直线PNの斜率，根据求得c，进而求
得a和b，椭圆の方程可得．
【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又
2|AB|=|AF2|+|BF2|，
得，lの方程为y=x+c，其中．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组
化简の（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0
则
因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，
得，故a2=2b2
所以Eの离心率
（II）设ABの中点为N（x0，y0），由（I）知，
．
由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，
即
得c=3，从而
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故椭圆Eの方程为．
【点评】本题主要考查圆锥曲线中の椭圆性质以及直线与椭圆の位置
关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题の能力及
运算能力
12．（2014春•广水市校级月考）已知椭圆+=1の弦ABの中点M
の坐标为（2，1），求直线ABの方程，并求ABの长．
【分析】首先，根据椭圆の对称轴，得到该直线の斜率存在，设其方
程为y﹣1=k（x﹣2），然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数
の关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率kの值，然后，利用两
点间の距离公式或弦长公式，求解ABの长．
【解答】解：当直线ABの斜率不存在时，不成立，
故直线ABの斜率存在，
设其方程为y﹣1=k（x﹣2），
联立方程组，消去y并整理，得
（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，
∴x1+x2=﹣，
∵，
∴2k（2k﹣1）=1+4k2，
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∴k=﹣，
∴直线ABの方程：x+2y﹣4=0．
将k=﹣代人（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，
得x2﹣4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（0，），B（4，﹣），
∴|AB|=．
∴ABの长2．
【点评】本题属于中档题，重点考查了椭圆の简单几何性质、直线与
椭圆の位置关系、弦长公式、两点间の距离公式等知识，属于高考の
热点和重点问题．
13．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原
点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为
M．
（1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；
（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能
否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应の直线斜率即可得
到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，
即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
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【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B
（x2，y2），M（xM，yM），
将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，
则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2=，则xM==，yM=kxM+b=，
于是直线OMの斜率kOM==，
即kOM•k=﹣9，
∴直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值．
（2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点（，m），
∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
即k2m2＞9b2﹣9m2，
∵b=m﹣m，
∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，
即k2＞k2﹣6k，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点の充要条件是k＞0，k≠3，
由（1）知OMの方程为y=x，
设Pの横坐标为xP，
由得，即xP=，
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将点（，m）の坐标代入lの方程得b=，
即lの方程为y=kx+，
将y=x，代入y=kx+，
得kx+=x
解得xM=，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即
xP=2xM，
于是=2×，
解得k1=4﹣或k2=4+，
∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，
∴当lの斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线の相交问题，联立方程组转化
为一元二次方程，利用根与系数之间の关系是解决本题の关键．综合
性较强，难度较大．
14．（2013秋•阜城县校级月考）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围．
（2）求被椭圆截得の最长弦の长度．
【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成の
方程组有解，等价于消掉y后得到xの二次方程有解，故△≥0，解
出即可；
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（2）设所截弦の两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达
定理可把弦长|AB|表示为关于mの函数，根据函数表达式易求弦长最
大值；
【解答】解：（1）由得：5x2+2mx+m2﹣1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2﹣4×5（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥
0，
解得﹣≤m≤，
所以实数mの取值范围是﹣≤m≤；
（2）设所截弦の两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2=﹣，x1x2=，
所以弦长|AB|=|x1﹣
x2|=•=•=2×，
当m=0时|AB|最大，最大值为：．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线の位置关系，考查函数与方程思想，
弦长公式、韦达定理是解决该类题目の基础知识，应熟练掌握．
15．（2012秋•裕华区校级期中）已知椭圆方程为，试确定m
の范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．
【分析】根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分，从而可得
直线ABの斜率k=﹣，直线AB与椭圆有两个交点，且ABの中点M
22/22
在直线y=4x+m，可设直线ABの方程为y=，联立方程
整理可得13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0可求中点M，由△=64b2﹣4×13
×16（b2﹣3）＞0可求bの范围，由中点M在直线y=4x+m可得m，b
の关系，从而可求mの范围
【解答】解：设椭圆上关于直线y=4x+m对称の点A（x1，y1），B（x2，
y2），
则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分．
可得直线ABの斜率k=﹣，直线AB与椭圆有两个交点，且ABの中
点M（x0，y0）在直线y=4x+m，
故可设直线ABの方程为y=，
整理可得13x2﹣8bx+16（b2﹣3）=0，
所以，，
由△=64b2﹣4×13×16（b2﹣3）＞0可得，
所以代入直线y=4x+m可得m=
所以，．
【点评】本题主要考查了直线与椭圆の位置关系の应用，解题の关键
是灵活应用已知中の对称性设出直线方程，且由中点在y=4x+m上建
立m，b之间の关系，还要注意方程の根与系数の关系の应用．