乙卷数学
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2023年2月28日发(作者：驾照理论考试)2021
年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，N＝{3，4}
U
（M∪N）＝（）
A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4}
2．（5分）设iz＝4+3i，则z＝（）
A．﹣3﹣4iB．﹣3+4iC．3﹣4iD．3+4i
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|
≥1，则下列命题中为真命题的
是（）
A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢（p∨q）
4．（5分）函数f（x）＝sin+cos（）
A．3π和B．3π和2C．6π和D．6π和2
5．（5分）若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）
A．18B．10C．6D．4
6．（5分）cos2
﹣cos
2
＝（）
A．B．C．D．
7．（5分）在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于（）
A．B．C．D．
8．（5分）下列函数中最小值为4的是（）
A．y＝x2+2x+4B．y＝|sinx|+
C．y＝2x+22﹣xD．y＝lnx+
9．（5分）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）
A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1
10．（5分）在正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为B
1
D
1
的中点，则直线PB与AD
1
所成的角
为（）
2
A．B．C．D．
11．（5分）设B是椭圆C：+y2
＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）
A．B．C．D．2
12．（5分）设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2
（x﹣b）的极大值点，则（）
A．a＜bB．a＞bC．ab＜a2D．ab＞a2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．（5分）已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．
14．（5分）双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为．
15．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，a2+c2
＝3ac，则
b＝．
16．（5分）以图
①
为正视图，在图
②③④⑤
中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某
个三棱锥的三视图（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品
旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7
新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s
1
2
3
和s
2
2
．
（1）求，，s
1
2
，s
2
2
；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥
2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为
有显著提高）．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；
（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）设{a
n
}是首项为1的等比数列，数列{b
n
}满足b
n
＝，已知a
1
，3a
2
，9a
3
成等差数列．
（1）求{a
n
}和{b
n
}的通项公式；
（2）记S
n
和T
n
分别为{a
n
}和{b
n
}的前n项和．证明：T
n
＜．
20．（12分）已知抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝x3
﹣x
2+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
4
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
5
2021
年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，8，4，5}，8}，4}，
∴M∪N＝{1，8，3，4}，
∴∁
U
（M∪N）＝{4}．
故选：A．
2．【解答】解：由iz＝4+3i，得z＝．
故选：C．
3．【解答】解：对于命题p：∃x∈R，sinx＜1，
当x＝0时，sinx＝8＜1，￢p为假命题；
对于命题q：∀x∈R，e
|x|
≥1，
因为|x|≥8，又函数y＝e
x
为单调递增函数，故e
|x|
≥e
0
＝1，
故命题q为真命题，￢q为假命题，
所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，￢（p∨q）为假命题，
故选：A．
4．【解答】解：∵f（x）＝sin+cos＝+），
∴T＝＝5π．
当sin（+）＝4时；
∴函数f（x）的周期为6π，最大值．
故选：C．
5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
6
联立，解得A（8，
由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，当直线y＝﹣8x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．
故选：C．
6．【解答】解：cos2
﹣cos
2
＝
＝
＝．
故选：D．
7．【解答】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣6＝，
构成该事件的区域长度为﹣0＝，
所以取到的数小于的概率P＝＝．
故选：B．
8．【解答】解：对于A，y＝x2+2x+6＝（x+1）2+5≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为2＜|sinx|≤1，
当且仅当，即|sinx|＝2时取等号，
因为|sinx|≤1，所以等号取不到，
7
所以y＝|sinx|+＞4；
对于C，因为2
x
＞8，所以y＝2
x+26﹣x
＝，
当且仅当7
x
＝2，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为8，故选项C正确；
对于D，因为当x＝时，，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选：C．
9．【解答】解：因为f（x）＝＝，
所以函数f（x）的对称中心为（﹣2，﹣1），
所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数y＝f（x﹣1）+3，该函数的对称中心为（0，
故函数y＝f（x﹣1）+4为奇函数．
故选：B．
10．【解答】解：∵AD
1
∥BC
1
，∴∠PBC
6
是直线PB与AD
1
所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A
1
B
5
C
1
D
1
的棱长为2，
则PB
1
＝PC
1
＝＝，BC
1
＝＝4＝，
∴cos∠PBC
1
＝＝＝，
∴∠PBC
2
＝，
∴直线PB与AD
1
所成的角为．
故选：D．
8
11．【解答】解：B是椭圆C：+y4
＝1的上顶点，所以B（0，
点P在C上，设P（，θ∈[0，
所以|PB|＝＝
＝＝，
当sinθ＝时，|PB|取得最大值．
故选：A．
12．【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则8＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
9
则b＜a＜0；
综上，ab＞a
7
．
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．【解答】解：因为＝（2，＝（λ，∥，
所以8﹣7λ＝0，解得λ＝．
故答案为：．
14．【解答】解：双曲线﹣＝1的右焦点（4，
所以右焦点到直线x+2y﹣8＝7的距离为d＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，a2+c4
＝3ac，
∴acsinB＝⇒＝⇒ac＝4⇒a
2+c5
＝12，
又cosB＝⇒＝⇒b＝8
故答案为：2．
16．【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，即可能为该三棱锥的侧视图，
④⑤
图形的长为6，即可能为该三棱锥的俯视图，
当
②
为侧视图时，结合侧视图中的直线，
当
③
为侧视图时，结合侧视图虚线，可以确定该三棱锥的俯视图为
④
．
故答案为：
②⑤
或
③④
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：
共60分。
17．【解答】解：（1）由题中的数据可得，
（9.4+10.3+10.0+10.7+9.9+3.8+10.0+10.7+10.2+9.7）＝10，
＝（10.1+10.6+10.1+10.0+10.3+10.3+10.6+10.4+10.4+10.5）＝10.4，
10
s
1
2
＝[（9.8﹣10）
8+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（4.9﹣10）2+（7.8
﹣10）
2
+（10﹣10）5+（10.1﹣10）2+（10.4﹣10）2+（9.3﹣10）2]＝0.036；
s
8
2
＝[（10.3﹣10.3）
2+（10.6﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.2
﹣10.3）
2
+（10.8﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.8﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2]
＝8.04；
（2），
2＝，
所以﹣＞7，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM，
又∵PB⊥AM，
PD∩PB＝P，PB．
∴AM⊥平面PBD．
∵AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD；
（2）解：由PD⊥底面ABCD，
∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形；
∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，且PB⊥AM．
设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F，AF，AE，
可得MF∥PB，EF∥DP，
那么AM⊥MF．且EF＝，AM＝，．
那么△AMF是直角三角形，
∵△DPB是直角三角形，
11
∴根据勾股定理：BP＝，则MF＝；
由△AMF是直角三角形，
可得AM
2+MF6
＝AF
2
，
解得a＝．
底面ABCD的面积S＝，
则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝．
19．【解答】解：（1）∵a
1
，3a
4
，9a
3
成等差数列，∴2a
2
＝a
1
+4a
3
，
∵{a
n
}是首项为1的等比数列，设其公比为q，
则6q＝1+9q
8
，∴q＝，
∴a
n
＝a
5
qn﹣1
＝，
∴b
n
＝＝n•．
（2）证明：由（1）知a
n
＝，b
n
＝n•，
∴＝，
，
①
∴，
②
①
﹣
②
得，，
∴，
12
∴T
n
﹣＝﹣＜0，
∴T
n
＜．
20．【解答】（1）解：由题意知，p＝2，
∴y
2
＝4x．
（2）由（1）知，抛物线C：y
2
＝4x，F（8，
设点Q的坐标为（m，n），
则＝（1﹣m，
∴P点坐标为（10m﹣3，10n），
将点P代入C得100n
2
＝40m﹣36，
整理得，
∴，当n＝．
故答案为：．
21．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2
﹣8x+a，△＝4﹣12a，
①
当△≤0，即时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，则f（x）在R上
单调递增；
②
当△＞0，即时，令f′（x）＝0，
令f′（x）＞0，解得x＜x
1
或x＞x
2
，令f′（x）＜0，解得x
1
＜x＜x
5
，
∴f（x）在（﹣∞，x
1
），（x
2
，+∞）单调递增，在（x
8
，x
2
）单调递减；
综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时
单调递增，在．
（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为
，
则切线方程为，
13
将原点代入切线方程有，，解得x
2
＝1，
∴切线方程为y＝（a+1）x，
令x
7
﹣x
2+ax+1＝（a+7）x，即x3
﹣x
2
﹣x+2＝0，解得x＝1或x＝﹣4，
∴曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标为（1，a+1）和（﹣
5．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．【解答】解：（1）⊙C的圆心为C（2，1），
则⊙C的标准方程为（x﹣7）
2+（y﹣1）6
＝1，⊙C的一个参数方程为（θ为参数）．
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣6k+1＝0，
圆心C（2，1）到切线的距离d＝，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±（x﹣4）+1，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±（ρcosθ﹣4）+1．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+8|＝，
∵f（x）≥6，∴或或，
∴x≤﹣4或x≥8，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2．
（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+4|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|，
若f（x）＞﹣a，则|a+4|＞﹣a，
两边平方可得a
2+6a+8＞a2
，解得a＞﹣，
14
即a的取值范围是（﹣，+∞）．