面心立方晶格
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2023年2月28日发(作者：预埋螺栓).
1.1如果将等体积球分别排列成以下结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，
证明结构x简单立方π/6≈体心立方3π/8≈面心立方2π/6≈六
方密排2π/6≈金刚石3π/16≈
解：设钢球半径为r，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a与r的关系
不同，分别为：简单立方：a=2r
金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子
紧贴，因此有
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1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为
根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为
同理
与面心立方晶格基矢比照，正是晶格常数为4π/a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格
的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形
式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为
同理
而把以上结果与体心立方基矢比拟，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC交于基矢
的截距分别为
即为平面的法线
.
根据定义，倒格子基矢为
那么倒格子原胞的体积为
1.6对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足
其中a为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子
与晶面族(h,k,l)的面间距有如下关系
因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为
那么带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
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1.7写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。假
设立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数〔配位数〕为8，最近邻原子间距等于
次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a；
面心立方晶格的最近邻原子数〔配位数〕为12，最近邻原子间距等于
次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a。
2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α=2ln2
证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考
离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有
根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。
因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。
那么马德隆常数为
当x=1时，有
所以α=2ln2
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根据平衡条件，即稳定结合时
求得
那么可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为
计算中没有考虑零点能的量子修正，这是造成理论和实验值之间巨大差异的原因。
是的图是的图
是的图
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3.2讨论N个原胞的一维双原子链〔相邻原子间距为a〕，其2N个格波解，当M
=m时与一维单原子链的结果一一对应。
解：如下图，质量为M的原子位于2n−1,2n+1,2n+3