狄拉克符号

狄拉克符号

-

2023年2月27日发(作者：游戏化思维)

1量子力学的基础量集合=【时间、距离、速

度、动量、能量、宇称、波长、振幅、自旋、

磁矩】

2最难理解的术语

1）角动量

2）自旋

3）薛定谔方程

4）狄拉克公式

5）以太

6）

3量子力学的一些基本概念

1全同粒子

定义

1)固有性质（如静止质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等不因运动情况而改变的性质）完全相

同的粒子，彼此无法区分。

2)它们可以是基本粒子，也可以是由基本粒子构成的复合粒子(如α粒子)。

3)以电子为例，不管其来源如何，根据实验测定，每个电子的静止质量均为9.109534(±47)

×10-31kg，电荷为1.6021892(±46)×10-19C。

定理

1)由同类粒子组成的多粒子体系中，对于任何物理量，任意两个粒子

交换后体系保持不变，称为交换对称性。

设P为置换算符，作用在双粒子体系波函数ψ(q1,q2)上，即：

),(),(

ˆ

122112

qqcqqP

再作用一次，),(),(

ˆ

21

2

21

2

12

qqcqqP

作用两次后，体系保持不变，c2＝1，则c＝±1，即：

),(),(

ˆ

122112

qqqqP

所以，置换算符作用在双粒子波函数上，波函数可能不变或改变一个符号。

),(),(

ˆ

122112

qqqqP对称波函数

),(),(

ˆ

122112

qqqqP反对称波函数

该结论可以推广到N个全粒子系统，即变换任意两个粒子波函数保持不变或改变一个符号，

则称波函数是对称或反对称的。

不是对称或反对称性的波函数不能作为全同粒子的波函数。

2）实验表明：全同粒子体系状态的交换2)对称性，取决于粒子的自

旋。凡是自旋等于ħ整数倍（s=0,1,2,…）的全同粒子，波函数对

两个粒子交换总是对称的，并服从玻色-爱因斯坦统计法则，称为玻

色子（Bosons）。如光子、π介子、α粒子。凡是自旋等于ħ/2的

半整数倍（s=1/2,3/2,5/2,…）的全同粒子，波函数对两个粒子交换

总是反对称的，并服从费米-狄拉克统计，称为费米子（Fermions）。

如电子、质子、中子。

2宇称

宇称算符：对任意函数g有如下的作用：

),,,...,,,(),,,...,,,(

ˆ

111111nnnnnn

zyxzyxgzyxzyxg

（把每个笛卡儿坐标换成其负值，相当于一种反演变换）

如：

ayayzexzex22)(

ˆ

性质

（1）线性算符

)

ˆ

)(

ˆ

()(

ˆ

gffg

（2）2ˆ

是单位算符

)],,(

ˆ

[

ˆ

),,(

ˆ2zyxfzyxf

)],,([

ˆ

zyxf

),,(zyxf

1

ˆ

ˆ2

（3）本征值ci和本征函数gi

令

iii

gcg

ˆ

用宇称算符作用上式，

iii

gcg

ˆˆˆ

iii

gcg

ˆˆ2

iii

gcg

ˆˆ2

1

ˆ2

iii

gcg2

1

i

c

ci＝+1时，gi(-x,-y,-z)=gi(x,y,z)偶函数偶宇称

ci＝-1时，gi(-x,-y,-z)=-gi(x,y,z)奇函数奇宇称

所有可能的品优的偶函数或奇函数都是宇称算符的本征函数

（4）与哈密顿算符的对易

定理：如果存在算符A和B的一共同的本征函数完备集，则A和B可以对易。反之，若二

者可对易，可为它们选取一共同的本征函数完备集。

若

0]

ˆ

,

ˆ

[H

对单粒子体系：

]

ˆ

,

ˆ

[]

ˆ

,

ˆ

[]

ˆ

,

ˆ

[VTH

]

ˆ

,

ˆ

[]

ˆ

,[

2

]

ˆ

,[

2

]

ˆ

,[

22

22

2

22

2

22



















V

zmymxm



由于

),,(

ˆ

),,(

),,(

)()(

),,(

ˆ

2

2

2

2

2

2

zyx

x

zyx

x

zyx

xx

zyx

x





















































式中是任意函数，因此：0

ˆ

,

2

2





















x

对y和z坐标的类似等式也成立，因此：

]

ˆ

,

ˆ

[]

ˆ

,

ˆ

[VH

),,(),,()],,(),,([

ˆ

zyxzyxVzyxzyxV

若势能函数是偶函数，即V(-x,-y,-z)=V(x,y,z)，上式变为：

),,(

ˆ

),,(

),,(),,()],,(),,([

ˆ

zyxzyxV

zyxzyxVzyxzyxV









所以：

0]

ˆ

,

ˆ

[V

因此，当势能函数是偶函数时，宇称算符与哈密顿算符可对易。即：

)(,0]

ˆ

,

ˆ

[是偶的VH

此时，哈密顿算符的定态本征函数可选为宇称算符的本征函数。

上述结果可以推广到n粒子情况，因此，当势能V是偶函数时，我们可以选择不是偶的就

是奇的波函数。一个函数不是偶的就是奇的就说它有一定的宇称。

如果能级非简并，则对应每一能级只有一个独立的波函数（选择性唯一），因此，定

态波函数必须有一定的对称性。

如：一维谐振子有V=1/2kx2，为一个偶函数，其波函数有一定的宇称。

如果能级简并，选择性不唯一，取适当的线性组合可以选择具有一定宇称的波函数，

但线性组合中每一函数并不需要都具有一定的宇称。因为对应于简并能级的任一线

性组合是哈密顿的一个本征函数。

宇称有助于计算积分



















0

)()(2)(

)(0)(

为偶函数

为奇函数

fdxxfdxxf

fdxxf

说明

1、可以从奇函数和偶函数的图像来理解，前者是关于原点对称，后者关于y轴对称。

2、被积函数为某几个（而不必须全部）变量的奇函数时，积分仍为0。

原子轨道的宇称

原子轨道都有确定的反演对称性:将轨道每一点的数值及正负号,通过原点延长到反

方向等距离处,轨道或者完全不变,或者形状不变而符号改变。前者称为对称,记作g(偶);

后者称为反对称,记作u(奇)。

这种奇偶性就是宇称(parity)，且与轨道角量子数l的奇偶性一致。

d轨道反演示意图

轨道:spdf

角量子数l:0123

宇称:gugu

宇称对光谱学具有特别重要的意义。

4Schrodinger表象与Heisenberg表象

（1）表象

量子力学中的态和力学量的具体表示方式。微观体系的同一状态用不同的描述方式，就

是状态的不同表象。类似与一个矢量可用直角坐标或球坐标表示。

Schrodinger表象：采用坐标（x，y，z）为自变量的波函数来描述微观粒子的状态，

用算符来表示力学量。这种表示方式也称为坐标表象。

Heisenberg表象：采用动量为自变量的函数来描写状态，并用矩阵力学表示动量与

能量等物理量之间的关系，这种表示被称为Heisenberg矩阵力学，也称为动量表象。

注：两种表象之间有确定的关系，完全等价，描述的是同一个量子态，只不过表示不同。

（2）两种表象的区别

Schrodinger表象中：状态波函数随时间变化，遵守Schrodinger方程，但算符不随

时间变化。

)(

ˆ

)(tHt

t

i







Heisenberg表象中：状态波函数不随时间变化，遵守Heisenberg方程，但算符随时

间变化。

]

ˆ

),(

ˆ

[

1

)(HtA

i

tA

dt

d





（2）两种表象之间的变换

类似与直角坐标和球坐标可以相互转换，坐标表象和动量表象也可以通过Fourier变换相互

变换。

同一量子态在两种表象之间的关系如下：







pedp

ppxdpx

ipx/

2

1











Fourier变换







xedx

xxpdxp

ipx/

2

1











逆变换

4表格

1波粒二象性

一切微观粒子均具有波粒二象性，满足

hE

，



h

P，其中

E

为能

量，



为频率，

P

为动量，



为波长。

1测不准原理微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量，其

可表达为：2/Px

x

，

2/Py

y



，2/Pz

z

，式中



（或

h）是决定何时使用量子力学处理问题的判据。

1算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符，操作符

可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等，简言之，

算符是各种数学运算的集合。

1宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值

＋1和－1。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变

符号，该粒子具有奇宇称(P＝－1)，如果波函数在空间反演下保持不变，

该粒子具有偶宇称(P＝＋1)，简言之，波函数的奇偶性即宇称。

1Pauli不相自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理。它

容原理可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于

相同的单粒子态。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上

的电子具有完全相同的4个量子数n、l、ml、ms，该原理指出在原子中

不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电

子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子。

1全同性原理全同粒子的不可区分性使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引

起物理状态的改变。

1态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样（1）。而干涉和衍射的本质在于

波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射（1）。

因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理

（1）。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状

态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理（2）。

1Dirac符号量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典

力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分

量(Ax,Ay,Az)表示一样。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的

状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以

该方法所使用的符号称为Dirac符号。

1表象体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是

坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方

式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的

一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的

描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相

应的表示为作用于这种函数上的算符。量子力学中态和力学量的具体表

示方式称为表象，各种表象之间可以互相转化。

1全同粒子质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。全同粒子不可区分，

全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的

改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的（玻色子）或反对

称的（费米子），其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对

称（或反对称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。

2定态波函数在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数，此

时，波函数)t,r(



可写成

r



函数和

t

函数的乘积，称为定态波函数。

2隧道效应在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是

不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率

穿过势垒，实际也正是如此，这种现象称为隧道效应。

2输运过程：扩散、热传导、导电、粘滞现象（系统内有宏观相对运动，动量从高速

区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程

2微扰理论在量子力学中求近似解的一种方法，核心是先求解薛定谔方程，再引入

微小附加项来修正

2费米子

由自旋量子数为

2

1

奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对

称的，它们服从费米-迪拉克分布，称为费米子，如电子，质子和中子等

2Hellmann-

Feynman

关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要

数Hellmann-Feynman定理（简称H-F定理）该定理的内容涉及能量

定理本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律（2）。设体系的Hamilton

量H中含有某参量λ，En是H的本征值，ψn是归一的束缚态本征

函数（n为一组量子数），则

nn

n

H

E

















ˆ

（2），H-F定理很

有实用价值，H中的μ,



等都可以选为参数λ（1）。

2塞曼效应氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。该现象在

1896年被Zeeman首先观察到。它分为简单和复杂两种情形，在强磁场

作用下，光谱线的分裂现象为简单塞曼效应。当外磁场较弱，轨道-自旋

相互作用不能忽略时，将产生复杂塞曼效应。

3选择定则

偶极跃迁中角量子数与磁量子数需满足的选择定则为

1l

，

1,0m

3能量均分定

理

处于温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均

值等于kT

2

1

5评级

第0类第一类第二类第三类第四类第五类

1

希尔伯特

空间

波粒二象性微扰理论主量子数选择定则费曼图

2

(厄米)算

符

不确定原理费米子角量子数守恒量QED

3

全同性原

理

薛定谔方程赫尔曼-费

曼定理

磁量子数对易子玻色爱因斯坦

凝聚

4全同粒子宇称量子纠缠径向分布函数隧道效应输运过程

5

量子化泡利不相容

原理

艾伦菲斯特

定理

节面勒让德多

项式

厄密矩阵

6

角动量哈密顿量玻色子电子排斥项海尔曼效

应

阶梯算符

7

波函数态叠加原理球谐函数升降算符拉莫尔进

动

交换算符

8内积狄拉克符号海森堡方程Slater行列式量子涨落

9表象刘维方程多重性量子泡沫

10

塞曼效应费米狄拉克

统计

构造理论

11

波包波色统计Hund第一和第

二规则

12量子数势阱轨函

13自旋势垒Landeg因子

14简并Bohr磁子

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

6汉纳的术语

123456789

1

正

交

保守体系哈密顿算

符

克分

子吸

收率

指数

转动

兼并

度

主量子

数

Born-oppenheimer

近似

离

域

能

偶极-偶

极相互

作用

2

对

易

和

对

易

Lagrange

函数

归一化函

数

跃迁

矩

平均

核间

距

角量子

数

线性变分函数键

序

费米-接

触相互

作用

子

3

复

共

轭

Hamilton

函数

正交性函

数

状态

的集

居数

基频磁量子

数

久期方程电

荷

密

度

超精细

耦合常

数

4

本

征

值

内坐标定态积分

吸收

强度

泛频径向分

布函数

久期行列式自

由

价

指

数

自旋密

度

5

本

征

函

数

折合质量简并轨函偶极

矩

振动

零点

能

节面特征方程共

振

能

Larmor

进动频

率

6

Kronecker

delta

诱导

吸收

的爱

因斯

坦数

Morse

函数

电子排

斥项

基函数组对

称

操

作

抗磁磁

化率

7

对应原理外推

离解

能

升降算

符

库伦积分（MO）恒

等

算

符

化学位

移

8

实测

离解

能

反对称

波函数

共振积分表

示

自旋-自

旋耦合

常数

9

正则

方式

交换算

符

库仑积分（VB）特

征

标

表

Tau标度

10

偶极

矩

Slater行

列式

交换积分跃

迁

的

偏

振

性

质

Delta标

度

11多重性g和uT1

12

构造理

论

Sigam和pai轨函T2

13

Hund第

一和第

二规则

标度因子纵向弛

豫时间

14轨函标度横向弛

豫时间

15

Landeg

因子

Franck-condon原

理

饱和现

象

16

Bohr磁

子

杂化轨函

17Sigma键骨架

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

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37

38

39

7量子力学和玻尔量子论中n,l,m,Ms各代

表什么物理意义

玻尔量子论中只有n,没有后三个,所以它只是个过渡理论.

量子力学在推导原子中电子的运动状况时会出现这四个量子数.

n是主量子数,它对电子能量的影响通常是最大的.它主要就表示电子距离原子核的“平均距

离”的远近,越远,n越大,相应的能量也越大.n等于电子绕核一周所对应的物质波的波数——

绕核一周有n个波长的电子的物质波.

l是轨道量子数,它表示电子绕核运动时角动量的大小,它对电子的能量也有较大的影响.

m是磁量子数,在有外加磁场时,电子的轨道角动量在外磁场的方向上的分量不是连续的,也

是量子化的,这个分量的大小就由m来表示.

ms是自旋量子数,它对应着电子的自旋的角动量的大小和方向,它只有正负1/2这两个数值,

这表示电子自旋的大小是固定不变的,且只有两个方向.

原子中每个电子绕核运动的稳定状态需要用三个量子数n，l和m1来确定。考虑电子的自

旋．电子自旋动量矩在空间的取向，需要用自旋磁量子数ms来确定。所以确定电子在原子

在原子中稳定的运动状态需要用四个量子数n，l，ml，和ms来确定;

n主量子数

l称为角量子数

轨道磁量子数ml，

自旋磁量子数ms

你所写的是m不知有没有少了个1即m1，如果没少的话m指的是例子质量。

希望对你有帮助。

n---主量子数，决定电子层；

l--角量子数，决定电子亚层

m--磁量子数，决定电子亚层及轨道数

ms-自旋量子数--决定电子自旋方向

供参考，有点忘

n——主量子数，决定电子能量高低与离核的平均距离主要因素，你相同的轨道被形象称为

电子层，只能取正整数，n是多少就有几个电子层（主电子层）

l——角量子数，电子亚层，决定轨道形状，取值为0~n-1

m——磁量子数，同一形状的轨道，在空间有不同取向，用m表示，取值为0~±l（最大值）

ms——自旋量子数，描述自旋运动状态，只有两个数，±1/2

电子亚层s、p、d、f等等是受L决定的

主量子数

1定义：主量子数n是用来描述原子中电子出现几率最大区域离核的远近，或者说它是

决定电子层数的。n相同的电子为一个电子层，电子近乎在同样的空间范围内运动，故称主

量子数。主量子数的n的取值为1，2，3...等正整数。例如，n=1代表电子离核的平均距离

最近的一层，即第一电子层；n=2代表电子离核的平均距离比第一层稍远的一层，即第二电

子层。余此类推。可见n愈大电子离核的平均距离愈远。

在光谱学上常用大写拉丁字母K，L，M，N，O，P，Q代表电子层数。

主量子数（n）1234567

电子层符号KLMNOPQ

主量子数n是决定电子能量高低的主要因素。对单电子原子来说，n值愈大，电子的能

量愈高。例如氢原子中电子的能量完全由主量子数n决定：公式见右图；但是对多电子原

子来说，核外电子的能量除了同主量子数n有关以外还同原子轨道（或电子云）的形状有关。

因此，n值愈大，电子的能量愈高这名话，只有在原子轨道（或电子云）的形状相同的条件

下，才是正确的。

2主要作用：用来确定单电子原子的能级和电子与核间的平均距离。

角量子数

角量子数：l

角动量L=√l(l+1)h/2π

角量子数决定电子空间运动的角动量，以及原子轨道或电子云的形状，在多电子原子中

与主量子数n共同决定电子能量高低。对于一定的n值，l可取0，1，2，3，4…n-1等共n

个值，用光谱学上的符号相应表示为s，p，d，f，g等。角量子数l表示电子的亚层或能级。

一个n值可以有多个l值，如n=3表示第三电子层，l值可有0，1，2，分别表示3s，3p，

3d亚层，相应的电子分别称为3s，3p，3d电子。它们的原子轨道和电子云的形状分别为球

形对称，哑铃形和四瓣梅花形，对于多电子原子来说，这三个亚层能量为E3d＞E3p＞E3s，

即n值一定时，l值越大，亚层能级越高。在描述多电子原子系统的能量状态时，需要用n

和l两个量子数。

角量子数l确定原子轨道的形状并在多电子原子中和主量子数一起决定电子的能级。电

子绕核运动，不仅具有一定的能量，而且也有一定的角动量M，它的大小同原子轨道的形

状有密切关系。例如M=0时，即l=0时说明原子中电子运动情况同角度无关，即原子轨道

的轨道是球形对称的；如l=1时，其原子轨道呈哑铃形分布；如l=2时，则呈花瓣形分布。

对于给定的n值，量子力学证明l只能取小于n的正整数：l=0,1,2,3……(n-1)

磁量子数

磁量子数m

同一亚层（l值相同）的几条轨道对原子核的取向不同。磁量子数m是描述原子轨道或

电子云在空间的伸展方向。某种形状的原子轨道，可以在空间取不同方向的伸展方向，从而

得到几个空间取向不同的原子轨道。这是根据线状光谱在磁场中还能发生分裂，显示出微小

的能量差别的现象得出的结果。m取值受角量子数取值限制，对于给定的l值，m=-l，...，

-2，-1，0，+1，+2…+l，共2l+1个值。这些取值意味着在角量子数为l的亚层有2l+1个取

向，而每一个取向相当于一条“原子轨道”。如l=2的d亚层，m=-2，-1，0，+1，+2，共有

5个取值，表示d亚层有5条伸展方向不同的原子轨道，即dxy、dxz、dyz、dx2—y2、dz2。

我们把同一亚层（l相同）伸展方向不同的原子轨道称为等价轨道或简并轨道。

自旋量子数

自旋磁量子数用ms表示.

除了量子力学直接给出的描写原子轨道特征的三个量子数n、l和m之外，还有一个描述轨

道电子特征的量子数，叫做电子的自旋磁量子数ms。原子中电子除了以极高速度在核外空

间运动之外，也还有自旋运动。电子有两种不同方向的自旋，即顺时针方向和逆时针方向的

自旋。它决定了电子自旋角动量在外磁场方向上的分量。ms＝+或-1/2。

通常用向上和向下的箭头来代表，即↑代表正方向自旋电子，↓代表逆方向自旋电子。

自旋量子数是描写电子自旋运动的量子数。是电子运动状态的第四个量子数。1921年，

德国施特恩（OttoStern，1888—1969）和格拉赫（WalterGerlach，1889—1979）在实验中

将碱金属原子束经过一不均匀磁场射到屏幕上时，发现射线束分裂成两束，并向不同方向偏

转。这暗示人们，电子除了有轨道运动外，还有自旋运动，是自旋磁矩顺着或逆着磁场方向

取向的结果。于是1925年荷兰物理学家乌仑贝克（GeorgeUhlenbeck，1900—）和哥希密特

（Goudsmit，1902—1978）提出电子有不依赖于轨道运动的、固有磁矩（即自旋磁矩）的假

设。自旋量子数s≡1/2，它是表征自旋角动量的量子数，相应于轨道角动量量子数。自旋磁

量子数ms才是描述自旋方向的量子数。ms=1/2，表示电子顺着磁场方向取向，用↑表示，

说成逆时针自旋；ms=-1/2表示逆着磁场方向取向，用↓表示，说成顺时针自旋。当两个电

子处于相同自旋状态时叫做自旋平行，用符号↑↑或↓↓表示。当两个电子处于不同自旋状态时，

叫做自旋反平行，用符号↑↓或↓↑表示。

直接从Schrödinger方程得不到第四个量子数——自旋量子数ms，它是根据后来的理论

和实验要求引入的。精密观察强磁场存在下的原子光谱，发现大多数谱线其实由靠得很近的

两条谱线组成。这是因为电子在核外运动，还可以取数值相同，方向相反的两种运动状态，

通常用↑和↓表示。

解这三个最基本的量子力学方程，分别需要设n，m，l这几个待定数，后来人们发现它们有

一定的物理意义，分别是n为粒子所在能级、m是磁量子数、l为角动量量子数.

这就是nml的来源，对么？

三维薛定谔方程需要三个自由度吧...

Old粽(943109694)17:42:17

为什么不去看解氢原子薛定谔方程

nml讲得那么详细

blank(731176792)17:42:52

同问...其实就是分离变量需要加上的常数nml

阡陌客·劫·霜之哀伤(389926270)17:43:56

这个

m是解方程出来的

blank(731176792)17:45:30

那个是角度部分的是球谐函数。。有关l，m

感觉纠结这个干啥(•̀∀•)

氢原子直角坐标下薛定谔方程转换为球坐标的薛定谔方程后，利用分离变量法可以将波函数

分解为空间部分和两个角度部分，解空间部分的薛定谔方程，引入n，其相应本征值是能量，

相应的，分别解两个角度部分的薛定谔方程，要引入l和m;不同的n,l,m与能量，角动量，

角动量z方向上的分量一一对应，然后可以将m,l,n认为就有一定物理意义的量子数;

82*（3+1）线索

物质波

公式

光子-所有物质-电子-其他粒子

薛定谔

方程

分析力学的振动和波在微观世界下的应用

克莱因-

高登方

程方程

相对论量子力学和量子场论中的薛定谔方程的相对论形式，用于描述自旋为零的

粒子的最基本方程

狄拉克

方程

狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方

程。但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。但是负能级的解是成立的，根据

泡利不相容原理，狄拉克认为所有的负能级都已经被电子占据，所以阻止了正能

级电子向负能级跃迁，这就是费米子海，也叫狄拉克之海。

N

L

M

Ms

n=1,2,3,4......

l=0,1,2,......(n-1)

m=-l,....-2,-1,0,1,2,.....l

ms=±½

不对求解薛定谔方程的时候只能得到主角磁也就是nlm.而自旋磁是求不出来的只有

1/2和-1/2

9四个量子数的四种解释

1）在望远镜产业的促进下，人们对光的研究从未停止。在光的双缝干涉测波长的基础上，

不同元素的原子发出固定的谱线，1889年里德伯在巴尔末等人的工作基础上做出归纳，得

到里德伯方程，不过，那时人们还不懂n表示什么。

2）钢铁冶炼等促进了高温测量，在紫外灾难，在波尔茨曼分布律和牛顿微积分的基础上，

1990年普朗克就认为原子内能量的吸收和释放是一份一份的。

3）1913年，波尔在里德公式和普朗克假说的基础上，提出能级说法，得到比较合理的波尔

原子模型。玻尔理论的成功之处在于:它从理论上给出了巴耳末(Balmer)线系，帕邢(Paschen)

线系，并且预言了莱曼(Lyman)线系。利用玻尔-索末菲尔德量子化条件，不仅可以解释氢原

子光谱，而且还可以解释一价碱金属的电子能谱，它表明光谱项的物理实质其实就是能级。

因为比较(1.3.7)及(1.3.8)可见，光谱项与能级成正比。而且，玻尔理论提供了一个防止原子

坍缩的方案，因为它引入了定态的概念。引入能级量子化的概念后，原则上也可以解释经典

比热理论的困难。比方，原子中的束缚态电子之所以对比热没有贡献，是因为原子中束缚态

电子的第一激发态对应的能级与基态能级之间的间距很大，常温下电子作无规则运动的平均

能量不足以使电子跃迁到激发态。电子只能处在基态.因此它的平均能量就等于基态能量，

与温度无关，对比热的贡献为零。电子运动的自由度被冻结。双原子分子的振动比热，也可

以用类似的方法解释。

4）在德布罗意物质波和哈密顿力学的基础上，1923年薛定谔提出薛定谔方程，人们从能量

本证方程的求解（薛定谔方程的定态解）得到数学上的n。

5）为了方便，郎道等人通过无限深方势阱中粒子的能量是量子化的（能级）解释n；

6）1933年，休克尔等化学家在门捷列夫的基础上，把n定义为壳层

个人总结的”n主量子数的由来”，请大家修改下。

1)角动量量子数和光谱（谱线）没关系，角动量量子化条件和经典力学共同推出.经典力

学内角动量是可以取任意连续值会导至热力学上一些吊诡。角动量量化给这些问题完美

的答案。

2)波尔在里德伯的工作基础上，提出了对应原理，量子规律如果是客观规律的话,则它必须

在经典物理成立的条件下与经典规律相一致,这就是对应原理。任何新的规律必须服从对

应原理,对应原理是建立新规律的指导性法则。海森堡正是按照对应原理,在薛定愕之前,

建立了矩阵力学—量子力学。这就是角动量量子化条件:只有满是式的轨道才是

允许的,在此轨道上电子不产生辐射。

3)当薛定谔建立薛定谔方程后，人们通过求解氢原子的的薛定谔方程，得到了l和ms是

分立的。

4)郎道等人再进一步扩大应用范围，通过轨道角动量平方算符的本证方程（球谐函数）的

求解得到l和ml。

5)1933年，休克尔等化学家在门捷列夫的基础上，把l定义为壳层次壳层

个人总结的”l角量子数的由来”，请大家修改下。

1)线状光谱在磁场中还能发生分裂

2)

总角动量是自旋角动量和轨道角动量耦合而成

四个量子数的四种解释

自旋量子数是一种角动量量子数，自旋和角动量拥有相同的对易关系

【研究人士】羽·夕心2017-2-416:21:33

因此，只能说电子的自旋量子数只有两个，按照角动量量子数的规定，s＝1/2，

具体只能取-1/2和1/2，对于其他自旋的粒子，还是按角动量量子数的方式取

自旋的发现，首先出现在碱金属元素的发射光谱课题中。于1924年，沃尔夫冈·泡利首先引

入他称为是「双值量子自由度」(two-valuedquantumdegreeoffreedom)，与最外壳层的电子

有关。这使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即没有两个电子可以在同一时间共享相同

的量子态。

香港大学_沙威_WEISha

@QM老师l绝对值是应该不超过n记得但这些还要推导下氢原子的波函

数才可以清晰物理要结合数学

16:24:10

QM老师2017-2-416:24:10

哦

16:29:28

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:29:28

如果学生学过电磁学和球面波函数

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:29:35

lm是一样的

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:30:02

n不同原因是有个库伦potential

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:30:34

所以电磁是球

Bessel而量子应该不是

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:31:22

spin是电子特有的为了满足pauli不相容原则但光子也有spin对应

极化

16:33:25

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:33:25

轨道角动量和spin都可以写成算符形式是类比的对光和电子轨道

oam算符一致对spin两者pauli矩阵不同

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:33:44

如果給博士生讲可以深入本科就算了

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:34:12

@QM老师

16:36:12

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:36:12

轨道和自旋可以耦合这些很复杂我也不是很懂最后自旋算子性质是类比

轨道猜出来的吻合实验

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:37:10

对易关系是最重要的从dirac观点看

香港大学_沙威_WEISh2017-2-416:37:33

对ls算符

1）发现不是一条谱线，而是三条谱线

2）轨道角动量平方算符的本证方程的求解

3）轨道磁矩与z轴的“夹角”只能取2l+1个值。

4）角动量空间取向的量子化

5）能移

个人总结的”ml轨道磁量子数的由来”，请大家修改下。

1）精密观察强磁场存在下的原子光谱，发现大多数谱线其实由靠得很近的两条谱线组成。

这是因为电子在核外运动，还可以取数值相同，方向相反的两种运动状态，通常用↑和

↓表示。

2）直接从Schrödinger方程得不到第四个量子数——自旋量子数ms，它是根据后来的理论

和实验要求引入的。

自旋方向只有两种

自旋（名不属实，只因是角动量量纲）

谱线分裂成两条

3）

个人总结的”ms自旋磁量子数的由来”，请大家修改下。

10量子化的过程

能量

角动量的空间取向

自旋

总角动量

轨道角动量的平方

自旋角动量的平方

电荷

电子磁矩

原子磁矩

核自旋

核磁矩

请问，除了能量、角动量的空间取向、自旋之外，还有哪些是量子化的呢？

原子的量子理论内容提要

1、氢原子光谱谱线系公式

实验表明,氢原子光谱的波数（波长的倒数）满足下面的公式：

2、波尔的三个假设

（1）定态假设：电子在原子核库仑引力作用下,按经典力学规律,沿圆形轨道运动,且不向外

辐射电磁波,因而原子处于稳定状态（定态）,其能量（称能级）保持不变.

（2）频率条件:当原子由高能级的定态跃迁至低能级的定态要发射光子,反之要吸收光子.即

光子频率满足下面的条件：

（3）电子绕核轨道角动量L的量子化条件

式中n=1,2,3,……,上式说明电子只能在某些特定的分立轨道上运动.

3、玻尔氢原子定态能级公式：

,

玻尔氢原子电子轨道公式：,

（3）电离能：,电子距原子核无穷远,称为原子的电离,使原子电离所需的能量称为电离能（结

合能）

基态氢原子的电离能为

（4）跃迁辐射：当电子获得能量后,由低能级向高能级跃迁,则原子处于激发态.而基态是氢

原子最稳定的状态,处于激发态的原子将辐射多余的能量回到基态,也可先回到内层任意一个

态（中间激发态）,最后回到基态.

4、波函数

描写微观粒子运动状态的函数称为波函数.

对于在一维空间运动的粒子,用表示波函数.

（1）波函数振幅的平方描写粒子出现于空间某处的概率密度,概率密度P(x,t)是t时刻在坐标

x附近单位长度间隔内找到粒子的概率.即

（2）波函数的归一化条件

在dx内找到粒子的概率:

整个空间找到粒子的概率为1,即

（3）波函数的标准条件：必须是单值、连续、有限的函数.

5、一维定态薛定谔方程

（1）定态波函数

如果粒子势能U与时间t无关,则粒子的总能量E（动能与势能之和）也与时间无关,称粒子

处于定态

此时

其中称定态波函数.

（2）一维定态薛定谔方程

粒子在势场中运动,其定态波函数满足下面的方程：

①根据的具体形式解上面的微分方程,再加上波函数的标准条件,归一化条件,就可以解出

②对于某个势场,一般只有一些特定E的值才有解,使薛定谔方程有解的E值称为本征能量,

对应的波函数称为本征函数.

6、一维无限深势阱

势能函数

解薛定谔方程得,本征能量（粒子的能量）必须满足的条件为：

本征函数为：

粒子的概率密度分布为：

也可根据驻波观点说明能量量子化：

一维无限深势阱宽度

,

11量子化的过程-2

量子力学认为,氢原子中电子的能量、轨道角动量及其空间取向、自旋角动量及其空间取向

都是量子化的.

（1）能量量

子化

在求解薛定谔方程时,为了使氢原子的波函数满足标准条件,氢原子的能量必

须满足量子化条件：,式中称为主量子数

（2）轨道角

动量量子化

在量子力学中,用空间概率分布描写粒子的状态,因而氢原子中电子没有轨道

的概念,但电子轨道角动量的概念还是有的,电子轨道角动量L必须满足下面

的量子化条件：

（3）轨道角

动量空间量

子化

轨道角动量在外磁场方向（z轴）的分量应满足下面空间量子化条件：m称

为磁量子数

（4）自旋角

动量量子化

施忒恩和盖拉赫发现处于基态的银原子射线通过不均匀磁场后分裂为两条.

为了解释这种现象,乌仑贝克和高斯米特认为,电子有绕自身轴线自旋的运

动,相应的电子自旋角动量S也是量子化的：s称为自旋量子数

（5）自旋角

动量空间量

子化

自旋角动量在外磁场方向的投影为：ms称为自旋磁量子数

8、描述多电子原子中电子运动状态的四个量子数：

主量子数n决定原子的总能量

（相应主壳层符号：

角量子数l决定原子中电子轨道角动量的大小,对能量也有一定影响.

（相应次壳层符号：）

磁量子数决定原子中电子轨道角动量在外磁场方向的投影值,

自旋磁量子数决定自旋角动量在外磁场方向的投影值.

（原子中电子运动状态一定,这四个量子数具有确定值.）

9、泡利不相容原理：原子中的每一个状态（n,l,,）只能容纳一个电子.

一个次壳层可以容纳的最多电子数：

一个主壳层可以容纳的最多电子数：

10、根据能量最小原理,原子中电子壳层填充顺序为：

原子的电子组态:

所有东西都是量子化的..

上帝的花2017/1/2319:45:26

除了时空本身

物理定律

12波函数的分类

分类依据种类备注

时间定态波函数不含时，类似谐振子

非定态波函数含时

种类光子

电子

其他粒子

纬度一维

二维

三维

0维一个点？谐振子？

数量单体波函数单个粒子

多体波函数2个及以上的粒子

表象坐标表象仿照经典力学的表征

动量表象不确定关系带来的表征

归一归一波函数束缚态

非归一波函数散射的话，需要放宽边界条件，亦可归一。

其他情况，很难归一

干涉可干涉波函数与别的波是相干波

不可干涉波函数与别的波不是相干波

形式向量式（复数）态矢

三角式

量子点

日月星2017-2-1510:18:42

团簇

日月星2017-2-1510:18:47

都是零维

夜海蓝

归纳就是找规律，按照何种规则来分类也是有讲究的，你要么按照粒子有无质量来分类，那

么就应该是无质量的：光子，胶子，和有质量的：其他粒子，或者是按照粒子振幅频率来分

类，那就应该只是，光子频率分布无限，其他粒子频率分布有限

或者你就应该按照标准模型的分类方法：费米子，波色子

但建议你把中微子单列出来

维度方面我建议你还是不要写了吧，因为没有意义

宇宙里任何物质都是全维度的。所谓的全维度就是包括所有维度。因为宇宙里并

不存在单纯的某一个维度，而是所有维度不分先后同时存在。

维度的话题弦理论为了自洽已经发展到了11维度，虽然数学逻辑上自洽，但你

不能理解，又无法实际验证，所以讨论没有意义

医学爱好者2017-2-1510:01:55

相对论有11维，量子论还是3维吧，相对论量子力学顶多4维吧

?

另外，低维度生命和高维度生命这个假想本身就不成立，因为所有生命的构成都

需要原子，而原子本身就是全维度的，所以所有生命本身生来就是全维度的，差

别只是有没有意识到自己有多少个维度的问题，比如一个蚂蚁压根就不知道维度

的概念，而人类正在思考宇宙到底有多少个维度：目前进展到11维度。

所以下次你们看到这个描述的时候就知道这个想法本身就是错的：

一个二维的蚂蚁永远不会用三维的方法逃出生天

10:09:21

夜海2017-2-1510:09:21

另外，时间不是维度

谐振子也可以是含时的，非定态

13量子力学中的怪名词

久期方程，借用天文的久期方程而已。

简

并

简并是指被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细物理状态。比如，原

子中的电子，由其能量确定的同一能级状态，可以有两种不同自旋量子数的状态。简

并就是一个能级对应于一个能量本征值;非简并就是一个能级对应于多个能量本征

值。

算

符

运算的缩写符号

对

易

不能通过中文去理解，数学上的意义

厄

米

哈密顿算符，现在改为线性自共轭的性质

表

象

用什么自变量表示波函数，波函数只是一个外表而已

自

旋

幺

正

正

则

14概念是很重要的，量子力学（个人认为）

最重要的概念

重要性

层次1234567

第1阶段波粒二象性物质波波函数算符对应原理概率幅

第2阶段希尔伯特空

间

本证值本征函

数

勒让德方

程

勒让德函

数

厄密算

符

对易

子

第3阶段自旋不确定关

系

宇称简并表象全同

第4阶段

第5阶段

第6阶段

第7阶段

第8阶段

第9阶段

第10阶

段

15对易

关于算符对易的关系

1）若两算符对易，它们有组成完全系的共同本征态；若不对易，它们之间有不确定关系；

2）独立的算符一定是相互对易的，L和S是可对易的；

3）坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此

导出；

4）如果一组算符有共同的本征函数完备系

n

，则这组算符对易；

5）一组相互对易而又相互独立的力学量算符，如果它们的共同的本征函数是非简并的，即

这组本征值完全确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。

6）两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值,或者说，它们不能有共同本征函

数。

7）平均值不随时间变化的力学量，称为运动恒量。或：满足0],[



HF的不显含时间的力

学量F为体系的运动恒量。所以量子力学中的守恒定律和经典力学的守恒定律不同。经

典力学的守恒定律要求力学量是固定的。

8）守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：（1）其平均值不随时间而变

化；（2）其概率分布不随时间而变化。

9）

























定宇称得出另一态，称其无确

的态，称寄宇称的本征值对应

的态，称偶宇称的本征值对应







1P),(

1P.),(

),(),(tr

tr

trtrP







10）若体系哈密顿量具有空间反演不变性)()(rHrH







则



PHHP即

0],[



HP，亦即P是一个守恒量，或者说H描写的系统的宇称是不变的，称为宇称

守恒定律。

11）对同一物理态可以同时测量的两个物理量之间是对易的。所以独立必对易。自己和自

己比对易。

12）

13）角动量算符、自旋角动量、总角动量的对易关系都是一样的，即算符与自身不对易

(J*J=ihJ)，算符的平方和其他三个分量都对易([J^2,Jx]=0)；

14）[L^2,L]=0，[S^2,S]

15）J=L+S,J^2=(L+S)^2=L^2+S^2+2LS

（7.4.10）、（7.4.11）这么写是特定的约定，

即表明，此时坐标选用了球坐标（z，sita，

fai），故没有x和y。再写[Jx,J1^2]=0或

[Jy,J1^2]=0就错了。

换句话说，用J^2算符可以求出角动量大小，但是我们不知

道角动量方向，所以我们需要Jz来确定，然后我们不能确

定JxJy了，因为不确定性原理