运算能力
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2023年2月27日发(作者：一般过去时的标志词)新课标对学⽣运算能⼒的要求
新课标对学⽣运算能⼒的要求
1.四则运算的产⽣和意义。
在说混合运算之前先来说说四则运算的产⽣，只有真正理解了四则运算的意义和四则运算之间的关系，才能为学习四则混合运
算打好基础，也就更能明⽩混合运算顺序的顺序为什么是先乘除后加减了。加法是四则运算的基础(加法定义），乘法由加法
引⼊（乘法定义），减法和除法分别以加法和乘法为基础，这样的顺序是符合数学本⾝发展规律的，⾃然数是从计数中抽象出
来的，当有两组事物需要合并计数时，最基本的也是⼉童最易接受的⽅法是连续地计数。所以加法与认数教学的联系极为密
切，四则运算从加法开始，也符合⼉童认知规律。引⼊加法后，就应尽早出现它的逆运算，是学⽣在⽐较中加深理解加减法的
含义，当计算若⼲个相同数连加时，如果仍采⽤加法运算就显得繁琐，势必要寻找简便⽅法，这是在引进乘法就很⾃然。因
此，较难掌握的除法运算就留在最后出现。当学⽣的认数范围不断扩⼤，并由整数扩展到了⼩数、分数时，四则运算仍按照
加、减、乘、除的次序循环出现，螺旋上升。所以在认数阶段开始，就让学⽣初步建⽴正确的加法概念，是⼗分重要的。
其实，四则运算的意义实际上就是“数”的运算，⽐如在⼀个数轴上，加法就是依次向后数，如，3＋5，就是在3的基础是向
后数5个，得到的就是8。⽽减法也是数出来的，如，8－5，就是在8处，向左数出5个，得到的就是3。乘法和除法也
是数出来的，只是这两种数的⽅法不是单个数的，⽽是群数，如5×3，就是5个5个的数，数3次，得到15。15÷3，也
是数数⾥⾯有⼏个3。
2.混合运算顺序中“先加减后乘除”的理由
在我们的教学中，不少⽼师询问为什么先乘除，后加减呢，这样规定的理由是什么？在数学中，任何⼀种规定都是有理由的。
在整数四则运算中，同级运算按照从左到右的顺序进⾏计算。这样规定主要是为运算⽅便。然⽽在整数四则混合运算中，规定
先进⾏乘除运算，再进⾏加减运算，这个理由有三条。
（1）是整数四则运算的必然规律。根据刚才的四则运算的意义，乘法是相同加数的连加的简便运算，除法还可以⽤减法实
施，如18÷6商3，就是从18中连续减去6结果等于0的次数。从这个意义上讲，除法⼜是相同减数连减的简便运算。根据
整数四则运算的这种内在联系，在实际运算中应该先进⾏乘除运算后进⾏加减运算。
（2）是适应部分问题解答的要求。解决问题最终要列出综合算式，进⽽计算求解。那么⽤乘号或除号连接的⼏个数往往不同
于它们各⾃原来的含义。所以必须先求出它们的结果，才能继续进⾏运算。如：买3⽀⾃动笔，每⽀2元；
4个练习本，每本1元。⼀共多少元？显然综合算式是3×2＋4×1。两个乘号连接的是各⾃花的钱数，含义不同于原来各⾃
的含义，只有先求出它们的结果，才能求出总共多少元。
（3）是多位数乘除法运算的需要。在多位数乘除运算中，⼈们熟知都是先进⾏乘法运算，在进⾏加法运算，这样反复多次才
能得出运算结果。如：竖式12×34，就是先算12×4，再算12×30，最后算出两个积的和。先算乘法后算加法。
综上所述，在整数四则运算中，规定先进⾏乘除运算，后进⾏加减运算是必然的，也是合情合理的。
3.括号的产⽣和作⽤
在学会初步的四则运算之后，开始学习带有括号的混合运算，括号也是⽤来规定运算次序的符号。
最早出现的括号是⼩括号“（）”，于1544年出现。直⾄17世纪，中括号“[]”才出现于英国⽡⾥斯﹝1616─1703﹞的著作
中，⾄于括线则由1591年韦达﹝1540─1603﹞⾸先采⽤，⽽⼤括号“{}”则约在1593年由韦达⾸先引⼊，主要⽤来表⽰⼀个
数的集合；⾄1629年，荷兰的基拉德采⽤了全部括号，18世纪后开始在世界通⽤。
随着数学学习的深⼊，所有的括号都可以⽤“（）”代替，这样看起来⽅便，⼜可以避免造成括号样式过多的情况。
在初等数论中，⼩括号⽤来表⽰最⼤公约数，如（111,148）=37；中括号⽤来表⽰最⼩公倍数，如[12，18]＝36。
4.课标中对“运算能⼒”的要求。
《数学课程标准》（2011版）上这样描述：“运算能⼒主要是指能够根据法则和运算律正确进⾏运算的能⼒。培养运算能⼒有
助于学⽣理解运算算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。“运算能⼒”是2011年版⼩学数学课程标准中的⼗个核⼼概念之
⼀，相对于实验版课程标准，它是在2011版课标中新增的⼀个核⼼概念。
在《数学课程标准》（2011版）中的要求是：第⼀学段理解万以内的数，初步认识⼩数和分数，初步学习整数的四则运算，
以及简单的分数和⼩数的加减运算。第⼆学段认识万以上的数，进⼀步学习整数的四则运算（包括混合运算），⼩数和分数的
四则运算（包括混合运算），了解并初步应⽤运算律。⽆论是学习和掌握数与式的运算，还是解⽅程等运算，⼀开始总是和具
体事务相联系的，之后逐步脱离具体事物，抽象成数与式的运算。运算思维的抽象程度，是运算能⼒的主要特征之⼀。
“混合运算”是学⽣在学习了加减乘除四则运算基础上必须掌握的⼀种⽐较
综合的运算技能。学习整数上的运算⾸先要使学⽣理解算理，把握四则运算的本质，强调让学⽣理解四则运算并了解它们之间
的关系。对于运算的难度和熟练程度，《课标》针对不同的内容作出了明确的要求。限制运算的步骤是为了控制繁
杂的问题，四则运算的多步计算会出很繁杂的问题，对于每⼀步骤的计算学⽣可能都会做，但在若⼲步骤计算中，如果有⼀个
地⽅出错，就会导致整个结果出错。在有了计算器之后，⼈们在现实⽣活中遇到繁杂的问题时，可以选择⽤计算⼯具，⽽没有
必要把⽤⼤量的时间⽤于复杂的运算。⽽对于这种运算，稍不留意就会在某⼀个环节出错，也会导致学⽣失去学习数学的信
⼼。
应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算⽅法，准确地得到运算结果，⽐运算的熟练程度更重要。应当重视学⽣是
否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，⽽不是单纯地看运算的速度。