椭圆弦长公式
-
2023年2月26日发(作者：rit音乐术语)椭圆的焦点弦长公式
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：
若椭圆的焦点弦FiF2所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短
2ab2
~222
accos
上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距FJF2
4J2，过椭圆的焦点Fj作一直线交椭
圆于P、Q两点，设PF
1
X（0
长？
），当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴
PQ是椭圆的焦点弦，且a4，c2..2，从而b22，故由焦
厂譬—及题设可得：
24
（
2
•斗42，解得
accos168cos
222accos—
3
cos22，即arccos.22或arccos.22。
例2、在直角坐标系中,
线|通过点F，且倾斜角为
已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为丫轴，直
—，又直线|被椭圆E截得的线段的长度为
16
，求椭圆
35
E的方
程。
分析：由题意可设椭圆
E的方程为（Xc3）(y
2
1)
1，又椭圆
b2
E相应于F的准线为丫
轴，故有
a2
（1），又由焦点弦长公式有
2ab216
(2)又
a2b2
(3)
。解由
（1）、
2
（2）、（3）联列的方程组得：a2
4，b2
从而所求椭圆
E的方程为
(x4)2(y1)2
FiF2
2
2
a
b
2及其应用
accos
分析：由题意可知
点弦长公式F
1
F
2
半轴长和焦半距，则有
例3、已知椭圆C:
2x
~2a
b2
1（ab0），直线h：-丄1被椭圆
ab
长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的
圆C的方
程。
22
分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有ab8，
由焦点弦长公式得
2ab2
~222
accos
4a
5
（2）因tan=、.3，得一
3
b2
2
（4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：
a6
C截得的弦
2
，求椭
5
（1）
又
（3）
，b22，
22
从而所求椭圆E的方程为—匚1
62