余弦定理公式

余弦定理公式

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余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定，是勾股定理在一般

三角形情形下的推广。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类

已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适

当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的两倍积，若三边为a，b，c三角为A，B，C，则满足性质——

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosA

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosB

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosC

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosA=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）

第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA。

平面向量证法

∵有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

（以上粗体字符表示向量）

又∵cos(π-θ)=-Cosθ

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

即cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将cosC移到左边表示一

下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的

边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC²=AD²+DC²

b²=(sinB*c)²+(a-cosB*c)²b²=(sinB*c)²+a²-2ac*cosB+(cosB)2*c²

b²=(sinB²+cosB²)*c2-2ac*cosB+a²

b²=c²+a2-2ac*cosB

cosB=(c²+a²-b²)/2ac

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，

c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大

于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)

三当a

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cosA=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角

和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。