成都盐道街中学
-
2023年2月21日发(作者：)2020-2021
学年四川省成都市锦江区盐道街中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题（共
12
小题）
.
1
．抛物线
x2＝
4y
的焦点坐标为（）
A
．（﹣
1
，
0
）
B
．（
1
，
0
）
C
．（
0
，﹣
1
）
D
．（
0
，
1
）
2
．已知命题
p
：∀
x
∈
R
，
x2+2
＞
2x
，则它的否定是（）
A
．∀
x
∈
R
，
x2+2
＜
2xB
．∃
x
0∈
R
x
0
2+2
≤
2x
0
C
．∃
x
0∈
R
X
0
2+2
＜
2x
0
D
．∀
x
∈
R
x2+2
≤
2x
3
．已知条件
p
：
x2＞
9
，条件
q
：
x
＞
3
，则
p
是
q
的（）
A
．充要条件
B
．充分不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分又不必要
4
．直线
3x+4y
﹣
3
＝
0
与直线
6x+my+14
＝
0
平行，则它们的距离为（）
A
．
B
．
2C
．
D
．
8
5
．已知圆
C
：
x2+y2﹣
6x+8
＝
0
，由直线
y
＝
x
﹣
1
上一点向圆引切线，则切线长的最小值为
（）
A
．
1B
．
2C
．
D
．
6
．已知抛物线的顶点为原点，焦点在
y
轴上，抛物线上点
M
（
m
，
2
）到焦点的距离为
4
，
则
m
的值为（）
A
．﹣
4B
．
4C
．
4
或﹣
4D
．
2
或﹣
2
7
．已知△
ABC
的周长为
20
，且顶点
B
（
0
，﹣
4
），
C
（
0
，
4
），则顶点
A
的轨迹方程是（）
A
．（
x
≠
0
）
B
．（
x
≠
0
）
C
．（
x
≠
0
）
D
．（
x
≠
0
）
8
．数学家欧拉
1765
年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、
垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△
ABC
的顶点
A
（
2
，
0
），
B
（
0
，
4
），若其欧拉线的方程为
x
﹣
y+2
＝
0
，则顶点
C
的坐标是（）
A
．（﹣
4
，
0
）
B
．（
0
，﹣
4
）
C
．（
4
，
0
）
D
．（
4
，
0
）或（﹣
4
，
0
）
9
．若双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线被圆（
x
﹣
2
）2+y2＝
4
所截得的
弦长为
2
，则
C
的离心率为（）
A
．
2B
．
C
．
D
．
10
．已知椭圆
E
：
+
＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的右焦点为
F
，短轴的一个端点为
M
，直线
l
：
3x
﹣
4y
＝
0
交椭圆
E
于
A
，
B
两点，若
|AF|+|BF|
＝
4
，点
M
到直线
l
的距离不小于，则椭
圆
E
的离心率的取值范围是（）
A
．（
0
，
]B
．（
0
，
]C
．
[
，
1
）
D
．
[
，
1
）
11
．已知
P
为双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）上一点，
F
1，
F
2为双曲线
C
的左、右
焦点，若
|PF
1
|
＝
|F
1
F
2
|
，且直线
PF
2与以
C
的实轴为直径的圆相切，则
C
的渐近线方程为
（）
A
．
B
．
C
．
D
．
12
．已知
F
1，
F
2是椭圆与双曲线的公共焦点，
P
是它们的一个公共点，且
|PF
1
|
＞
|PF
2
|
，线
段
PF
1的垂直平分线过
F
2，若椭圆的离心率为
e
1，双曲线的离心率为
e
2，则的
最小值为（）
A
．
B
．
3C
．
6D
．
二、填空题
13
．若直线
ax+2y+1
＝
0
与直线
x+
（
a
﹣
1
）
y+a
＝
0
互相垂直，则
a
＝．
14
．若双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的离心率为，则的值为．
15
．已知椭圆的方程为，
F
1，
F
2分别是椭圆的左、右焦点，
A
点的坐标为（
2
，
1
），
P
为椭圆上一点，则
|PA|+|PF
2
|
的最大值是．
16
．已知椭圆上存在相异两点关于直线
y
＝
x+t
对称，则实数
t
的取值范围
是．
三、解答题
17
．在△
ABC
中，
BC
边上的高所在的直线的方程为
x
﹣
2y+1
＝
0
，∠
A
的平分线所在直线的
方程为
y
＝
0
，若点
B
的坐标为（
1
，
2
）．
（
1
）求点
A
的坐标；
（
2
）求直线
BC
的方程；
（
3
）求点
C
的坐标．
18
．已知
p
：方程
x2﹣
mx+1
＝
0
有实数解，
q
：
x2﹣
2x+m
＞
0
对任意
x
∈
R
恒成立，若命题
p
∨
q
真、￢
p
真，求实数
m
的取值范围．
19
．过原点
O
的圆
C
，与
x
轴相交于点
A
（
4
，
0
），与
y
轴相交于点
B
（
0
，
2
）．
（
1
）求圆
C
的标准方程；
（
2
）直线
l
过
B
点与圆
C
相切，求直线
l
的方程，并化为一般式．
20
．已知抛物线
y2＝
2px
（
p
＞
0
）的准线方程为
x
＝﹣
1
．
（Ⅰ）求
p
的值；
（Ⅱ）直线
l
：
y
＝
x
﹣
1
交抛物线于
A
、
B
两点，求弦长
|AB|
．
21
．设椭圆的左焦点为
F
1，离心率为，过点
F
1且与
x
轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（
1
）求椭圆的方程；
（
2
）设
P
（
1
，
1
），过
P
的直线
l
交椭圆于
A
，
B
两点，当
P
为
AB
中点时，求直线
l
的方程．
22
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
1，
A
2，左、右焦点分别为
F
1，
F
2，离心率为，点
B
（
4
，
0
），
F
2为线段
A
1
B
的中点．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）若过点
B
且斜率不为
0
的直线
l
与椭圆
C
的交于
M
，
N
两点，已知直线
A
1
M
与
A
2
N
相交于点
G
，试判断点
G
是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说
明理由．
参考答案
一、单选题
1
．抛物线
x2＝
4y
的焦点坐标为（）
A
．（﹣
1
，
0
）
B
．（
1
，
0
）
C
．（
0
，﹣
1
）
D
．（
0
，
1
）
解：因为抛物线
x2＝
4y
，所以
p
＝
2
，
所以抛物线
x2＝
4y
的焦点坐标为（
0
，
1
）．
故选：
D
．
2
．已知命题
p
：∀
x
∈
R
，
x2+2
＞
2x
，则它的否定是（）
A
．∀
x
∈
R
，
x2+2
＜
2xB
．∃
x
0∈
R
x
0
2+2
≤
2x
0
C
．∃
x
0∈
R
X
0
2+2
＜
2x
0
D
．∀
x
∈
R
x2+2
≤
2x
解：∵命题
p
是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题可知，命题的否定是：
∃
x
0∈
R
x
0
2+2
≤
2x
0，
故选：
B
．
3
．已知条件
p
：
x2＞
9
，条件
q
：
x
＞
3
，则
p
是
q
的（）
A
．充要条件
B
．充分不必要条件
C
．必要不充分条件
D
．既不充分又不必要
解：
x2＞
9
⇔
x
＞
3
，或
x
＜﹣
3
．
∴
p
是
q
的必要不充分条件，
故选：
C
．
4
．直线
3x+4y
﹣
3
＝
0
与直线
6x+my+14
＝
0
平行，则它们的距离为（）
A
．
B
．
2C
．
D
．
8
解：直线
3x+4y
﹣
3
＝
0
与直线
6x+my+14
＝
0
平行，
∴﹣＝﹣，解得
m
＝
8
．
∴直线
6x+8y+14
＝
0
化为：
3x+4y+7
＝
0
．
∴它们的距离＝＝
2
．
故选：
B
．
5
．已知圆
C
：
x2+y2﹣
6x+8
＝
0
，由直线
y
＝
x
﹣
1
上一点向圆引切线，则切线长的最小值为
（）
A
．
1B
．
2C
．
D
．
解：由圆
C
：
x2+y2﹣
6x+8
＝
0
，得（
x
﹣
3
）2+y2＝
1
．
∴圆
C
的圆心坐标为（
3
，
0
），半径为
1
．
如图，
圆心（
3
，
0
）到直线
x
﹣
y
﹣
1
＝
0
的距离
d
＝，
∵圆的半径为定值
1
．
∴由直线
y
＝
x
﹣
1
上一点向圆引切线，则切线长的最小值为．
故选：
A
．
6
．已知抛物线的顶点为原点，焦点在
y
轴上，抛物线上点
M
（
m
，
2
）到焦点的距离为
4
，
则
m
的值为（）
A
．﹣
4B
．
4C
．
4
或﹣
4D
．
2
或﹣
2
解：由题意设抛物线的方程为
x2＝
2py
，（
p
＞
0
），
则可得准线方程为
y
＝﹣，
由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离及题意可得：
2+
＝
4
，
解得
p
＝
4
，
所以抛物线的方程为：
x2＝
8y
，
将
M
的坐标代入可得：
m2＝
8
×
2
，解得
m
＝±
4
，
故选：
C
．
7
．已知△
ABC
的周长为
20
，且顶点
B
（
0
，﹣
4
），
C
（
0
，
4
），则顶点
A
的轨迹方程是（）
A
．（
x
≠
0
）
B
．（
x
≠
0
）
C
．（
x
≠
0
）
D
．（
x
≠
0
）
解：∵△
ABC
的周长为
20
，顶点
B
（
0
，﹣
4
），
C
（
0
，
4
），
∴
BC
＝
8
，
AB+AC
＝
20
﹣
8
＝
12
，
∵
12
＞
8
∴点
A
到两个定点的距离之和等于定值，
∴点
A
的轨迹是椭圆，
∵
a
＝
6
，
c
＝
4
∴
b2＝
20
，
∴椭圆的方程是
故选：
B
．
8
．数学家欧拉
1765
年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、
垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△
ABC
的顶点
A
（
2
，
0
），
B
（
0
，
4
），若其欧拉线的方程为
x
﹣
y+2
＝
0
，则顶点
C
的坐标是（）
A
．（﹣
4
，
0
）
B
．（
0
，﹣
4
）
C
．（
4
，
0
）
D
．（
4
，
0
）或（﹣
4
，
0
）
解：设
C
（
m
，
n
），由重心坐标公式得，
三角形
ABC
的重心为（），
代入欧拉线方程得：，
整理得：
m
﹣
n+4
＝
0
①
AB
的中点为（
1
，
2
），，
AB
的中垂线方程为
y
﹣
2
＝（
x
﹣
1
），即
x
﹣
2y+3
＝
0
．
联立，解得．
∴△
ABC
的外心为（﹣
1
，
1
）．
则（
m+1
）2+
（
n
﹣
1
）2＝
32+12＝
10
，
整理得：
m2+n2+2m
﹣
2n
＝
8
②
联立①②得：
m
＝﹣
4
，
n
＝
0
或
m
＝
0
，
n
＝
4
．
当
m
＝
0
，
n
＝
4
时
B
，
C
重合，舍去．
∴顶点
C
的坐标是（﹣
4
，
0
）．
故选：
A
．
9
．若双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线被圆（
x
﹣
2
）2+y2＝
4
所截得的
弦长为
2
，则
C
的离心率为（）
A
．
2B
．
C
．
D
．
解：双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线不妨为：
bx+ay
＝
0
，
圆（
x
﹣
2
）2+y2＝
4
的圆心（
2
，
0
），半径为：
2
，
双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线被圆（
x
﹣
2
）2+y2＝
4
所截得的弦
长为
2
，
可得圆心到直线的距离为：＝，
解得：，可得
e2＝
4
，即
e
＝
2
．
故选：
A
．
10
．已知椭圆
E
：
+
＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的右焦点为
F
，短轴的一个端点为
M
，直线
l
：
3x
﹣
4y
＝
0
交椭圆
E
于
A
，
B
两点，若
|AF|+|BF|
＝
4
，点
M
到直线
l
的距离不小于，则椭
圆
E
的离心率的取值范围是（）
A
．（
0
，
]B
．（
0
，
]C
．
[
，
1
）
D
．
[
，
1
）
解：如图所示，设
F
′为椭圆的左焦点，连接
AF
′，
BF
′，则四边形
AFBF
′是平行四
边形，
∴
4
＝
|AF|+|BF|
＝
|AF
′
|+|AF|
＝
2a
，∴
a
＝
2
．
取
M
（
0
，
b
），∵点
M
到直线
l
的距离不小于，∴，解得
b
≥
1
．
∴
e
＝＝≤＝．
∴椭圆
E
的离心率的取值范围是．
故选：
A
．
11
．已知
P
为双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）上一点，
F
1，
F
2为双曲线
C
的左、右
焦点，若
|PF
1
|
＝
|F
1
F
2
|
，且直线
PF
2与以
C
的实轴为直径的圆相切，则
C
的渐近线方程为
（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：设直线
PF
2与圆
x2+y2＝
a2相切于点
M
，
则
|OM|
＝
a
，
OM
⊥
PF
2，
取
PF
2的中点
N
，连接
NF
2，
由于
|PF
1
|
＝
|F
1
F
2
|
＝
2c
，则
NF
1⊥
PF
2，
|NP|
＝
|NF
2
|
，
由
|NF
1
|
＝
2|OM|
＝
2a
，
则
|NP|
＝＝
2b
，
即有
|PF
2
|
＝
4b
，
由双曲线的定义可得
|PF
2
|
﹣
|PF
1
|
＝
2a
，
即
4b
﹣
2c
＝
2a
，即
2b
＝
c+a
，
4b2﹣
4ab+a2＝
b2+a2，
4
（
c
﹣
a
）＝
c+a
，即
3b
＝
4a
，
则＝．
则
C
的渐近线方程为：．
故选：
A
．
12
．已知
F
1，
F
2是椭圆与双曲线的公共焦点，
P
是它们的一个公共点，且
|PF
1
|
＞
|PF
2
|
，线
段
PF
1的垂直平分线过
F
2，若椭圆的离心率为
e
1，双曲线的离心率为
e
2，则的
最小值为（）
A
．
B
．
3C
．
6D
．
解：由题意可知：
F
1
F
2＝
F
2
P
＝
2c
，
又∵
F
1
P+F
2
P
＝
2a
1，
F
1
P
﹣
F
2
P
＝
2a
2，
∴
F
1
P+2c
＝
2a
1，
F
1
P
﹣
2c
＝
2a
2，
两式相减，可得：
a
1﹣
a
2＝
2c
，
∵＝＝，
∴＝＝＝
4+2+
，
∵
2+
≥
2
＝
2
，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为
6
，
故选：
C
．
二、填空题
13
．若直线
ax+2y+1
＝
0
与直线
x+
（
a
﹣
1
）
y+a
＝
0
互相垂直，则
a
＝．
解：直线
ax+2y+1
＝
0
与直线
x+
（
a
﹣
1
）
y+a
＝
0
垂直，
∴
a
×
1+2
（
a
﹣
1
）＝
0
，
解得
a
＝；
故答案为：．
14
．若双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的离心率为，则的值为
3
．
解：双曲线
C
：（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的离心率为，
可得
e
＝＝，可得
a2+b2＝
10a2，可得＝
3
．
故答案为：
3
．
15
．已知椭圆的方程为，
F
1，
F
2分别是椭圆的左、右焦点，
A
点的坐标为（
2
，
1
），
P
为椭圆上一点，则
|PA|+|PF
2
|
的最大值是
10+
．
解：将
A
代入可得
+
＜
1
，所以可得
A
在椭圆内部，
由椭圆的方程可得
a2＝
25
，所以可得
2a
＝
10
，
b2＝
16
，
所以
c2＝
a2﹣
b2＝
25
﹣
16
＝
9
，解得
c
＝
3
，
所以左焦点
F
1（﹣
3
，
0
），
由椭圆的定义可得：
|PF
2
|
＝
2a
﹣
|PF
1
|
，
所以
|PA|+|PF
2
|
＝
|PA|+2a
﹣
|PF
1
|
≤
2a+|AF
1
|
＝
10+
＝
10+
|PA|+|PF
2
|
最大值为
10+
，
故答案为：
10+
．
16
．已知椭圆上存在相异两点关于直线
y
＝
x+t
对称，则实数
t
的取值范围是
．
解：设椭圆存在关于直线
y
＝
x+t
对称的两点为
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
2，
y
2），
根据对称性可知线段
AB
被直线
y
＝
x+t
直平分，且
AB
的中点
M
（
x
0，
y
0）在直线
y
＝
x+t
上，且
k
AB＝﹣
1
，
故可设直线
AB
的方程为
y
＝﹣
x+b
，
联立直线
AB
与椭圆的方程，整理可得
3x2﹣
4bx+2b2﹣
2
＝
0
，
∴，，
由△＝
16b2﹣
12
（
2b2﹣
2
）＞
0
，可得，
∴，，
∵
AB
的中点在直线
y
＝
x+t
上，
∴，可得，
所以．
故答案为：．
三、解答题
17
．在△
ABC
中，
BC
边上的高所在的直线的方程为
x
﹣
2y+1
＝
0
，∠
A
的平分线所在直线的
方程为
y
＝
0
，若点
B
的坐标为（
1
，
2
）．
（
1
）求点
A
的坐标；
（
2
）求直线
BC
的方程；
（
3
）求点
C
的坐标．
解：（
1
）联立，解得，可得
A
（﹣
1
，
0
）．
（
2
）
k
BC＝＝
2
．∴直线
BC
的方程为：
y
﹣
2
＝﹣
2
（
x
﹣
1
），解得
2x+y
﹣
4
＝
0
．
（
3
）∵∠
A
的平分线所在直线的方程为
y
＝
0
，
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
1
，
2
），∴
k
AC＝﹣
k
AB
＝﹣
1
．
设
C
（
a
，
b
），则＝﹣
1
，＝﹣
2
，解得
a
＝
5
，
b
＝﹣
6
．
∴
C
（
5
，﹣
6
）．
18
．已知
p
：方程
x2﹣
mx+1
＝
0
有实数解，
q
：
x2﹣
2x+m
＞
0
对任意
x
∈
R
恒成立，若命题
p
∨
q
真、￢
p
真，求实数
m
的取值范围．
解：根据题意，命题
p
：方程
x2﹣
mx+1
＝
0
有实数解，则有Δ＝
m2﹣
4
≥
0
，解得
m
≥
2
或
m
≤﹣
2
．
命题
q
：
x2﹣
2x+m
＞
0
对任意
x
∈
R
恒成立，则有Δ＝
4
﹣
4m
＜
0
，解得
m
＞
1
．
若命题
p
∨
q
为真，
¬p
为真，则
p
为假，
q
为真．
必有，解得
1
＜
m
＜
2
．
∴实数
m
的取值范围是（
1
，
2
）．
19
．过原点
O
的圆
C
，与
x
轴相交于点
A
（
4
，
0
），与
y
轴相交于点
B
（
0
，
2
）．
（
1
）求圆
C
的标准方程；
（
2
）直线
l
过
B
点与圆
C
相切，求直线
l
的方程，并化为一般式．
解：（
1
）设圆
C
的标准方程为：（
x
﹣
a
）2+
（
y
﹣
b
）2＝
r2，
则分别代入原点和
A
（
4
，
0
），
B
（
0
，
2
）得到，
，解得，
则圆
C
的标准方程为：（
x
﹣
2
）2+
（
y
﹣
1
）2＝
5
；
（
2
）由（
1
）得到圆心
C
为（
2
，
1
），半径
r
＝，
由于直线
l
过
B
点与圆
C
相切，
则设直线
l
：
x
＝
0
或
y
＝
kx+2
，
当
l
：
x
＝
0
时，
C
到
l
的距离为
2
，不合题意，舍去；
当
l
：
y
＝
kx+2
，由直线与圆相切，得到
d
＝
r
，
即有，解得
k
＝
2
，
故直线
l
：
y
＝
2x+2
，即为
2x
﹣
y+2
＝
0
．
20
．已知抛物线
y2＝
2px
（
p
＞
0
）的准线方程为
x
＝﹣
1
．
（Ⅰ）求
p
的值；
（Ⅱ）直线
l
：
y
＝
x
﹣
1
交抛物线于
A
、
B
两点，求弦长
|AB|
．
解：（Ⅰ）由抛物线
y2＝
2px
（
p
＞
0
）的准线方程为
x
＝﹣
1
．
得，所以
p
＝
2
；
（Ⅱ）设
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
2，
y
2），由消去
y
，得
x2﹣
6x+1
＝
0
，
则
x
1
+x
2＝
6
，
x
1
x
2＝
1
，
所以
＝
＝
＝．
21
．设椭圆的左焦点为
F
1，离心率为，过点
F
1且与
x
轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（
1
）求椭圆的方程；
（
2
）设
P
（
1
，
1
），过
P
的直线
l
交椭圆于
A
，
B
两点，当
P
为
AB
中点时，求直线
l
的方程．
解：（
1
）设
F
（﹣
c
，
0
），由，知，
椭圆方程为，
将
x
＝﹣
c
，代入椭圆方程，解得，
于是，解得，
又
a2﹣
b2＝
c2，从而，
c
＝
1
，
所以椭圆方程为．
（
2
）设
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
2，
y
2），
所以有，作差得，
又因为
P
为
AB
中点，所以
x
1
+x
2＝
2
，
y
1
+y
2＝
2
，
∴，
l
的方程为，
即
2x+3y
﹣
5
＝
0
．
22
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
1，
A
2，左、右焦点分别为
F
1，
F
2，离心率为，点
B
（
4
，
0
），
F
2为线段
A
1
B
的中点．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）若过点
B
且斜率不为
0
的直线
l
与椭圆
C
的交于
M
，
N
两点，已知直线
A
1
M
与
A
2
N
相交于点
G
，试判断点
G
是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说
明理由．
解：（Ⅰ）设点
A
1（﹣
a
，
0
），
F
2（
c
，
0
），由题意可知：，即
a
＝
4
﹣
2c
①
又因为椭圆的离心率，即
a
＝
2c
②
联立方程①②可得：
a
＝
2
，
c
＝
1
，则
b2＝
a2﹣
c2＝
3
所以椭圆
C
的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解：（Ⅱ）解法一：根据椭圆的对称性猜测点
G
是与
y
轴平行的直线
x
＝
x
0上．
假设当点
M
为椭圆的上顶点时，直线
l
的方程为，此时点
N
，
则联立直线和直线可得点
据此猜想点
G
在直线
x
＝
1
上，下面对猜想给予证明：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设
M
（
x
1，
y
1），
N
（
x
2，
y
2），联立方程可得：（
3+4k2）
x2﹣
32k2x+64k2﹣
12
＝
0
，△＞
0
由韦达定理可得，（
*
）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为直线，，
联立两直线方程得（其中
x
为
G
点的横坐标）即证：
，
即
3k
（
x
1﹣
4
）•（
x
2﹣
2
）＝﹣
k
（
x
2﹣
4
）•（
x
1
+2
），即证
4x
1
x
2﹣
10
（
x
1
+x
2）
+16
＝
0
﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
将（
*
）代入上式可得
此式明显成立，原命题得证．所以点
G
在定直线上
x
＝
1
上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法二：设
M
（
x
1，
y
1），
N
（
x
2，
y
2），
G
（
x
3，
y
3），
x
1，
x
2，
x
3两两不等，
因为
B
，
M
，
N
三点共线，所以
，
整理得：
2x
1
x
2﹣
5
（
x
1
+x
2）
+8
＝
0
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又
A
1，
M
，
G
三点共线，有：①
又
A
2，
N
，
G
三点共线，有：②，
将①与②两式相除得：
即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
将
2x
1
x
2﹣
5
（
x
1
+x
2）
+8
＝
0
即代入得：
解得
x
3＝
4
（舍去）或
x
3＝
1
，所以点
G
在定直线
x
＝
1
上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解法三：由题意知
l
与
x
轴不垂直，设
l
的方程为
y
＝
k
（
x
﹣
4
），
M
（
x
1，
y
1），
N
（
x
2，
y
2）．
由得（
3+4k2）
x2﹣
32k2x+64k2﹣
12
＝
0
，△＞
0
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设
M
（
x
1，
y
1），
N
（
x
2，
y
2），
G
（
x
3，
y
3），
x
1，
x
2，
x
3两两不等，
则，，
，
由
A
1，
M
，
G
三点共线，有：①
由
A
2，
N
，
G
三点共线，有：②
①与②两式相除得：
﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣
解得
x
3＝
4
（舍去）或
x
3＝
1
，所以点
G
在定直线
x
＝
1
上．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣