0是有理数还是无理数
-该死的温柔歌词
2023年2月23日发(作者：五镇)实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实
数和零三类。实数集合通常用字母R表示。而R^n表示n维实数空间。实数
是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表
示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正
整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实
数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一
个的相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变）
②a为0时，|a|=0
③a为负数时，|a|=-a（为a的相反数）
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)
3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a
（a≠0）
4）数轴
定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点O及
单位长度OE，它就成为数直线，或称数轴。
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。[1]
2分类
按性质分类是：正数、负数、0；
按定义分类是：有理数、无理数
从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3,3.1,3.14,
3.141,3.1415,…}所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不
同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设R是所有实数的集合，则：
集合R是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常
见性质。
域R是个有序域，即存在全序关系≥，对所有实数x,y和z：
若x≥y则x+z≥y+z；
若x≥0且y≥0则xy≥0。
集合R满足完备性，即任意R的有非空子集S(S∈R，S≠Φ)，若S在R
内有上界，那么S在R内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存
在有理数上界，如1.5；但是不存在实数上界（因为
不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域R1和R2，存
在从R1到R2的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
5相关性质
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）
还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是
实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次
方其结果还是实数。
4
图册
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个
实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：
ab.
传递性
实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.
阿基米德性
实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b>a>0,则存在正
整数n，使得na>b.
稠密性
实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理
数，也有无理数.
唯一性
如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方
向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线
为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也
都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如，(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,
1.41421,...)是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实
数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有
“空隙”。
二.“完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是
由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以，这里的
“完备”不是完备格的意思。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也
说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近
采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的
方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可
以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是
一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度
量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R并
不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际
上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致
完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思
非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，
通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上
述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域
都是R的子域。这样R是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不
再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即
从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米
德域。
高级性质
实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者
都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的
势为2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有
可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，
不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续
统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代
数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使
R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前
半部分。
实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能
只采用一阶逻辑来刻画实数集：1.Löwenheim-Skolem定理说明，存在一
个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的
命题；2.超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命
题。满足和R一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非
标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明
要简单一些），从而确定这些命题在R中也成立。
拓扑性质
实数集构成一个度量空间：x和y间的距离定为绝对值|x-y|。作为一个全
序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是
1维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空
间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连
续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：
令a为一实数。a的邻域是实数集中一个包括一段含有a的线段的子集。
R是可分空间。
Q在R中处处稠密。
R的开集是开区间的联集。
R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个R中的有界序列都有收敛子序列。
R是连通且单连通的。
R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。
6扩展与一般化
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集
不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基
米德域。
有时候，形式元素+∞和-∞加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧
致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数
（1,2,3...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在
“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击；见第一次数学危
机。
从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理
数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即
“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍
然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世
纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。[2]