对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分

真有趣-入党自愿书

对坐标的曲线积分求做功_《对坐标的曲线积分》知识点与公

式总结

⼀、对坐标的曲线积分的物理意义

1．变⼒沿曲线作功

某⼀物体沿着位于⼒场

内的路径ΓA→B从A移动到B，则⼒场对该物体所做的功基于“元素法”可得积分模型为

其中ds=(△x,△y,△z)为所取弧长微元ds从运动起点(x,y,z)到终点(x+△x,y+△y,z+△z)的位移，该微元段的⼒近似为该微元中任意点的⼒.

这样由数量积的物理意义，可以得到如上的积分模型(分割取近似，做和求极限)，并根据求和的性质可得

对于平⾯⼒场和平⾯运动路径：

则物体在⼒场F中沿曲线路径LA→B从A移动到B作功的计算公式

2．相关计算性质

(1)积分的⽅向性：由物理上作功的⽅向性，有

(2)⽅向的⼀致性：对于曲线分段积分的可加性，注意保证⽅向的⼀致性，其起点、终点⾸尾相接。

(3)注意使⽤图形的对称性要考虑⽅向也要求对称，即关于坐标轴折叠图形与⽅向要能完全重合，这个时候可以考虑“偶零奇倍”，同

样“轮换对称性”为反轮换对称性。由于条件限制很容易⽤错，所以⼀般不使⽤！

⼆、对坐标的曲线积分的基本计算⽅法的计算思路与步骤

1．基本计算思路与步骤

第⼀步：写出积分曲线的参数⽅程，并写出参数的取值范围，明确起点的参数值与终点的参数值。

第⼆步：直接将被积表达式中的所有变量⽤各变量的参数表达式替换，写成关于参变量的定积分描述形式，并且积分的下限取为有向积分曲

线起点的参数值，上限取为终点对应的参数值，写出定积分表达式。

如平⾯曲线L与空间曲线Γ的参数⽅程为：

L:x=x(x),y=y(t),t：a→b；

Γ:x=x(x),y=y(t),z=z(t),t：a→b，

则有

第三步：计算定积分得到最终积分结果。

【注1】如果积分曲线不能⽤⼀个参数⽅程描述，则对积分曲线进⾏分段处理，并对各分段曲线按照上⾯的步骤计算出相应的积分值，然后

依据积分对积分曲线的可加性，累加各积分值得到最终结果。

【注2】对于曲线积分，不论是对弧长的还是对坐标的曲线积分，描述积分曲线的等式可以直接代⼊被积函数转换或者简化被积函数。

2．⼀般计算思路与步骤

对坐标曲线积分的⼀般思路与思考步骤：

第⼀步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(d前⾯的P(x,y)，dy前⾯的是Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号。)

第⼆步：计算Q(x,y)关于x的偏导数，P(x,y)关于y的偏导数。如果两者之差⽐较简单，则我们分以下两种情况进⾏处理。

(1)如果两者之差不等于0，则考虑使⽤格林公式转换为⼆重积分进⾏计算。如果积分曲线不为封闭曲线，则考虑添加辅助线，让积分曲线转

换为封闭曲线。然后⽤⼆重积分计算的结果减去辅助线上的积分就得到需要的曲线积分。

(2)当如果两者之差等于0，则表明积分与路径⽆关，这个时候可以⾃⼰选择合适的路径，利⽤曲线积分计算的基本⽅法完成计算。

在不满⾜以上条件下，继续考虑第三步。

第三步：如果问题中包含有与弧长相关的元素，则考虑将借助于两类曲线积分之间的关系，即

将对坐标的曲线积分转换为对弧长的曲线积分来进⾏计算，其中(cosα,cosβ)为与有向积分曲线同向的曲线的单位切向量。然后利⽤曲线

积分的基本计算⽅法来完成计算，或者根据问题的需求对积分进⾏变换。

第四步：如果以上⽅法都不适⽤，则直接使⽤对坐标的曲线积分的基本计算⽅法来完成计算。即写出积分曲线的参数⽅程，然后将被积表达

式中的所有变量⽤各变量对应的参数表达式替换，并取有向曲线的起点对应的参数值作为定积分的下限，终点对应的参数值作为定积分的上

限，将对坐标的曲线积分直接转换为定积分来计算。

三、两类曲线积分之间的关系

将曲线的切向量r’(t)化为单位向量

则有

即有

其中为积分曲线在处的单位切向量，其⽅向为顺着积分曲线的⽅向.即有

其中(cosα,cosβ)为与积分曲线L同向的曲线的单位切向量；(cosα,cosβ,cosγ)为与积分曲线Γ同向的曲线的单位切向量。

四、对坐标的曲线积分的物理应⽤

设在平⾯上某区域D中分布⼀向量场

L为D内的简单光滑闭曲线，其⽅程为

由a变⾄b对应L的逆时针⽅向.称积分

分别为场沿曲线L的环量和通过L的流量，其中T为L在(x,y)处与L⽅向⼀致的单位切向量，即

n为L在(x,y)处指向外侧的法向量，假设向量场v为流速场，则环量和流量分别刻画了向量场沿曲线L流动的速度和通过L的流动速度.

从⽽由两类曲线积分之间的关系，有：

环量可表⽰成下⾯对坐标曲⾯积分的形式

由于L上的外侧单位法向量n为

所以，流量亦可表⽰为对坐标的曲⾯积分

因此，对于向量场，沿场中闭曲线L的环量和通过L的流量分别为