无锡天一
-
2023年2月19日发(作者：)-1-
2021
年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学三调试卷（三模）
一、选择题（每小题
5
分）
.
1
．设
a
，
b
∈
R
，则集合
P
＝
{x|
（
x
﹣
1
）2（
x
﹣
a
）＝
0}
，
Q
＝
{x|
（
x+1
）（
x
﹣
b
）2＝
0}
，若
P
＝
Q
，则
a
﹣
b
＝（）
A
．
0B
．
2C
．﹣
2D
．
1
2
．已知复数
z
满足
|z|
＝
1
，且有
z17+z
＝
1
，求
z
＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．都不对
3
．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题．现有这样一个整除问题：
将
1
到
2021
这
2021
个正整数中能被
3
除余
1
且被
5
除余
1
的数按从小到大的顺序排成一
列，构成数列
{a
n
}
，则数列
{a
n
}
各项的和为（）
A
．
137835B
．
137836C
．
135809D
．
135810
4
．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄
金分割率的值也可以用
2sin18
°表示．若实数
n
满足
4sin218
°
+n2＝
4
，则
＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段．其中，罗秀才唱道：三百条狗交给你，一
少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九
条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）．事
实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把
300
条狗分成
4
群，每群都是单数，
1
群少，
3
群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分？舟妹已唱出
其中一种分法，即
{3
，
99
，
99
，
99}
，那么，所有分法的种数为（）
A
．
6B
．
9C
．
10D
．
12
6
．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔
离分家万事休．”函数的部分图象大致为（）
A
．
B
．
-2-
C
．
D
．
7
．第
24
届冬季奥林匹克运动会，将在
2022
年
02
月
04
日在中华人民共和国北京市和张家口
市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季
奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”
（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场
（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所
示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点
A
和短轴一端点
B
分别向内层椭圆引切线
AC
，
BD
（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率
为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．已知
f
（
x
）＝（
x
﹣
1
）2+alnx
在上恰有两个极值点
x
1，
x
2，且
x
1＜
x
2，则
的取值范围为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、多选题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得
5
分，有选错的得
0
分，部分选对的得
2
分）
9
．
2020
年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的
方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果
进行测试．高三有
1000
名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）
Z
服从正态
分布
N
（
82.5
，
5.42），则（人数保留整数）（）
-3-
参考数据：若
Z
～
N
（μ，σ2），则
P
（μ﹣σ＜
Z
＜μ
+
σ）＝
0.6827
，
P
（μ﹣
2
σ＜
Z
＜μ
+2
σ）＝
0.9545
，
P
（μ﹣
3
σ＜
Z
＜μ
+3
σ）＝
0.9973
．
A
．年级平均成绩为
82.5
分
B
．成绩在
95
分以上（含
95
）人数和
70
分以下（含
70
分）人数相等
C
．成绩不超过
77
分的人数少于
150
人
D
．超过
98
分的人数为
1
人
10
．∀
x
∈
R
，
[x]
表示不超过
x
的最大整数，例如
[
﹣
3.5]
＝﹣
4
，
[2.1]
＝
2
．十八世纪，函数
f
（
x
）
＝
[x]
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则
下列命题中是真命题的是（）
A
．∃
x
∈
R
，
x
≥
[x]+1
B
．∀
x
，
y
∈
R
，
[x]+[y]
≤
[x+y]
C
．∀
x
∈
R
，
x
﹣
1
＜
[x]
＜
x
＜
[x]+1
D
．函数
f
（
x
）＝
x
﹣
[x]
的值域为
[0
，
1
）
11
．如图，在边长为
4
的正方形
ABCD
中，点
E
、
F
分别在边
AB
、
BC
上（不含端点）且
BE
＝
BF
，将△
AED
，△
DCF
分别沿
DE
，
DF
折起，使
A
、
C
两点重合于点
A
1，则下列结论正
确的有（）
A
．
A
1
D
⊥
EF
B
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，三棱锥
A
1﹣
DEF
的外接球体积为π
C
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，三棱锥
A
1﹣
DEF
的体积为
D
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，点
A
1到平面
DEF
的距离为
12
．一般地，若函数
f
（
x
）的定义域为
[a
，
b]
，值域为
[ka
，
kb]
，则称为的“
k
倍跟随区间”；
若函数的定义域为
[a
，
b]
，值域也为
[a
，
b]
，则称
[a
，
b]
为
f
（
x
）的“跟随区间”．下列结
论正确的是（）
A
．若
[1
，
b]
为
f
（
x
）＝
x2﹣
2x+2
的跟随区间，则
b
＝
2
-4-
B
．函数
f
（
x
）＝
1+
存在跟随区间
C
．若函数
f
（
x
）＝
m
﹣存在跟随区间，则
m
∈（﹣，
0]
D
．二次函数
f
（
x
）＝﹣
x2+x
存在“
3
倍跟随区间”
三、填空题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
13
．已知向量＝（
3
，
2cos
），＝（﹣，），且，则
cos
α＝．
14
．已知点
P
（
x
，
y
）是抛物线
y2＝
4x
上任意一点，
Q
是圆（
x+2
）2+
（
y
﹣
4
）2＝
1
上任意一
点，则
|PQ|+x
的最小值为．
15
．若非负实数
x
，
y
满足
x2+4y2+4xy+4x2y2＝
32
，则
x+2y
的最小值为，
的最大值为．
16
．如图，在四面体
ABCD
中，
AB
＝
CD
＝
2
，，，
E
，
F
分别是
AD
，
BC
的中点若用一个与直线
EF
垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，
由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为．
四、解答题
17
．若数列
{a
n
}
满足
a
1＝
1
，且存在常数
k
＞
1
，使得对任意的
n
∈
N*都有，
则称数列
{a
n
}
为“
k
控数列”．
（
1
）若公差为
d
的等差数列
{a
n
}
是“
2
控数列”，求
d
的取值范围；
（
2
）已知公比为
q
（
q
≠
1
）的等比数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n，数列
{b
n
}
与
S
n都是“
k
控数
列”，求
q
的取值范围（用
k
表示）．
18
．在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，请在①
b+bcosC
＝
csinB
；②（
2b
﹣
a
）
cosC
＝
ccosA
；③
a2+b2﹣
c2＝这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（
1
）求∠
C
；
（
2
）若
a
＝
5
，
c
＝
7
，延长
CB
到
D
，使
cos
∠
ADC
＝，求线段
BD
的长度．
19
．数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图
1
，
-5-
两塔，相距
**
步，高分别为
**
步和
**
步．两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟．两鸟同时自塔顶
出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）．求两塔与喷泉中心之距．”如
图
2
，现有两塔
AC
、
BD
，底部
A
、
B
相距
12
米，塔
AC
高
3
米，塔
BD
高
9
米．假设塔与
地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内．
（
1
）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所
在点
M
，求喷泉距塔底
A
的距离；
（
2
）若塔底
A
、
B
之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶
C
出发，飞抵水面
A
、
B
之间的某点
P
处饮水之后，飞到对面的塔顶
D
处．求当小鸟飞行距离最短时，饮水点
P
到塔底
A
的距离．
20
．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把除
颜色不同外其余均相同的
8
个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各
3
个，红色球
与绿色球各
1
个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记
1
分、黄球每个
记
2
分、红球每个记
3
分、绿球每个记
4
分，规定摸球人得分不低于
8
分获胜．比赛规则
如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出
1
球；若摸出的
是绿色球，则再从袋子里摸出
2
个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出
3
个球，
他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
（
1
）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（
2
）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望
E
（ξ）；
（
3
）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
21
．已知函数
f
（
x
）＝
aex﹣
cos
（
a
﹣
1
），
a
∈
R
．
（
1
）若
a
＝
1
，求曲线
y
＝
f
（
x
）在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程；
（
2
）设
g
（
x
）＝
f
（
x
）﹣
ln
（
x+1
），若
g
（
x
）≥
0
，求
a
的取值范围．
22
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
，
B
，
E
为
C
上不同于
A
，
B
-6-
的动点，直线
AE
，
BE
的斜率
k
AE，
k
BE满足
k
AE•
k
BE＝﹣，的最小值为﹣
4
．
（
1
）求
C
的方程；
（
2
）
O
为坐标原点，过
O
的两条直线
l
1，
l
2满足
l
1∥
AE
，
l
2∥
BE
，且
l
1，
l
2分别交
C
于
M
，
N
和
P
，
Q
．试判断四边形
MPNQ
的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明
理由．
-7-
参考答案
一、选择题（本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1
．设
a
，
b
∈
R
，则集合
P
＝
{x|
（
x
﹣
1
）2（
x
﹣
a
）＝
0}
，
Q
＝
{x|
（
x+1
）（
x
﹣
b
）2＝
0}
，若
P
＝
Q
，则
a
﹣
b
＝（）
A
．
0B
．
2C
．﹣
2D
．
1
解：因为
P
＝
{x|
（
x
﹣
1
）2（
x
﹣
a
）＝
0}
＝
{1
，
a}
，
Q
＝
{x|
（
x+1
）（
x
﹣
b
）2＝
0}
＝
{
﹣
1
，
b}
，
若
P
＝
Q
，则
a
＝﹣
1
，
b
＝
1
，
a
﹣
b
＝﹣
2
．
故选：
C
．
2
．已知复数
z
满足
|z|
＝
1
，且有
z17+z
＝
1
，求
z
＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．都不对
解：设
z
＝
cos
α
+isin
α，
由于
z17+z
＝
cos17
α
+isin17
α
+cos
α
+isin
α＝
cos17
α
+cos
α
+i
（
sin17
α
+sin
α）＝
1
，
所以
cos17
α
+cos
α＝
1
，
sin17
α
+sin
α＝
0
，
所以
cos17
α＝﹣
cos
α
+1
，
sin17
α＝﹣
sin
α，
两边平方相加得
cos
，
sin
，
故
z
．
故选：
A
．
3
．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题．现有这样一个整除问题：
将
1
到
2021
这
2021
个正整数中能被
3
除余
1
且被
5
除余
1
的数按从小到大的顺序排成一
列，构成数列
{a
n
}
，则数列
{a
n
}
各项的和为（）
A
．
137835B
．
137836C
．
135809D
．
135810
解：由于数列中的数能被
3
除余
1
且被
5
除余
1
的数，
故
a
n＝
15n
﹣
14
，
当
n
＝
135
时，
a
135＝
15
×
135
﹣
14
＝
2011
，
-8-
所以．
故选：
D
．
4
．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄
金分割率的值也可以用
2sin18
°表示．若实数
n
满足
4sin218
°
+n2＝
4
，则
＝（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：根据题中的条件可得：
n2＝
4
﹣
4sin218
°＝
4cos218
°，
则＝＝＝＝
＝＝．
故选：
A
．
5
．电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段．其中，罗秀才唱道：三百条狗交给你，一
少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九
条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）．事
实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把
300
条狗分成
4
群，每群都是单数，
1
群少，
3
群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分？舟妹已唱出
其中一种分法，即
{3
，
99
，
99
，
99}
，那么，所有分法的种数为（）
A
．
6B
．
9C
．
10D
．
12
解：根据题意，设“三多”的狗有
x
条，则“一少”的狗有
300
﹣
3x
条，
则有，解可得
75
＜
x
＜
100
，
又由
x
为奇数，则
x
可取的值有
77
、
79
、
81
、……、
99
，共
12
个，
则有
12
种分法，
故选：
D
．
6
．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔
离分家万事休．”函数的部分图象大致为（）
-9-
A
．
B
．
C
．
D
．
解：
f
（﹣
x
）＝＝﹣
f
（
x
），则函数
f
（
x
）是奇函数，图象关于原点对称，
排除
A
，
B
，
当
x
＞
0
时，
f
（
x
）＞
0
，排除
D
，
故选：
C
．
7
．第
24
届冬季奥林匹克运动会，将在
2022
年
02
月
04
日在中华人民共和国北京市和张家口
市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季
奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”
（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场
（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所
示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点
A
和短轴一端点
B
分别向内层椭圆引切线
AC
，
BD
（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率
为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：设内层椭圆方程为（
a
＞
b
＞
0
），因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，
-10-
可设成，（
m
＞
1
），
设切线的方程为
y
＝
k
1（
x+a
），
与联立得，，
由△＝
0
，则，同理，
所以，因此．
故选：
B
．
8
．已知
f
（
x
）＝（
x
﹣
1
）2+alnx
在上恰有两个极值点
x
1，
x
2，且
x
1＜
x
2，则
的取值范围为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：
f
（
x
）＝（
x
﹣
1
）2+alnx
，则
f
′（
x
）＝
2x
﹣
2+
＝（
x
＞
0
），
令
f
′（
x
）＝
0
，得
2x2﹣
2x+a
＝
0
，
由题意知
2x2﹣
2x+a
＝
0
在（，
+
∞）上有
2
个根
x
1，
x
2，
故，解得：＜
a
＜，
由根与系数的关系得，
由求根公式得
x
1，2＝，
∵
x
1＜
x
2，∴
x
2＝，
∵＜
a
＜，∴＜
x
2＜，
-11-
则＝＝
＝
x
2
+2
（
1
﹣
x
2）
ln
（
1
﹣
x
2）＝
x
2﹣
1+2
（
1
﹣
x
2）
ln
（
1
﹣
x
2）
+1
（＜
x
2＜），
令
t
＝
1
﹣
x
2，则＜
t
＜，
设
g
（
t
）＝﹣
t+2tlnt+1
（＜
t
＜），则
g
′（
t
）＝
1+2lnt
，
易知
g
′（
t
）在（，）上单调递增，
故
g
′（
t
）＝
1+2lnt
＜
1
﹣
2ln2
＝
ln
＜
0
，
故当＜
t
＜时，函数
g
（
t
）为减函数，
∴
g
（
t
）＜﹣
+2
×
ln+1
＝﹣
ln2
，且
g
（
t
）＞﹣
+2
×
lnln+1
＝﹣
ln2
，
∴∈（﹣
ln2
，﹣
ln2
）．
故选：
D
．
二、多选题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得
5
分，有选错的得
0
分，部分选对的得
2
分）
9
．
2020
年初，新冠病毒肆虐，为了抑制病毒，商场停业，工厂停工停产．学校开始以网课的
方式进行教学．为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段时间的教学成果
进行测试．高三有
1000
名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）
Z
服从正态
分布
N
（
82.5
，
5.42），则（人数保留整数）（）
参考数据：若
Z
～
N
（μ，σ2），则
P
（μ﹣σ＜
Z
＜μ
+
σ）＝
0.6827
，
P
（μ﹣
2
σ＜
Z
＜μ
+2
σ）＝
0.9545
，
P
（μ﹣
3
σ＜
Z
＜μ
+3
σ）＝
0.9973
．
A
．年级平均成绩为
82.5
分
B
．成绩在
95
分以上（含
95
）人数和
70
分以下（含
70
分）人数相等
C
．成绩不超过
77
分的人数少于
150
人
D
．超过
98
分的人数为
1
人
解：选项
A
：因为
Z
～
N
（
82.5
，
5.42），所以μ＝
82.5
，σ＝
5.4
，
由正态分布概念可知：年级平均成绩μ＝
82.5
，故
A
正确，
选项
B
：因为，所以成绩在
95
分以上（含
95
分）人数和
70
分以下（含
-12-
70
分）人数相等，故
B
正确，
选项
C
：因为
77
≈
82.5
﹣
5.4
＝μ﹣σ，所以
P
（
Z
＜
77
）≈
P
（
Z
＜μ﹣σ）＝
，
因为
1000
×
0.15865
≈
159
＞
150
，所以成绩不超过
77
分的人数多于
150
人，故
C
错误，
选项
D
：因为
82.5+5.4
×
3
＝
98.7
≈
99
，
所以
P
（
Z
≥
99
）≈
P
（
Z
≥μ
+3
σ）＝，
因为
1000
×
0.00135
≈
1
，所以超过
98
分的人数为
1
人，故
D
正确，
故选：
ABD
．
10
．∀
x
∈
R
，
[x]
表示不超过
x
的最大整数，例如
[
﹣
3.5]
＝﹣
4
，
[2.1]
＝
2
．十八世纪，函数
f
（
x
）
＝
[x]
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则
下列命题中是真命题的是（）
A
．∃
x
∈
R
，
x
≥
[x]+1
B
．∀
x
，
y
∈
R
，
[x]+[y]
≤
[x+y]
C
．∀
x
∈
R
，
x
﹣
1
＜
[x]
＜
x
＜
[x]+1
D
．函数
f
（
x
）＝
x
﹣
[x]
的值域为
[0
，
1
）
解：由定义得：
[x]
≤
x
＜
[x]+1
，故对∀
x
∈
R
，
x
＜
[x]+1
，故
A
错误；
由定义可得，对∀
x
，
y
∈
R
，
x
＝
[x]+a
，
y
＝
[y]+b
，
a
，
b
∈
[0
，
1
），
所以
x+y
＝
[x]+[y]+a+b
，∴
[x+y]
＝
[x]+[y]+[a+b]
，
所以
[x]+[y]
≤
[x+y]
，故
B
正确；
由定义得
x
﹣
1
＜
[x]
≤
x
＜
[x]+1
，故
C
错误；
由定义
x
﹣
1
＜
[x]
≤
x
，所以
0
≤
x
﹣
[x]
＜
1
，所以函数
f
（
x
）＝
x
﹣
[x]
的值域是
[0
，
1
），故
D
正确．
故选：
BD
．
11
．如图，在边长为
4
的正方形
ABCD
中，点
E
、
F
分别在边
AB
、
BC
上（不含端点）且
BE
＝
BF
，将△
AED
，△
DCF
分别沿
DE
，
DF
折起，使
A
、
C
两点重合于点
A
1，则下列结论正
确的有（）
-13-
A
．
A
1
D
⊥
EF
B
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，三棱锥
A
1﹣
DEF
的外接球体积为π
C
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，三棱锥
A
1﹣
DEF
的体积为
D
．当
BE
＝
BF
＝
BC
时，点
A
1到平面
DEF
的距离为
解：取
EF
的中点
O
，连接
OA
1，
OD
，
由题意可得
DE
＝
DF
，
A
1
E
＝
A
1
F
，
所以
OD
⊥
EF
，
A
1
O
⊥
EF
，
DO
∩
A
1
O
＝
O
，
所以
EF
⊥平面
A
1
OD
，
所以
EF
⊥
A
1
D
，
故
A
正确；
当
BE
＝
BE
＝
BC
＝
2
时，
A
1
E
＝
A
1
F
＝
2
，
EF
＝
2
，
可得
A
1
E
⊥
A
1
F
，又
A
1
E
⊥
A
1
D
，
A
1
F
⊥
A
1
D
，
可把三棱锥
A
1﹣
EDF
放到以
A
1
D
，
A
1
E
，
A
1
F
为相邻棱的长方体中，
可得长方体的对角线长为＝
2
，
故外接球的半径为，体积为π×（）3＝
8
π，
故
B
错误；
当
BE
＝
BF
＝
BC
＝
1
时，
EF
＝，
cos
∠
EA
1
F
＝＝，
所以
sin
∠
EA
1
F
＝＝，
S
＝
A
1
E
•
A
1
F
•
sin
∠
EA
1
F
＝×
3
×
3
×＝，
V
＝
V
＝
S
•
A
1
D
＝××
4
＝，
故
C
正确；
当
BE
＝
BF
＝
1
时，设
A
1到面
DEF
的距离为
h
，
-14-
则
V
＝
S
△
DEF
h
＝×（
4
×
4
﹣
2
××
4
×
3
﹣×
1
×
1
）
h
＝×
h
＝，
解得
h
＝，
故
D
正确．
故选：
ACD
．
12
．一般地，若函数
f
（
x
）的定义域为
[a
，
b]
，值域为
[ka
，
kb]
，则称为的“
k
倍跟随区间”；
若函数的定义域为
[a
，
b]
，值域也为
[a
，
b]
，则称
[a
，
b]
为
f
（
x
）的“跟随区间”．下列结
论正确的是（）
A
．若
[1
，
b]
为
f
（
x
）＝
x2﹣
2x+2
的跟随区间，则
b
＝
2
B
．函数
f
（
x
）＝
1+
存在跟随区间
C
．若函数
f
（
x
）＝
m
﹣存在跟随区间，则
m
∈（﹣，
0]
D
．二次函数
f
（
x
）＝﹣
x2+x
存在“
3
倍跟随区间”
解：选项
A
：由已知可得函数
f
（
x
）在区间
[1
，
b]
上单调递增，则有
f
（
b
）＝
b2﹣
2b+2
＝
b
，
解得
b
＝
2
或
1
（舍），所以
b
＝
2
，
A
正确；
选项
B
：若存在跟随区间
[a
，
b]
（
a
＜
b
），又因为函数在单调区间上递减，则有，
解得
a
＝
b
＝
1
，显然不成立，
B
错误；
选项
C
：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间
[a
，
b]
（﹣
1
≤
a
＜
b
），
则有，即，两式做差得：
a
﹣
b
＝，
即（
a
﹣
b
）（）＝
a+1
﹣（
b+1
）＝
a
﹣
b
，
又﹣
1
≤
a
＜
b
，所以，易得
0
，
所以
m
＝
a+
＝
a+1
﹣，设＝
t
∈（
0
，），则
m
＝
t2﹣
t
，
即
t2﹣
t
﹣
m
＝
0
在区间（
0
，）上有两个不相等的实数根，
-15-
只需：，解得﹣＜
m
≤
0
，
C
正确；
选项
D
：若函数存在
3
倍跟随区间，设定义域为
[a
，
b]
，值域为
[3a
，
3b]
，
当
a
＜
b
≤
1
时，易得函数在定义域上单调递增，
则
a
，
b
是方程﹣的两个不相等的实数根，解得
x
＝
0
或﹣
4
，
故存在定义域为
[
﹣
4
，
0]
使得值域为
[
﹣
12
，
0]
，
D
正确，
故选：
ACD
．
三、填空题（本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分）
13
．已知向量＝（
3
，
2cos
），＝（﹣，），且，则
cos
α＝﹣．
解：因为＝（
3
，
2cos
），＝（﹣，），且，
所以＝﹣
+cos
＝
0
，即
cos
＝，
则
cos
α＝
2cos2﹣
1
＝﹣．
故答案为：﹣．
14
．已知点
P
（
x
，
y
）是抛物线
y2＝
4x
上任意一点，
Q
是圆（
x+2
）2+
（
y
﹣
4
）2＝
1
上任意一
点，则
|PQ|+x
的最小值为
3
．
解：抛物线
y2＝
4x
的焦点
F
（
1
，
0
），准线
l
：
x
＝﹣
1
圆
C
：（
x+2
）2+
（
y
﹣
4
）2＝
1
的圆心
C
（﹣
2
，
4
），半径
r
＝
1
，
由抛物线定义知：点
P
到直线
l
：
x
＝﹣
1
距离
d
＝
|PF|
，
点
P
到
y
轴的距离为
x
＝
d
﹣
1
，
∴当
C
、
P
、
F
三点共线时，
|PQ|+d
取最小值，
∴（
|PQ|+x
）min
＝
|FC|
﹣
r
﹣
1
＝
5
﹣
1
﹣
1
＝
3
故答案为：
3
．
-16-
15
．若非负实数
x
，
y
满足
x2+4y2+4xy+4x2y2＝
32
，则
x+2y
的最小值为
4
，
的最大值为
16
．
解：因为
x2+4y2+4xy+4x2y2＝
32
，
即（
x+2y
）2+4x2y2＝
32
≤（
x+2y
）2+
（
x+2y
）4，
即（
x+2y
）4+16
（
x+2y
）2﹣
32
×
16
≥
0
，
故（
x+2y
）2≥
16
，或（
x+2y
）2≤﹣
32
（舍）
故
x+2y
≥
4
，或
x+2y
≤﹣
4
（舍）
故
x+2y
的最小值为
4
，
故答案为：
4
第二空：令（
x+2y
）
+2xy
＝
t
（
t
≥
0
）．
则（
x+2y
）＝
t
﹣
2xy
≥
0
，两边平方得：
7
（
x+2y
）2＝（
t
﹣
2xy
）2①
因为
x2+4y2+4xy+4x2y2＝
32
，
所以
x2+4y2+4xy
＝（
x+2y
）2＝
32
﹣
4x2y2②，
所以由①②联立可得：
7
（
32
﹣
4x2y2）＝（
t
﹣
2xy
）2
展开得：
32x2y2﹣
4txy
﹣
32
×
7+t2＝
0
因为关于
xy
的方程必须有解，故方程的判别式△＝
16t2﹣
4
×
32
×（
t2﹣
32
×
7
）≥
0
．
解得
t2≤
16
×
16
，因为
t2≥
0
，所以
0
≤
t
≤
16
，
所以
t
的最大值为
16
则
t
＝（
x+2y
）
+2xy
，
故答案为：（
x+2y
）
+2xy
的最大值为
16
．
16
．如图，在四面体
ABCD
中，
AB
＝
CD
＝
2
，，，
E
，
F
分别是
AD
，
BC
的中点若用一个与直线
EF
垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α去截该四面体，
-17-
由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为．
解：补成长，宽，高分别为，，
1
的长方体
由于
EF
⊥α，故截面为平行四边形
MNKL
，可得
KL+KN
＝，设异面直线
BC
与
AD
所成
的角为θ，
则
sin
θ＝
sin
∠
HFB
＝
sin
∠
LKN
，
算得
sin
θ＝，∴
S
四边形
MNKL＝
NK
•
KL
•
sin
∠
NKL
≤（）2＝，当且仅当
NK
＝
KL
时取等号．
故答案为：．
四、解答题
17
．若数列
{a
n
}
满足
a
1＝
1
，且存在常数
k
＞
1
，使得对任意的
n
∈
N*都有，
则称数列
{a
n
}
为“
k
控数列”．
（
1
）若公差为
d
的等差数列
{a
n
}
是“
2
控数列”，求
d
的取值范围；
（
2
）已知公比为
q
（
q
≠
1
）的等比数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n，数列
{b
n
}
与
S
n都是“
k
控数
列”，求
q
的取值范围（用
k
表示）．
解：（
1
）因为公差为
d
的等差数列
{a
n
}
是“
2
控数列”，所以
a
1＝
1
，所以
a
n＝
1+
（
n
﹣
1
）
d
，，
n
∈
N*，
-18-
即，
n
∈
N*，
所以，
由（
n+1
）
d
≥﹣
1
得
d
≥，又∈
[.0]
，所以
d
≥
0
，由（
n
﹣
2
）
d
≥﹣
1
得：
当
n
﹣
1
时，﹣
d
≥﹣
1
，所以
d
≤
1
；当
n
﹣
2
时，
0
≥
1
成立；
当≥
3
时，
d
≥又∈
[
﹣
1
，
0
），所以
d
≥
0
；
综上，
0
≤
d
≤
1
，所以
d
的取值范围是
[0
，
1]
；
（
2
）因为数列
{b
n
}
是公比为
q
（
q
≠
1
）的等比数列且为“
k
控数列”，所以，
显然
b
n＞
0
，故，
易知
S
n＝，要使
{S
n
}
是“
k
控数列”，则得，
n
∈
N*
（
1
）时，≤
k
，
k
∈
N*，
令
f
（
n
）＝＝
q+
，
n
∈
N*，则
f
（
n
）单调递减，所以
1
＜
f
（
n
）≤
q+1
，
所以
k
≥
q+1
，即故﹣
1
．
要使
q
存在，则得
k
≥
（
2
）当
1
＜
q
≤
k
时，≤
k
，
n
∈
N*，
令
g
（
n
）＝＝
q+
，
n
∈
N*，则
g
（
n
）递减，
q
＜
g
（
n
）≤
q+1
，
所义：又
1
＜
q
＜
k
，所以
1
＜
q
＜
k
﹣
1
，
要使
q
存在，需
1
＜
k
﹣
1
，得
k
＞
2
，
综上，当
k
≥时，公比
q
的取值范围是
[
，
k
﹣
1]
．
故答案为：
q
∈
[
，
k
﹣
1]
．
-19-
18
．在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，请在①
b+bcosC
＝
csinB
；②（
2b
﹣
a
）
cosC
＝
ccosA
；③
a2+b2﹣
c2＝这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（
1
）求∠
C
；
（
2
）若
a
＝
5
，
c
＝
7
，延长
CB
到
D
，使
cos
∠
ADC
＝，求线段
BD
的长度．
解：（
1
）选①：由正弦定理知，＝＝，
∵
b+bcosC
＝
csinB
，∴
sinB+sinBcosC
＝
sinBsinC
，
∵
B
∈（
0
，π），∴
1+cosC
＝
sinC
，即
sin
（
C
﹣）＝，
∵
C
∈（
0
，π），∴
C
﹣∈（﹣，），
∴
C
﹣＝，即
C
＝．
选②：由正弦定理知，＝＝，
∵（
2b
﹣
a
）
cosC
＝
ccosA
，∴（
2sinB
﹣
sinA
）
cosC
＝
sinCcosA
，
∴
2sinBcosC
＝
sin
（
A+C
）＝
sinB
，
∵
B
∈（
0
，π），∴
cosC
＝，
∵
C
∈（
0
，π），∴
C
＝．
选③：∵
a2+b2﹣
c2＝
S
△
ABC＝×
absinC
＝
absinC
，
由余弦定理知，
cosC
＝＝
sinC
，
∵
C
∈（
0
，π），∴
tanC
＝，∴
C
＝．
（
2
）在△
ABC
中，由余弦定理知，
cosC
＝，
∴＝，化简
b2+5b
﹣
24
＝
0
，解得
b
＝
8
或﹣
3
（舍负），
由正弦定理知，，∴＝，∴
sin
∠
ABC
＝，
∵∠
ABC
∈（
0
，π），∴
cos
∠
ABC
＝＝，
在△
ABD
中，
sin
∠
ADC
＝＝＝，
∴
sin
∠
BAD
＝
sin
（∠
ABC
﹣∠
ADC
）＝
sin
∠
ABC
•
cos
∠
ADC
﹣
cos
∠
ABC
•
sin
∠
ADC
-20-
＝×﹣×＝，
由正弦定理知，，
∴，
∴
BD
＝
5
．
19
．数学家斐波那契在其所著《计算之书》中，记有“二鸟饮泉”问题，题意如下：“如图
1
，
两塔，相距
**
步，高分别为
**
步和
**
步．两塔间有喷泉，塔顶各有一鸟．两鸟同时自塔顶
出发，沿直线飞往喷泉，同时抵达（假设两鸟速度相同）．求两塔与喷泉中心之距．”如
图
2
，现有两塔
AC
、
BD
，底部
A
、
B
相距
12
米，塔
AC
高
3
米，塔
BD
高
9
米．假设塔与
地面垂直，小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内．
（
1
）若如《计算之书》所述，有飞行速度相同的两鸟，同时从塔顶出发，同时抵达喷泉所
在点
M
，求喷泉距塔底
A
的距离；
（
2
）若塔底
A
、
B
之间为喷泉形成的宽阔的水面，一只小鸟从塔顶
C
出发，飞抵水面
A
、
B
之间的某点
P
处饮水之后，飞到对面的塔顶
D
处．求当小鸟飞行距离最短时，饮水点
P
到塔底
A
的距离．
解：（
1
）设
MA
＝
x
米，则
MB
＝（
12
﹣
x
）米，
于是
CM
＝，
DM
＝，
由题意可知
CM
＝
DM
，故
9+x2＝（
12
﹣
x
）2+81
，
解得：
x
＝
9
米，
故喷泉距塔底
A
的距离为
9
米．
（
2
）设
C
关于水面
AB
的对称点为
C
′，则
PC
＝
PC
′，连接
DC
′，
故
PC+PD
的最小值为
DC
′＝＝
12
，
-21-
设
DC
′交
AB
于
P
，设
PA
＝
x
，则
PB
＝
12
﹣
x
，
∴
PC
＝，
PD
＝，
∴
+
＝
12
，
解得：
x
＝
3
，
故当小鸟飞行距离最短时，饮水点
P
到塔底
A
的距离为
3m
．
20
．最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把除
颜色不同外其余均相同的
8
个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各
3
个，红色球
与绿色球各
1
个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记
1
分、黄球每个
记
2
分、红球每个记
3
分、绿球每个记
4
分，规定摸球人得分不低于
8
分获胜．比赛规则
如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出
1
球；若摸出的
是绿色球，则再从袋子里摸出
2
个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出
3
个球，
他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
（
1
）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（
2
）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望
E
（ξ）；
（
3
）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
【解答】解；（
1
）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件
A
，
因为球的总分为
1
×
3+2
×
3+3
＝
4
＝
16
，
事件
A
指的是甲的得分大于等于
8
，
则甲再从袋子中摸出
2
个球，摸出了
1
个白球
1
个红球，或
1
个黄球
1
个红球，或
2
个黄
球，
故
P
（
A
）＝＝；
-22-
（
2
）如果乙先摸出了红色球，则他可以再从袋子中摸出
3
个球，
若他摸出了
3
个白球，则ξ＝
3+1
×
3
＝
6
分，
若他摸出了
2
个白球
1
个黄球，则ξ＝
3+1
×
2+2
＝
7
分，
若他摸出了
2
个白球
1
个绿球，则ξ＝
3+1
×
2+4
＝
7
分，
若他摸出了
1
个白球
2
个黄球，则ξ＝
3+1+2
×
2
＝
8
分，
若他摸出了
1
个白球
1
个黄球
1
个绿球，则ξ＝
3+1+2+4
＝
10
分，
若他摸出了
2
个黄球
1
个绿球，则ξ＝
3+2
×
2+4
＝
11
分，
若他摸出了
3
个黄球，则ξ＝
3+2
×
3
＝
9
分，
故ξ的所有可能的取值为
6
，
7
，
8
，
9
，
10
，
11
，
所以
P
（ξ＝
6
）＝＝，
P
（ξ＝
7
）＝＝，
P
（ξ＝
8
）＝＝，
P
（ξ＝
9
）＝＝，
P
（ξ＝
10
）＝＝，
P
（ξ＝
11
）＝＝，
故ξ的分布列为：
ξ
67891011
P
所以ξ的数学期望
E
（ξ）＝
6
×
+7
×
+8
×
+9
×
+10
×
+11
×＝；
（
3
）由（
1
）可知，若第一次摸出绿球，则摸球人获胜的概率为，
由（
2
）可知，若第一次摸出红球，则摸球人获胜的概率为＝，
-23-
若第一次摸出黄球，则摸球人获胜的概率为＝，
若第一次摸出白球，则摸球人获胜的概率为＝，
则摸球人获胜的概率为＝，
故比赛不公平．
21
．已知函数
f
（
x
）＝
aex﹣
cos
（
a
﹣
1
），
a
∈
R
．
（
1
）若
a
＝
1
，求曲线
y
＝
f
（
x
）在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程；
（
2
）设
g
（
x
）＝
f
（
x
）﹣
ln
（
x+1
），若
g
（
x
）≥
0
，求
a
的取值范围．
解：（
1
）
a
＝
1
时，
f
（
x
）＝
ex﹣
1
，则
f
′（
x
）＝
ex，∴
f
′（
0
）＝
1
，
又
f
（
0
）＝
0
，故切点为（
0
，
0
），
故曲线
y
＝
f
（
x
）在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程为：
x
﹣
y
＝
0
；
（
2
）
g
（
x
）＝
aex﹣
ln
（
x+1
）﹣
cos
（
a
﹣
1
），定义域是（﹣
1
，
+
∞），
令
t
（
a
）＝
a
﹣
cos
（
a
﹣
1
）（
a
∈
R
），求导
t
′（
a
）＝
1+sin
（
a
﹣
1
）≥
0
，
故
t
（
a
）在
R
上单调递增，且
t
（
1
）＝
1
﹣
cos
（
1
﹣
1
）＝
0
，
故
g
（
x
）≥
0
，则当
x
＝
0
时，
g
（
0
）＝
a
﹣
cos
（
a
﹣
1
）≥
0
恒成立，
即
t
（
a
）≥
t
（
1
），故
a
≥
1
，∵
g
′（
x
）＝
aex﹣，
∴
a
≥
1
时，令
m
（
x
）＝
g
′（
x
），则
m
′（
x
）＝
aex+
＞
0
，
故
m
（
x
）在（﹣
1
，
+
∞）上单调递增，且
m
（
0
）＝
a
﹣
1
≥
0
，
m
（﹣
1
）＝
a
﹣
a
≤
a
﹣
a
＝
0
，
故存在
x
0∈（﹣
1
，
0]
，使得
m
（
x
0）＝
0
，即
a
﹣＝
0
，
ln
（
1+x
0）＝﹣
x
0﹣
lna
，
当
x
∈（﹣
1
，
x
0）时，
g
′（
x
）＜
0
，
g
（
x
）在（﹣
1
，
x
0）上单调递减，
当
x
∈（
x
0，
+
∞）时，
g
′（
x
）＞
0
，
g
（
x
）在（
x
0，
+
∞）上单调递增，
故
g
（
x
）≥
g
（
x
0）＝
a
﹣
ln
（
1+x
0）﹣
cos
（
a
﹣
1
）
＝
+x
0
+lna
﹣
cos
（
a
﹣
1
）＝
+1+x
0
+lna
﹣
cos
（
a
﹣
1
）﹣
1
≥
1+lna
﹣
cos
（
a
﹣
1
）
≥
0
，
综上，所求
a
的取值范围是
[1
，
+
∞）．
-24-
22
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右顶点分别为
A
，
B
，
E
为
C
上不同于
A
，
B
的动点，直线
AE
，
BE
的斜率
k
AE，
k
BE满足
k
AE•
k
BE＝﹣，的最小值为﹣
4
．
（
1
）求
C
的方程；
（
2
）
O
为坐标原点，过
O
的两条直线
l
1，
l
2满足
l
1∥
AE
，
l
2∥
BE
，且
l
1，
l
2分别交
C
于
M
，
N
和
P
，
Q
．试判断四边形
MPNQ
的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明
理由．
解：（
1
）设
E
（
x
0，
y
0），则
+
＝
1
，
因为
k
AE•
k
BE＝•＝＝＝﹣，
所以•＝（
x
0
+a
）（
x
0﹣
a
）
+y
0
2＝（
x
0
+a
）（
x
0﹣
a
）
+b2（
1
﹣）＝
x
0
2﹣
c2≥﹣
c2，
所以，解得
a2＝
8
，
b2＝
4
，
所以椭圆的方程为
+
＝
1
．
（
2
）根据椭圆的对称性，可知
OM
＝
ON
，
OP
＝
OQ
，
所以四边形
MPNQ
为平行四边形，所以
S
MPNQ＝
4S△
OMP，
设直线
l
1，
l
2的斜率分别为
k
1，
k
2，
M
（
x
1，
y
1），
P
（
x
2，
y
2），
则
y
1＝
k
1
x
1①，
y
2＝
k
2
x
2②，
因为
l
1∥
AE
，
l
2∥
BE
，所以
k
1•
k
2＝
k
AE•
k
BE＝﹣，
当直线
MP
的斜率不存在时，
y
1＝﹣
y
2，
x
1＝
x
2，
①×②，得﹣
y
1
2＝
k
1
k
2
x
1
2＝﹣
x
1
2，
又
+
＝
1
，解得
|x
1
|
＝
2
，
|y
1
|
＝，
-25-
所以
S
MPNQ＝
4S△
OMP＝
4
××
|2y
1
||x
1
|
＝
8
，
当直线
MP
的斜率存在时，设直线
MP
的方程为
y
＝
kx+m
，
联立，得（
1+2k2）
x2+4kmx+2m2﹣
8
＝
0
，
则△＝（
4km
）2﹣
4
（
2k2+1
）（
2m2﹣
8
）＝
8
（
8k2+4
﹣
m2）＞
0
，
所以
x
1
+x
2＝﹣，
x
1
x
2＝，
因为
k
1•
k
2＝•＝•＝＝﹣，
所以＝﹣，整理得
m2＝
4k2+2
，
因为直线
MP
过点（
0
，
m
），
所以
S
MPNQ＝
4S△
OMP＝
4
××
|m||x
1﹣
x
2
|
＝
2|m|
•
＝
2|m|
•
＝，
将
m2＝
4k2+2
代入，整理得
S
MPNQ＝
8
，
综上，四边形
MPNQ
的面积为定值，且定值为
8
．