约束方程

约束方程

铝塑板安装方法-一览监理

2023年2月22日发(作者：遵守规则的英语)

1

l

x

y

r

M(x,y)

图14-1

δ

rδ

第14章虚位移原理

在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有

许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，

才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必

要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。

从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力

学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的

新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从

能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和

拉格朗日方程。

虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减

少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。

14.1约束·自由度·广义坐标

质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束

的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。

1.几何约束和运动约束

限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，

其约束方程为

222l=y+x

又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为













0

+

22

222

=y

l=)y(y+)x(x

r=yx

B

BA

2

BA

AA

2

B(xn,yn)

A(xn,yn)

o

图14-2

x

y

C

r

vc

图14-3

ω

上述例子中的约束方程均表示几何约束。

如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，

称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C的速度为

ωr=v

c

运动约束方程为

0=ωrv

c



设

c

x和φ分别为轮心C点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为

0

C

=rφx

2.定常约束与非定常约束

约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束

方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设

初始摆长为

0

l，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为

2

0

22)vtl(=y+x

约束方程中有时间变量t，属于非定常约束。

x

y

l

M

v

o

图14-4

φ

3

3.完整约束与非完整约束

约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。

反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能

积分成有限形式，称为完整约束。上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束

方程为完整约束。

4.双侧约束与单侧约束

如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种

约束称为双侧约束。例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方

向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。若将摆杆换成绳索，

绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。即约束仅限制物体沿某一

方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。

本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为

0

111

)z,y,x,,z,y,x(f

nnnj

)s,,,j(21(14-1)

式中n为质点系中质点的数目，s为约束方程的数目。

确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自

由度，用k表示。例如，在空间运动的质点，其独立坐标为)z,y,x(,自由度为3k；在

平面运动的质点，其独立坐标为)y,x(,自由度为2k；作平面运动的刚体，其独立坐标

为),y,x(

AA

，自由度为k=3。

一般情况，设由n个质点组成的质点系，受有s个几何约束，此完整系统的自由度数

为

空间运动的自由度数：snk3；

平面运动的自由度数：snk2。

确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用

j

q)s,,,j(21表示。广义坐

标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标x,y,z、弧坐标s

、转角。

一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n个质点组成，受有s个几何约束，

系统的自由度为snk3，若以

k

q,,q,q

21

表示质点系的广义坐标，质点系第i个质点的

直角坐标形式的广义坐标为

















)t,q,,q,q(zz

)t,q,,q,q(yy

)t,q,,q,q(xx

kii

kii

kii







21

21

21

)n,,,i(21(14-2)

4

矢量形式为

)t,q,,q,q(

kii



21

rr)n,,,i(21(14-3)

14.2虚位移原理

1.虚位移

在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位

移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。用变分符号rδ表示，以区别真实位移rd。

例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移rδ。

虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。虚位移只与约束条件有关，与时间、作用

力和运动的初始条件无关。实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与

约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。虚位移是任意的

无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。

2.虚功

力在虚位移上作的功称为虚功，用Wδ表示，即

rFδδ•=W(14-4)

虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。因为

虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移

无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时

应当注意。

3.理想约束

如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约

束。若用

Ni

F表示质点系中第i个质点所受的约束力，

i

δr表示质点系中第i个质点的虚位

移，则理想约束为

0

1





s

i

iNi

F=Wr

(14-5)

将第12章的式（12-11）中

i

rd变换为

i

δr即可。如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二

力杆）等均为理想约束。将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。

例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功0≠•rF

T

d，但虚位移上的

虚功0=rF

T

δ•，因而也是理想约束。

5

t+dt

t

FT

dr

l(t)

图14-5

rδ

虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在

质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即

0

1

==W

n

i

iF



rF

i



(14-6)

式(14-6)的解析式为

0

1

=++



n

i

iziiyiixi

)zFyFxF(

(14-7)

虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普

遍定理，也称静力学普遍定理。

虚位移原理的必要性证明：

当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力

i

F和约束力

Ni

F而处于平衡，则有

0=FF

Nii

+)n,,,i(21

将上式两端同乘以

i

δr，并连加得

0

11

=FF

ii



n

i

N

n

i

+

由于质点系受有理想约束，即

0

1

=rF

i





n

i

iN



则有0

1

==W

n

i

iF



rF

i



虚位移原理的充分性证明：

假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力

i

F

6

和约束力

Ni

F其在相应的虚位移上所作的虚功必有

0

ii

)(rFF

Ni



由于质点系受有理想约束，即

o

图14-6

C

x

y

a

A

l

F1

F2

φ

rδe

rδA

rδr

0

1

=rF

i





n

i

iN



则对于质点系有

0

1





n

i

iF

=WrF

i



这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。

例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄OC绕轴O转动时，滑块A沿曲柄滑动，

从而带动杆AB在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。试求平衡时力

1

F和

2

F的关系。

解：作用在该机构上的主动力为力

1

F和

2

F，约束是理想约束，且为1个自由度体系。

有如下的两种解法：

（1）几何法

如图14-6所示，A、C两点的虚位移为

A

r，

C

r，则由虚位移原理式(14-6)得

0

12



CA

FFrr（1）

由图中的几何关系得

cos

Ae

rr

7

a

l

cos

a

cos

l

cos

a

OAA

A

e

C













2

r

r

r

r

（2）

式（2）代入式（1），得

0

2

12

a

l

cos

FF

AA



rr

0

2

12



A

)a

l

cos

FF(r



由于虚位移为

A

r是任意独立的，则

0

2

12

a

l

cos

FF



有关系为

2

2

1

cosa

l

F

F



（2）解析法

由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄OC绕轴O转动时的转角，则滑块A在

图示坐标系中的坐标为

tanly

滑块A的虚位移为







2cos

l

y

A

r

C点的虚位移为

a)a(

C

r

将点A、C的虚位移代入式（1）得

0

1

2

2





aF

cos

l

F

0

1

2

2





)aF

cos

l

F(

由于广义虚位移



是任意独立的，则有

0

1

2

2

aF

cos

l

F



即

2

2

1

cosa

l

F

F



例题14-2如图14-7所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为l，重量均略去不计。

滑块A重为P，弹簧刚度系数为k，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力P与



之间的关

系。

8

P

l

l

l

l

y

x

C

D

B

图14-7

θ

θ

解：去掉弹簧的约束，以弹力F、F



代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力P

和弹力F、F



的作用下处于平衡。此体系具有1个自由度，广义坐标为



，则由虚位移原

理式(14-6)得

0





DBA

xFxFyP（1）

主动力作用点的坐标为























coslx

coslx

sinly

D

B

A

2

则各作用点的虚位移为上式取变分，得























sinlx

sinlx

cosly

D

B

A

2

（2）

弹簧的弹力F、F



为

)lcosl(kFF



2（3）

将式（2）和式（3）代入式（1），得

0222sinl)lcosl(ksinl)lcosl(kcoslP

整理得

0]2[)tansin(klP

由于广义虚位移



是任意独立的，则有

02)tansin(klP

即得平衡时重力P与



之间的关系为

)tansin(klP2

例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a所示，试求支座B的约束力。

9

A

BDF

E

C

F1

F2M

G

4m

A

F

q

C

M

G

FB

¦ΔrB

¦ΔrE

(a)

图14-2

4m

3m

6m

3m6m

4m

δ

θ

rδ

rδ

1

2

(b)

解：将支座B处的约束解除，用力

B

F代替。此梁为1个自由度体系。由虚位移原理式

(14-6)得

0

2211

MrFrFrF

BB

则

BBB

Br

M

r

r

F

r

r

FF













2

2

1

1

其中，各处的虚位移关系为

2

1

1

B

r

r





8

11

2

B

r

r





96

11

8

11

12

1

36

3

6

3

6

1

6

1

4

1

22

BB

E

B

G

BB

r

rr

r

r

r

r

rr















从而得支座B的约束力为

MFFF

B96

11

8

11

2

1

21



设由n个质点组成的质点系，受有s个定常完整约束，系统的自由度为snk3，对

质点系中第i个质点的广义坐标求变分，由式(14-2)得































k

j

j

j

i

i

k

j

j

j

i

i

k

j

j

j

i

i

q

q

z

z

q

q

y

y

q

q

x

x

1

1

1

∂

∂

∂

∂

∂

∂







=

=

=

)n,,,i(21（14-8）

10

其矢量式为





k

j

j

j

i

i

q

q

1

∂

∂



r

=r)n,,,i(21

式(14-8)代入式(14-7)得





n

i

k

j

j

j

i

zi

k

j

j

j

i

yi

k

j

j

j

i

xiF

)q

q

z

(F)q

q

y

(F)q

q

x

(F=W

1111

∂

∂

∂

∂

∂

∂

][++

0]

∂

∂

∂

∂

∂

∂

[

11

=+

j

k

j

n

i

j

i

zi

j

i

yi

j

i

xi

q)

q

z

F

q

y

F

q

x

F(=



(14-9)

令





n

i

j

i

zi

j

i

yi

j

i

xij

)

q

z

F

q

y

F+

q

x

F(=Q

1

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+







n

i

j

i

q

=

1

∂

∂r

F

i

)k,,,j(21(14-10)

式(14-10)代入式(14-9)

0

1

=qQ=W

k

j

jjF



(14-11)

其中，

jj

qQδ具有功的量纲，

j

Q称为与广义坐标

j

q

对应的广义力。

由于广义坐标

j

q

具有独立性，式(14-11)有

0=Q

j

)k,,,j(21(14-12)

即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。式(14-12)广义力表示的

平衡方程。

求广义力有两种方法：一是直接从式(14-10)中求出，另一中求法是利用广义坐标具有

独立和任意的性质，令某一的虚位移0≠

j

qδ，其余的1k个虚位移为零，则有

jjF

qQ=W

从而

j

F

jq

W

=Q

δ

δ

(14-13)

在实际求解中常采用第二种方法。

例题14-4平面机构在如图14-9所示位置上平衡，已知在曲柄AB上作用有力偶矩M，

在铰链C处，受有水平力F。

lCDAB

2

1

，各杆的重量和摩擦不计，试求水平力P与力

偶矩为M的关系。

11

P

F

B

30

60

60D

M

图14-9

rδ

rδ

1

2

rδB

δ

φ

rδD

解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为曲柄AB与水平轴的夹角，滑块D的

水平位移

D

r。

（1）求广义坐标所对应的广义力

令滑块D不动，虚位移0

D

x，则广义力









1

1

1

1

30rFcsoM

q

W

=Q

o



图示位置，杆CD可以看成瞬时平移，则有

lrr

B



1

代入上式，再由质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。则

0

1

=Q

得

0

30







lFcsoMo

030lFcsoMo

则水平力F与力偶矩为M的关系为

olcso

M

F

30



（a）

（2）求广义坐标

D

x所对应的广义力

令曲柄AB不动，虚位移0

。此时体系相当于BC为曲柄，杆CD为连杆组成的曲

柄连杆机构。铰链C处的虚位移

2

r垂直于杆BC，由速度投影定理得

o

D

cosrr60

2



广义力为

12

D

o

D

x

rFcsorP

q

W

=Q









2

2

2

2

60



D

o

D

o

D

r

cosrcosFrP



6060



由质点系平衡条件

0

2

=Q

得

0602ocosFP

则水平力F与P的关系为

ocosFP602（b）

将式（a）代入式（b）得水平力P与力偶矩为M的关系为

l

M

cos

lcso

M

Po

o6

3

60

30

2

例题14-5如图14-10所示两重物A和B，重量分别为

1

P和

2

P，并系在细绳上，分别

放在倾角为



和



的斜面上，绳子绕过两个定滑轮与动滑轮相连。动滑轮上挂重物C，重

量为

3

P的重物。若滑轮和细绳的自重以及各处的摩擦不计，试求体系平衡时，

1

P

、

2

P和

3

P

的关系。

BA

P1

P2

P3

图14-10

Sδ3

θ

Sδ1

Sδ2

β

13

解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为重物A沿斜面向下的位移为

1

s和重物B

沿斜面向上的位移为

2

s

。重物C的竖直位移为

3

s。

（1）求广义坐标

1

s所对应的广义力

令重物B不动，虚位移0

2

s，则广义力

1

3311

1

1

1s

sPssinP

q

W

=Q











由运动关系得

132

1

ss

则上式为

1

1311

1

1

1

2

1

s

sPssinP

q

W

=Q













2

1

31

PsinP

由质点系平衡条件

0

1

Q

得

sinPP

13

2（a）

（2）求广义坐标

2

s所对应的广义力

令重物A不动，虚位移0

1

s，则广义力

2

2233

2

2

2s

ssinPsP

q

W

=Q











由运动关系得

232

1

ss

则上式为

2

2223

2

2

2

2

1

s

ssinPsP

q

W

=Q













sinPP

232

1



由质点系平衡条件

0

2

Q

得

sinPsinP

22

22(b)

由式（a）和式(b)得

1

P、

2

P和

3

P的关系为

sinPPsinP

231

22

14

当主动力是势力时，势能也是广义坐标的函数，即

)q,,q,q(VV

k



21



主动力与势能的关系由（12-27）有

)

z

V

+

y

V

+

x

V

=

iii

kjiF

i∂

∂

∂

∂

∂

∂

(

)n,,,i(21(14-14)

虚位移为

kji

r

i

j

i

j

i

j

i

j

q

z

+

q

y

+

q

x

=

q∂

∂

∂∂







)n,,,i(21(14-15)

将式(14-14)和(14-15)代入(14-10)得









k

j

j

i

ij

i

ij

i

i

k

j

j

i

j

)

q

z

z

V

+

q

y

y

V

+

q

x

x

V

q

=Q

11

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

(

∂

∂

=

r

F

i

j

q

V

=

∂

∂



(14-16)

则虚位移原理的平衡方程式(14-12)变为

0=

q

V

j

∂

∂

)k,,,j(21(14-17)

或者为

0=Vδ(14-18)

即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每

个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。

例题14-6例题14-2用广义坐标法，求试求平衡时重力P与



之间的关系。

解：此机构为1个自由度体系。广义坐标



。设铰链C为重力的零势能点，弹簧为原

长为弹力的零势能点，则体系的势能为

22

2

1

2)lcosl(ksinPlV

虚位移原理的平衡条件，

0=Vδ

得

)sinl)(lcosl(kcosPlV222

0]222[)sinl)(lcosl(kcosPl

由虚位移是任意独立的，则得

)tansin(klP2

14.3本章小结

1．约束·自由度·广义坐标

15

约束分为以下形式：

（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。

（2）运动约束：约束限制质点或质点系运动的条件。

（3）定常约束：约束方程中不显含时间的约束。

（4）非定常约束：约束方程中显含时间的约束。

（5）非完整约束：约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，

（6）完整约束：约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间

的导数，但能积分成有限形式。

（7）双侧约束：约束限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移。

（8）单侧约束：约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移。

自由度：确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目，用k表示。

广义坐标：确定质点系位置的独立参量，以

k

q,,q,q

21

表示质点系的广义坐标。

由n个质点组成的质点系，受有s约束，自由度为k，则质点系第i个质点直角坐标

形式的广义坐标为

















)t,q,,q,q(zz

)t,q,,q,q(yy

)t,q,,q,q(xx

kii

kii

kii







21

21

21

)n,,,i(21

矢量形式为

)t,q,,q,q(

kii



21

rr)n,,,i(21

2.虚位移·虚功·理想约束

虚位移:质点或质点系为约束所允许的无限小的位移。

虚功：力在虚位移上作的功。

理想约束：约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零。即

0

1





s

i

iNi

F=Wr

3.虚位移原理

具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所

有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即

0

1

==W

n

i

iF



rF

i



解析式为

0

1

=++



n

i

iziiyiixi

)zFyFxF(

4.广义坐标表示的质点系平衡方程

（1）一般的平衡问题

广义力：





n

i

j

i

zi

j

i

yi

j

i

xij

)

q

z

F

q

y

F+

q

x

F(=Q

1

∂

∂

∂

∂

∂

∂

+

16







n

i

j

i

q

=

1

∂

∂r

F

i

)k,,,j(21

广义力表示的平衡方程：

0=Q

j

即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。

（2）当主动力是势力时

广义力:

j

jq

V

=Q

∂

∂



其中，势能是广义坐标的函数，即

)q,,q,q(VV

k



21

。

平衡方程：

0=

q

V

j

∂

∂

)k,,,j(21

或者为

0=Vδ

即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每

个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。