三棱锥的三视图
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2023年2月22日发(作者：养殖鱼)８—３Ｄ 数学教学 ２０１８年第８期
一类三棱锥三视图的还原技巧
吴志鹏
（福建省德化第一中学，福建德化３６２５００）
将三视图还原成空间图形在高考题中比
较常见，它是由平面到空间的一个过渡，考查
的是学生的空间想象能力．本文以三棱锥的三
视图为例，着重分析一个面放置在投影面上三
棱锥三视图的还原问题．首先我们把由一个顶
点向底面所在的投影面进行正投影所产生的
视图称为底面视图（不一定是俯视图），由于三
棱锥底面三角形的三个顶点放置在投影面上
产生不重合的三个投影点，顶点在底面上也会
形成投影点，那么底面视图就是由四个投影点
所构成的图形（当顶点在底面的投影点与底面
三角形的某个顶点重合时投影点只有三个），
同样的侧棱在底面也会形成投影线，此时我们
只需根据视图的特征，确定哪一个是底面视
图，并寻找顶点在底面视图的投影点，作垂直
于底面的垂线段，得棱锥顶点，再连结顶点与
底面三角形各个顶点，即可快速还原出三棱
锥，进而解决与三棱锥相关的一些问题．
１ 当顶点在底面的正投影落在底面三角形的
内部或边上
１．１ 顶点在底面的正投影落在底面三角形的
顶点上
底面视图形如图１，此时棱锥的一条侧棱
与底面垂直，那么在另外两个视图中可见底面
三角形某个顶点处两条互相垂直的投影线；如
若找不到，则有这样特征的视图也不可能作为
底面视图．那么过这个顶点向底面作垂线段，
得顶点，再连结顶点与底面三角形各个顶点还
原得三棱锥．
图１
例１ （２０１５年高考北京卷理科试题）某
三棱锥的三视图如图２所示，则该三棱锥的表
面积是………………………………（ ）．
Ｌ·————一２——————
正（主）视图
俯视图
Ｔ
１
＿ｉＩ
图２
Ｓ－－１———·一Ｉ
侧（左）视图
（Ａ）２＋，／５； （Ｂ）４＋√５；
（ｃ）２＋２，／５； （Ｄ）５．
分析：由于俯视图是三角形，在顶点ｃ处
的正视图可观察到互相垂直的投影线，所以
俯视图可作为底面视图，点ｃ则为顶点在底
面的投影点．过点Ｃ作ＰＣ上平面ＡＢＣ，ＰＣ＝
１（侧视图可知），得点Ｐ．连结ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，还
原出三棱锥Ｐ—ＡＢＣ．取ＡＢ棱的中点Ｄ，连结
ＣＤ、ＰＤ（如图３），有ＰＤ上ＡＢ，ＣＤ ｊ＿ＡＢ．底
面ＡＢＣ为等腰三角形，底边ＡＢ上的高ＣＤ为
２，ＡＤ＝ＢＤ＝１，尸ｃ＝ｌ，ＰＤ＝√５，Ｓ△ＡＢｃ＝
×２×２：２，５ ： ×２× ： ，
１—— ＡＣ＝ Ｇ＝√５，ｓ△ＰＡｃ＝ｓ△眦：÷×，／５×１：
ｌｉ
．所以，三棱锥的表面积Ｓ表＝２ ＋２．答案
为（Ｃ）．
２０１８年第８期 数学教学 ８—３ｌ
Ｐ
图３
Ｃ
１．２顶点在底面的正投影落在底面三角形的
边上
底面视图形如图４，顶点在底面的正投影
必为点０，过点０作底面的垂线段，根据另外
两个视图得高，取顶点，再连结顶点与底面三
角形各个顶点，还原得三棱锥．
图４
例２一个四面体的三视图如图５所示，
则该四面体俯视图的周长是 ．
２—十２ ２
卜～３———一．＋一１－＇－ｔ
图５
四面体的正、俯视图形具备如图４的特
征，可取其中一个视图作为底面视图，如取俯
视图作为底面视图，此时顶点在底面的正投影
为点Ｏ．过点０作底面的垂线段，长度为２（由
侧视图的高可得），取顶点Ｐ，再连结 、Ｐ 、
ＰＣ，还原得三棱锥（如图６）．由视图可知ＡＣ＝
Ｐ
图６
Ｃ
４，ＢＤ上ＡＣ，ＢＤ＝２４ｒ２
，点Ｄ为ＡＣ中点，所以
ｒ———————————＝——一 ＢＡ＝ＢＣ＝４２ ＋（２√２） ＝２ ，周长为４＋
４矗．
例３（２０１４年高考全国Ｉ卷理科试题）
如图７，网格纸上小正方形的边长为ｌ，粗实线
画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各
条棱中，最长的棱的长度是…………（ ）
（Ａ）６√２；
（Ｃ）４√２；
图７
（Ｂ）６；
（Ｄ）４．
分析：由于三视图中的正视图形具备如图
４的特征，可作为底面视图，此时顶点在底面的
正投影为点０．过点Ｏ作底面ＡＡＢＣ的垂线
段，长度为４（侧视图等腰三角形的高），取顶点
Ｐ，再连结 、船、ＰＣ，还原得图８所示的三棱
锥．此时ＰＯ上面ＡＢＣ．连结ＯＡ，
由正视图可知ＡＢ＝ＢＣ＝４，点Ｄ是ＢＣ的
中点，在Ｒｔ△ＰＯＡ中，ＰＡ＝，／ＰＯ ＋ＯＡ ＝
￣／（４ ＋２。）＋４ ＝６，为最长棱，故选（Ｂ）．
Ｐ
图８
Ｄ
Ｃ
思考：（１）能否将侧视图作为底面视图？
底面视图为三角形时，此时在正视图中对应点
处有两条互相垂直的投影线，只需在点Ｂ处
作面ＢＰＣ的垂线段，长为４（正视图的长），取
顶点４，再连结ＡＢ、ＡＰ、ＡＣ，还原得图８所示的
一
一
８～ 数学敦学 ２０１８年第８期
三棱锥．（２）能否将俯视图作为底面视图？答
案是否定的，因为三角形各个顶点在另两个视
图对应点处找不到互相垂直的两条投影线．
１．３ 顶点在底面的正投影落在底面三角形的
内部
底面视图形如图９，顶点在底面的正投影
必为侧棱在三角形内部的投影线的交点，过此
点作底面的垂线段，根据另外两个视图得高，
取顶点，再连结顶点与底面三角形各个顶点还
原得三棱锥．
图９
例４已知正三棱锥Ｖ—ＡＢＣ（底面为正三
角形，且顶点在底面的射影是底面三角形的中
心）的正视图、侧视图和俯视图如图ｌ０所示，
则侧视图的面积为
． 一 Ｃ侧视图，／１
图１０
Ｂ
图１１
分析：由于三视图中的俯视图形如图９，可作
为底面视图，此时顶点在底面的正投影为点０，过
点０作底面的垂线段，取顶点 ，再连结 、馏、
还原得三棱锥（如图１１）．因为点Ｄ是底面三
１ ，＇ 角形的中心，所以ＡＯ＝ Ｄ＝÷· ·Ａ ＝
Ｊ Ｄ ‘
一 孚·２ ＝２．由正视图可知ＶＡ＝４，在
Ｄ
Ｒｔ△ Ａ中， ＝ 一ＡＤ ： 一２ ：
２√３，则侧视图的高为２４＇３，宽ＢＣ为２ ，所以侧
１ 视图的面积ｓ＝÷·２４＇３·２ ＝６．
２当顶点在底面的正投影落在底面三角形的
外部
２．１顶点在底面的正投影落在底面三角形的边
的延长线上
底面视图形如图４，由于顶点在底面的正投
影落在底面三角形边的延长线上，此时另两个
视图中定能找到一个钝角三角形，顶点在底面
视图上的投影点必为视图所构成三角形的顶
点，过此点作底面的垂线段，根据另外两个视图
得高，取顶点，再连结顶点与底面三角形各个顶
点，还原得三棱锥．
例５ （２０１６年高考北京卷）某三棱锥的
三视图如图ｌ２所示，则该三棱锥的体积为…
……………………………………（ ）
工
——一１——— 一１
（Ａ） ；
Ｏ
（ｃ） １；
图１２
（Ｂ） ； ｊ
（Ｄ）１．
分析：由于三视图中的俯视图形如图ｌ３，
可作为底面视图．因正视图为钝角三角形，知
三棱锥的顶点在底面的正投影落在底面视图
ＡＢＯＣ的顶点Ｄ上．过点０作底面的垂线段，长
度为１（侧视图的高），取顶点Ｐ，连结 、 、
１ ＰＣ，还原得三棱锥．此时， ｃ＝÷５△ ·ｈ＝
Ｊ
１ １ １ ÷·÷·１·ｌ·ｌ＝－Ｕ ，故选（Ａ）．
Ｐ
０
图１３
Ｃ
２．２ 顶点在底面的正投影落在底面三角形的
外部（非边的延长线上）
底面视图形如图１４，由于顶点在底面的正
２０１８年第８期 数学教学 ８—３３
向量法解立体几何题的点坐标求法
２０１７年高考浙江卷立体几何解答题的方法总结
徐晓宇屈黎明
（浙江省宁海中学，浙江 宁海３１５６００）
２０１７年高考浙江卷数学第１９题考查的是
线面平行的判定和线面角的求解问题，着重考
查学生空间想象能力、推理能力、运算能力和
逻辑思维能力．第（Ｉ）题线面平行的证明对考
生来说难度不大，而第（Ⅱ）题却把许多考生难
倒了，据高考阅卷老师反映第（Ⅱ）题学生得分
率非常低．是什么原因使这道题得分率如此之
低？分析这道题与平时训练的同类型题的区
别，我们就可以找到原因．
第（Ⅱ）题若用传统几何法求解，学生需具
有较高的空间想象能力，而这道题不仅辅助线
难以作出，运算量也较大．这种情况下，学生一
般会选择建立空间直角坐标系，利用空间向量
来求解．然而，本题与平时训练的同类型题的
区别是：建立空间直角坐标系后某些点的坐标
不易求出．这就是本题得分率低的原因．因此，
破解向量法解立体几何题中点坐标难求问题，
是一个值得我们研究的课题．本文将通过探讨
第（Ⅱ）题的一题多解，来归纳出解决这类问题
的一般方法．
的各个顶点，还原得三棱锥． 图 ６
图ｌ４
例６一个四面体的三视图如图１５所示，
边长为１的等腰直角三角形和边长为１的正方
形，则该四面体的表面积是
图ｌ５
分析：由于三视图中的俯视图形如图１４，
可作为底面视图，则三棱锥顶点在底面的正投
影落在底面四边形ＡＢＣＯ的顶点０上．过点０
作底面的垂线段，长度为１（侧视图的高），取顶
点Ｐ，连结 、船、ＰＣ还原得三棱锥．此时三
棱锥两个侧面△ＢＰＣ和ＡＢＰＡ为直角边为１
和 的两个全等直角三角形，而ＡＰＡＣ则为边
长为 的等边三角形，ＡＡＢＣ为直角边长为１
的等腰直角三角形，所以四面体的表面积Ｓ＝
ｓ ＢＰｃ＋ｓ ＢＰＡ＋Ｓ ｃ＋ｓ ＡＢｃ： ·１‘０２＋
·
１· ＋ １
· · ·
√５３－＋ １·１·１＝丢＋
＋ ２．