绝对值的代数意义
融科心贻湾-花钟
2023年2月22日发(作者：春节日记)第二(dìèr)讲绝对值
绝对值是初中代数(dàishù)中的一个基本概念，在求代数式的值、化
简代数式、证明(zhèngmíng)恒等式与不等式，以及(yǐjí)求解方程与不等
式时，经常会遇到含有绝对值符号(fúhào)的问题，同学们要学会根据绝对
值的定义来解决这些问题。
下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；
零的绝对值是零。即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相
关。在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值。
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好
互为相反数。反之，相反数的绝对值相等也成立。由此还可得到一个常用
的结论：任何一个实数的绝对值是非负数。
例1a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜
b｜；
(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则
a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜。
解(1)不对。当a，b同号或其中一个为0时成立。(2)对。(3)对。
(4)不对。当a≥0时成立。(5)不对。当b＞0时成立。
(6)不对。当a＋b＞0时成立(chénglì)。
例2设有理数a，b，c在数轴(shùzhóu)上的对应点如图1-1所示，化
简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜。
解由图1-1可知(kězhī)，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜
＞｜b｜＞0。根据有理数加减运算的符号(fúhào)法则，有b-a＜0，a＋c＜
0，c-b＜0。
再根据(gēnjù)绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c。
于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c。
例3已知x＜-3，化简：|3+｜2-|1+x|||。
分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去
绝对值符号。
解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
=｜-x｜=-x。
解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0。
(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
(3)当a，b，c中有两个(liǎnɡɡè)大于零，一个(yīɡè)小于零时，
原式=1；
(4)当a，b，c中有两个(liǎnɡɡè)小于零，一个(yīɡè)大于零时，
原式=-1。
说明(shuōmíng)本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个
数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时
很常用。
例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值。
解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x。由｜x｜=3，｜y｜=2可知，
x＜0，即x=-3。
(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5。
所以x+y的值为-1或-5。
例6化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜。
分析本题是两个绝对值和的问题。解题的关键是如何同时去掉两个绝
对值符号。若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事。例如，化简｜
3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对
值符号。这里我们是分x≥-
1
3
与
x<-
1
3
两种情况加以讨论的，此时，x=
1
3
是一
个分界点。类似地，对于|2x-1|而言，x=
1
2
是
一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点-
1
3
和
1
2
标
在数轴上，把数轴分为三个部分(如图1－2所示)，即x<-
1
3
，-
1
3
≤
x<
1
2
，x≥
1
2
，这样我们就可以分类讨论化简了。
解（1）当x<-
1
3
时，原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
（2）当-
1
3
≤x<
1
2
时，原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
（3）当x≥
1
2
时，原式=(3x+1)+(2x-1)=5x。
说明(shuōmíng)解这类题目(tímù)，可先求出使各个绝对值等于零的
变数(biànshù)字母的值，即先求出各个(gègè)分界点，然后(ránhòu)在数
轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些
取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”。
例7已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值。
分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出
y的最大值，再加以比较，从中选出最大者。
解有三个分界点：-3，1，-1。
(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4。
(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6。
(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6。
(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0。
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6。
例8设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值。
分析(fēnxī)本题(běntí)也可用“零点(línɡdiǎn)分段法”讨论(tǎ
olùn)计算，但比较(bǐjiào)麻烦。若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-
c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利。
解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜
x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段
BX，CX，DX之长。现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值
最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最
小。
因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-
a)+(c-b)。
练习二
1。x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)。
2。化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜。
3。若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜。
4。已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值。
5。设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中(qízhōng)0＜p＜15，对
于(duìyú)满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少(duōshǎo)？
6。已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值。
7。不相等(xiāngděng)的有理数a，b，c在数轴(shùzhóu)上的对应点
分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为()。
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能。
内容总结
（1）第二讲绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数
式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含
有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问
题
（2）第二讲绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数
式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含
有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问
题