常微分方程求解
biss0001-家长感言30个字
2023年2月22日发(作者：一切都是瞬息)常微分方程解题方法总结
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常微分方程解题方法总结
来源：文都教育
复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍.接下来，如何将零散的知
识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题.为了加强记忆，使知识自成
体系，建议将知识点进行分类系统总结.著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读
书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要.
以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方
程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具
体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法.下面以表
格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询.
常微分方程
(名称、形式)
通解公式或解法
可分离变量的方程)()(ygxf
dx
dy
当0)(yg时，得到dxxf
yg
dy
)(
)(
，
两边积分即可得到结果；
当0)(
0
g时，则
0
)(xy也是方程的
解.
齐次微分方程)(
x
y
g
dx
dy
解法：令
x
y
u，则udxxdudy，代
入得到)(ugu
dx
du
x化为可分离变量方程
一阶线性微分方程
)()(xQyxP
dx
dy
()()(())PxdxPxdxyeQxdxCe
3
伯努利方程
nyxQyxP
dx
dy
)()(（n≠0,1）
解法：令nyu1，有
dyyndun)1(，
代入得到)()1()()1(xQnuxPn
dx
du
二阶常系数齐次线性微分方程
0ypxyqxy
求解特征方程：20pq
三种情况：
(1)两个不等实根：
12
,
通解：12
12
xxycece
(2)两个相等实根：
12
通解：
12
xyccxe
(3)一对共轭复根：,i
通解：
12
cossinxyecxcx
二阶常系数非齐次线性微分方程
()ypxyqxyfx
通解为0ypxyqxy
的通解与
()ypxyqxyfx
的特解之和.
常见的()fx有两种情况：
（1）)()(xPexf
m
x
若不是特征方程的根，令特解
x
m
exQy)(
；若是特征方程的单根，令
特解
()x
m
yxQxe
；若是特征方程的重
根，令特解*2()x
m
yxQxe
；
（2）
()[()cos()sin]x
mn
fxePxxpxx
4
当i不是特征值时，令
12
*[()cos()sin]x
nn
yeQxxQxx，当
i是特征值时，令
*[()cos()sin]x
nn
yxeQxxQxx
以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似
的形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中
比较实用的方法.