北京市第五中学

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2023年2月18日发(作者：)

试卷第1页，共4页

北京五中2021-2022学年度第一学期期末考试

高一数学

一、单项选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．全集3,2,1,0,1,2,3,4,5U，集合

2{|5,Z}Axxx

，则

U

A=ð（）

A．

{3,2,2,3,4,5}

U

Að

B．

{3,3,4,5}

U

Að

C．

{3,4,5}

U

Að

D．

{2,1,0,1,2}

U

Að

2．在直角坐标系

xOy中，已知

43

sin,cos

55



，那么角



的终边与单位圆

O

坐标为

（）

A．

34

,

55









B．

43

,

55









C．

34

,

55









D．

43

,

55









3．已知实数

x，

y

满足，2224xy，则

xy

的最大值为（）

A

．

22

B

．

1C

．

2

D

．

2

4．函数xya

（

0a

且

1a

）与函数2(1)yaxx

在同一坐标系内的图象可能是（）

A．B．

C．D．

5．已知

cos28a

，则

cos(602)

（）

A．

a

B．

a

C．21a

D．21a

6．函数1

lnfxx

x



的零点所在的区间为（）

试卷第2页，共4页

A．0,1

B．1,2

C．2,3

D．3,4

7．设

ln3a

，1

33b

，

1

lg

3

c

，则

a，

b

，c的大小关系为（）

A

．abcB

．

bca

C

．cab

D

．cba

8．甲：“x是第一象限的角”，乙：“

sinx

是增函数”，则甲是乙的（）

A

．充分但不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充要条件

D

．既不充分又不必要条件

9．已知函数

()sin()(0,0,1)fxAxA的部分图象如图所示，下列结论正确的

个数是（）

①

4





②将

()fx

的图象向右平移1个单位，得到函数

2sin

4

yx





的图象

③

()fx

的图象关于直线

1x

对称

④若

12

4xx，则

12

()()4fxfx

A

．

0

个

B

．

1

个

C

．

2

个

D

．

3

个

10．已知函数

()ln()fxaxb的单调区间是(1,)，那么函数

()(1)()axbxgxa

在区间

(12)，

上（）

A

．当1a时，有最小值无最大值

B

．当1a时，无最小值有最大值

C

．当01a时，有最小值无最大值

D

．当01a时，无最小值也无最大值

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11

．函数

()sincos1fxxx的最小值为

________

．

12．已知幂函数

()afxx=

过点

(28)，，若

0

()5fx

，则

0

x

________．

13

．已知

R

上的奇函数()fx

是增函数，若()(31)0fafa，则a的取值范围是

________

．

试卷第3页，共4页

14．已知函数

1

,02,

()

log(2),2,

a

xx

fx

x

xx

















且关于x的方程

()fxt

有四个不等实根，写出一个

满足条件的t值

________

．

15．设函数log1(1)

a

fxxa，则fx

是_________（填“奇函数”或“偶函数”）；对于

一定的正数T，定义





,,

,,T

fxfxT

fx

fxfxT

















则当

1

T

a



时，函数

T

fx的值域为_________．

三、解答题（共6小题，共85分）

16．已知集合

{|61Ayyx，

01}x

，

2{|20}Bxxxm

.

（1）当

3m

时，求

()

R

ABð

；

（

2

）当{|25}ABxx时，求实数m的值

.

17．已知函数

()2sin()(0,)

22

fxx





的最小正周期为



，再从下列两个条件

中选择一个作为已知条件：

条件①：

()fx

的图象关于点

(,0)

3



对称；

条件②：

()fx

的图象关于直线

12

x





对称．

(1)

请写出你选择的条件，并求()fx

的解析式；

(2)在（1）的条件下，当

[,]

36

x





时，求

()fx

的最大值和最小值，并指出相应的x取值．

注；如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18

．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵

.

经研究发现湟鱼的游速可

以表示为函数

2

1

log

2100

v





，单位是

m/s

，



是表示鱼的耗氧量的单位数．

(1)

当一条湟鱼的耗氧量是

500

个单位时，求它的游速是多少？

(lg20.3)

(2)

某条湟鱼想把游速提高

1m/s

，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？

19

．已知定义在

R

上的函数()fx

满足：

①对任意实数x，

y

，均有

()()2()()fxyfxyfxfy

；

②(1)0f；

③对任意[0,1)x，()0fx．

(1)

求

(0)(2)ff的值，并判断

()fx

的奇偶性；

(2)

对任意的

x

∈

R

，证明：

(4)()fxfx；

试卷第4页，共4页

(3)

直接写出()fx

的所有零点

(

不需要证明

)

．

20．已知函数

2

2

()

1

fx

x





，

(1)

指出()fx

的单调区间，并用定义证明当

(1)x，

时，

()fx

的单调性；

(2)设

()lg|()|gxfx，关于x的方程()gxm有两个不等实根

1

x

，

2

x

，且

12

xx，当

1

2x

时，求m的取值范围．

21．已知函数2()sin()sin()2cos

662

x

fxxx



，（其中

0

）．

(1)

求函数()fx

的值域；

(2)

如果函数()fx

在(0,1]恰有

10

个零点，求

()fx

最小正周期的取值范围．

答案第

1

页，共

11

页

1

．

B

【分析】

先求出集合

A,

再根据补集定义求得答案

.

【详解】

由题意，|55,Z2,1,0,1,2Axxx

，则{3,3,4,5}

U

Að

.

故选：

B.

2

．

A

【分析】

利用任意角的三角函数的定义求解即可

【详解】

因为

43

sin,cos

55



，

所以角



的终边与单位圆

O

坐标为

34

,

55









，

故选：

A

3

．

C

【分析】

运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值进行求解

【详解】

由2224xy，得

22

1

42

xy



，

令

2cos

2sin

x

y



















，则

22sincos2sin2xy

，

因为

1sin21

，

所以22sin22，即

22xy

，

所以

xy

的最大值为2，

故选：

C

4

．

C

【解析】

分1a，01a两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴

答案第

2

页，共

11

页

选出正确答案

.

【详解】

解：当1a时，xya

为增函数，2(1)yaxx

开口向上，对称轴



1

0

21

x

a





，

排除B,D；当01a时，xya

为减函数，2(1)yaxx

开口向下，

对称轴

1

0

21

x

a





，排除A,

故选

:C.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)

从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)

从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)

从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)

从函数的特征点，排除不合要求的图象

.

5

．

B

【分析】

利用诱导公式将

cos(602)

化简，求值即可得答案.

【详解】

cos(602)cos(2360602)cos118

cos(9028)sin28a,

故选：

B

6

．

B

【分析】

先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解

.

【详解】

由

1

x

为减函数，而

lnx

也为减函数，

所以

1

lnfxx

x



为减函数，

由

11

(1)10,(2)ln2ln0

22

ffe

，

答案第

3

页，共

11

页

所以零点在区间1,2

上，

故选：

B

7

．

D

【分析】

根据指数函数和对数函数的单调性，再结合

0,1

两个中间量即可求得答案

.

【详解】

因为

ln3lne1a

，

1

0

30331b

，

1

lglg10

3

c

，所以

cba

.

故选：

D.

8

．

D

【分析】

由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解．

【详解】

由

x

是第一象限的角，不能得到

sinx

是增函数；

反之，由

sinx

是增函数，

x

也不一定是第一象限角．

故甲是乙的既不充分又不必要条件．

故选

D

．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题．

9

．

C

【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出

A

，由周期求出



，可判断①，由点的坐标代入求得



，可

得函数的解析式

,

再根据函数图象的变换规律可判断②，将

1x

代入解析式中验证，可判

断③；根据三角函数的图象和性质可判断④，即可得到答案．

【详解】

由函数图象可知：2A,

函数的最小正周期为4(53)8T，故

2

84





，

将(3,0)代入解析式中：

2sin(3)0

4





，得：

3

,

4

kkZ





由于|)1，故

4





，故①错误；

答案第

4

页，共

11

页

由以上分析可知()2sin()

44

fxx



，将

()fx

的图象向右平移1个单位，得到函数

2sin[(1)]2sin

444

yxx





的图象，故②正确；

将

1x

代入()2sin()

44

fxx



得

(1)2sin002f，故③错误；

由于函数()2sin()

44

fxx



的最小正周期为8，而

12

4

2

T

xx

,

故

12

(),()fxfx不会出现一个取到最大或最小值另一个取到最小或最大的情况，

故

12

()()4fxfx，故④正确，

故选：

C

10

．

D

【分析】

依题意不等式

0axb

的解集为（

1

，

+∞

），即可得到

0a

且

0ab

，即

0ab

，再根

据二次函数的性质计算

()gx

在区间（

-1

，

2

）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值

情况．

【详解】

因为函数

()ln()fxaxb

的单调区间是(1,)，

即不等式

0axb

的解集为（

1

，

+∞

），

所以

0a

且

0ab

，即

0ab

，

所以2

(1)()(1)()axaxbxgxaa

,

当1a时，2(1)yax

在

(12)，上满足20(1)9axa

，

故2

(1)()axgxa

此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；

当01a时，2(1)yax

在

(12)，上满足20(1)9axa

，

此时2

(1)()axgxa

为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，

故选：

D.

11

．

12

##21

【分析】

用辅助角公式将函数整理成()sinfxAxB

的形式，即可求出最小值

【详解】

答案第

5

页，共

11

页

()2sin1

4

fxx











，

xR

，所以()2sin1

4

fxx











最小值为21

故答案为：12

12．35##1

35

【分析】

先由已知条件求出



的值，再由

0

()5fx

可求出0

x的值

【详解】

因为幂函数

()afxx=

过点

(28)，，

所以

28

，得

3

，

所以

3()fxx

，

因为

0

()5fx

，所以3

0

5x

，得3

0

5x

，

故答案为：35

13．

1

,

4









【分析】

先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案

.

【详解】

因为函数为奇函数，所以()(31)0()(31)13fafafafafa

，而函数在R上

为增函数，则

1

13,

4

aaa









.

故答案为：

1

,

4









.

14

．

2.1t

（t在

2,2.5之间都可以）

.

【分析】

画出函数

()fx

的图象，结合图象可得答案

.

【详解】

答案第

6

页，共

11

页

如图，当

02x

时，

1

()2fxx

x



，当且仅当

1x

时等号成立，

当2x时，

1

()2.5fxx

x

，

要使方程

()fxt

有四个不等实根，只需使

22.5t

即可，

故答案为：

2.1t

（t在

2,2.5之间都可以）

.

15．偶函数

11

,0,

aa











【分析】

利用函数奇偶性的定义判断fx

的奇偶性；分别求出分段函数每段上的值域，从而求出



1

a

fx

的值域为

11

,0,

aa











.

【详解】

函数fx

定义域为R，且log1log1

aa

fxxxfx，故fx

是偶函数；







1

1

,

1

,a

fxfx

a

fx

fxfx

a





















，因为1a，所以

1

01

a



，当

1

log1

a

x

a



时，



1

1

log10,

a

a

fxx

a









，当

1

log1

a

x

a



时，

1

1

log1,

a

a

fxx

a









，故



1

a

fx

的值域为

11

,0,

aa











故答案为：偶函数，

11

,0,

aa











16．（1）35xx∣或1x

；（2）

8

.

【解析】

答案第

7

页，共

11

页

（

1

）可以求出

{|15}Ayy

，

3m

时，可以求出{|13}Bxx，然后进行补集､

交集的运算即可；

（

2

）根据{|25}ABxx即可得出，2x是方程220xxm

的实数根，带入方程

即可求出m

.

【详解】

（

1

）

{|15}Ayy

，

3m

时，{|13}Bxx；

{|1

R

Bxxð

或

3}x；

(){|35

R

ABxxð或1}x；

（

2

）

{|25}ABxx

；

2x

是方程220xxm

的一个实根；

440m，

8m

.

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集､补集的运算，

以及一元二次不等式的解和对应一元二次方程的实根的关系，属于基础题

.

17．(1)

()2sin(2)

3

fxx





；

(2)

3

x





时，

()fx

有最小值

3

，

12

x





时，

()fx

有最大值2.

【分析】

（1）若选①，根据周期求出



，然后由2Z

3

kk





并结合



的范围求出



，最后

求出答案；若选②，根据周期求出



，然后由2Z

122

kk





并结合



的范围求出



，最后求出答案；

（

2

）结合（

1

），先求出

x

的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案

.

(1)

若选①，由题意，

2

2









，因为函数的图象关于点

(,0)

3



对称，所以



2

2ZZ

33

kkkk





，而

22





，则

3



，于是

答案第

8

页，共

11

页

()2sin(2)

3

fxx





.

若选②，由题意，

2

2









，因为函数的图象关于直线

12

x





对称，所以

2ZZ

1223

kkkk





，而

22





，则

3



，于是

()2sin(2)

3

fxx





.

(2)

结合（1），因为

[,]

36

x





，所以

2

2,

333

x













，则当

2

333

xx





时，

()fx

有最小值为

()2sin()3

33

f





，当

2

3212

xx





时，

()fx

有最大值为

()2sin2

122

f





.

18

．

(1)

约为

1.17m/s

；

(2)4.

【分析】

（

1

）将

500

代入函数的解析式解得即可；

（2）根据现在和以前的游速之差为1列出等式，进而解得

2

1





即可.

(1)

由题意，游速为

22

111lg21111

loglog5111.17

210022lg22lg220.

50

3

0

v

















m/s

.

(2)

设原来和现在耗氧量的单位数分别为

12

,，所以

2122

222

11

11

loglog1log24

21002100







，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.

19

．

(1)

(0)(2)ff＝

2

，

f(x)

为偶函数；

(2)

证明见解析；

(3)

21n+

，

nZ

.

【分析】

(1)

令

x

＝

y

＝

0

可求

f(0)

；令

x

＝

y

＝

1

可求

f(2)

；令

x

＝

0

可求奇偶性；

答案第

9

页，共

11

页

(2)

令

y

＝

1

即可证明；

(

3

)

f

(1)

0，()fx

是以

4

为周期的周期函数，由偶函数的性质可得

(1)0f

，从而可得

()fx

的

所有零点．

(1)

∵对任意实数x，

y

，均有

()()2()()fxyfxyfxfy

，

∴令x0y

，则(0)(0)2(0)(0)ffff，可得

(0)[(0)1]0ff

，

∵对任意

[0x,1)

，()0fx，∴

f(0)

＞

0

，

∴(0)1f；

令1xy，则2202120021ffffff；

∴02112ff

；

∵

f(x)

定义域为

R

关于原点对称，且令

0x

时，

202fyfyffyfyfyfyfyfy

，

∴fx

是R上的偶函数；

(2)

令1y，则1121110fxfxfxffxfx

，

则202fxfxfxfx

，

∴4222fxfxfxfxfx







，

即4fxfx

；

(3)

f

(1)

0，且()fx

是以

4

为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得

(1)0f

，从而可得

f(

－

1)

＝

f

(1)

＝

f(3)

＝

f(5)

＝

…

＝

0

，故

f(x)

的零点为奇数，

即

f(x)

所有零点为

21n+

，

nZ.

20

．

(1)

增区间为

(,1),(1,0)，减区间为(0,1),(1,)；证明见解析

(2)

2

lglg2

3

m

【分析】

（

1

）根据函数的解析式特点可写出其单调区间，利用函数单调性的定义可证明其单调性；

答案第

10

页，共

11

页

（2）写出()lg|()|gxfx的表达式，将()gxm整理为

2

2

||10

1

m

x





即关于x的方程()gxm

有两个不等实根

1

x

，

2

x

，且

12

xx，

1

2x，即

2

2

|1|

10m

x

，(1)x

在

(2,)

上有两个

不等实根，然后数形结合解得答案

.

(1)

函数

2

2

()

1

fx

x





的增区间为(,1),(1,0)，减区间为(0,1),(1,)；

任取

12

,(1,)xx

，不妨令

12

xx，

则

22

2121

21

222222

121

12

212

2()

2()

22

11(1)

()(

(1)(1

)

)(1)

xxxx

xx

xxxx

f

x

xfx

x











，

因为

12

,(1,)xx

，

12

xx，故

22

212112

0,0,10,10xxxxxx

，

所以



2121

22

12

2()

0

(1)(1)

xxxx

xx







，即

1212

()()0,()()fxfxfxfx，

所以函数

2

2

()

1

fx

x





在(1)x，时为单调减函数；

(2)

2

2

()lg|()|lg||

1

gxfx

x





，则()gxm即

2

2

||10

1

m

x





，

也即

2

2

|1|

10m

x

，(1)x

，

因此关于x的方程()gxm有两个不等实根

1

x

，

2

x

，且

12

xx，

1

2x，

即

2

2

|1|

10m

x

，(1)x

在

(2,)

上有两个不等实根，

作出函数2|1|yx的图象如图示：

故要满足

2

2

|1|

10m

x

，(1)x

在

(2,)

上有两个不等实根，

答案第

11

页，共

11

页

需有

2

13

10m



，即

2

lglg2

3

m

.

21．(1)3,1

(2)

115

(,]

530424





【分析】

（

1

）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简，将

()fx

化为只含有一个三角函数的形

式，然后利用三角函数性质求解；

（2）将()2sin()1

6

fxx



在(0,1]恰有10个零点变为

1

sin()

62

x





在在

(0,1]恰有10个

解的问题，列出相应不等式即可求解

.

(1)

3131

()sincossincos(cos1)

2222

fxxxxxx

31

2(sincos)1

22

xx

2sin()1

6

x



，

由1sin()1

6

x



