四种命题
pmc模式-肖申克的救赎观后感
2023年2月22日发(作者：中英对照)百度文库
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四种命题·典型例题
能力素质
例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1yxy
k
x
[]
Ayxy
Bykxxy
Cxyy
．若≠，则与成正比例关系
．若≠，则与成反比例关系
．若与不成反比例关系，则≠
k
x
k
x
Dyxy．若≠，则与不成反比例关系
k
x
分析条件及结论同时否定，位置不变．
答选D．
例2设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它
的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．
分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了．
解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对
顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个
角不是对顶角．
例3“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________．
分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．
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解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则0Pp
≠{x||x|＜1}”
例4分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题
和逆否命题．
分析根据命题的四种形式的结构确定．
解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．
说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y
不全为0”，这要特别小心．
例5有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是ABBAB
[]
A．①②B．②③
C．①③D．③④
分析应用相应知识分别验证．
解写出相应命题并判定真假
①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；
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②“不相似三角形周长不相等”为假命题；
③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；
选C．
点击思维
例6以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
①内接于圆的四边形的对角互补；
②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；
分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三
种形式命题．
解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；
逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；
否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；
逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．
对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b
＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，
“a＋c＝b＋d”是结论．所以：
逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注
意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；
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逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．
逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝
b，c＝d两个等式至少有一个不成立”
说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，
则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．
例7已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，
x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
分析如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有
反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a范围比较简单．
解由
－－＜
－－＜
＋＜
得
16a4(34a)0
(a1)4a0
4a8a0
2
22
2
说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．
学科渗透
例8分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真
假．
①＞时，－＋＝无实根；mmxx102
1
4
②当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0．
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分析改造原命题成“若p则q形式”再分别写出其逆命题、否命题、
逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．
解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真mmxx102
1
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命题；
逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；
否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；
逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．
mxx10m
mmxx10
mxx10m
2
2
2
1
4
1
4
1
4
②原命题；“若abc＝0，则a＝0或b＝0或c＝0”，是真命题；
逆命题：“若a＝0或b＝0或c＝0，则abc＝0”是真命题；
否命题：“若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0”，是真命题；(注意：“a＝
0或b＝0或c＝0”的否定形式是“a≠0且b≠0且c≠0”
逆否命题：“若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0”，是真命题．
说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．
例若、、均为实数，且＝－＋
π
，＝－＋
π
，
＝－＋
π
，求证：、、中至少有一个大于．
9abcax2yby2z
cz2xabc0
22
2
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6
分析如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用
反证法．
解设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0，
而
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abc(x2y)(y2z)(z2x)222＋＋＝－＋
π
＋－＋
π
＋－＋
π
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＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)
∴a＋b＋c＞0这与a＋b＋c≤0矛盾．
因此a、b、c中至少有一个大于0．
说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．
词语大于(＞)是都是所有的…任意一个…至少一个…
否定不大于(≤)不是不都是至少一个不…某个不…一个也没有…