因式分解的步骤
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2023年2月22日发(作者：酒店客房管理)因式分解的方法
因式分解
因式分解（factorization）
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是
中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学
之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，
技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必
需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都
有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式
法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有
拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因
式。
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这
个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分
解因式的方法叫做提公因式法.。
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系
数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数
取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”
号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有
两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数
(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a
+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a
+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运
用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两
项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分
解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数
的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将
某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋（pq）
x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么
kx^2＋mx＋n＝（axb）（cxd）
a-----/bac＝kbd＝n
c/-----dad＋bc＝m
※多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分
解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项
法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-
a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）
是x^2+5x+6的一个因式。
经典例题：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1
+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy
^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,
x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同
因数的积，所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式
提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x^3-2x^2-x(2003淮安市中考题)
x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过
来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a^2+4ab+4b^2(2003南通市中考题)
解：a^2+4ab+4b^2=（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分
成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式
b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从
而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m^2+5n-mn-5m
解：m^2+5n-mn-5m=m^2-5m-mn+5n
=(m^2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx^2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且
ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x^2-19x-6
分析：
1-3
72
2-21=-19
解：7x^2-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个
完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x^2+3x-40
解x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-a
b(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个
未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x^4-x^3-6x^2-x+2
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式
可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例8、分解因式2x^4+7x^3-2x^2-13x+6
解：令f(x)=2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2，-3，-2，1
则2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-
1)
9、图像法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的
交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)
=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例9、因式分解x^3+2x^2-5x-6
解：令y=x^3+2x^2-5x-6
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排
列，再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-c
b)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适
当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形
式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x^3+9x^2+23x+15
解：令x=2，则x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=1
05
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x
+3，x+5，在x=2时的值
则x^3+9x^2+23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5），
验证后的确如此。
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求
出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x^4-x^3-5x^2-6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次
因式。
解：设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx
+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
所以解得
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，
在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之
中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章
分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能
力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，
则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用
四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项
提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a
－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要
提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9
x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）
＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?
如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋
2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式
分解。
证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋
2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c
＝0，
即a＝c，△abc为等腰三角形。
例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因
式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xny
n－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么
先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式
的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉
1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1
－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）2（3
x－4p－3）的错误。
例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋
6）（x－6）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不
能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提
公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项
式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y
2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基
本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句
话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组
分解要合适”是一脉相承的。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12
【分析】：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行
因式分解
解：x2y2
①②③
x3y6
∴原式=（x+2y+2)(x+3y+6)
双十字相乘法其步骤为：
⑴先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+
6y^2=(x+2y)(x+3y)
⑵先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图
②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
⑶再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图
③，这一步不能省，否则容易出错
一、基本方法
因式分解（factorization）是中学数学中最重要的恒等变
形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学
问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法
与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生
的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初
中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解
法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，
双十字相乘法，轮换对称法等．
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这
个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分
解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系
数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数
取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，
使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有
两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或
式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m
为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运
用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两
项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分
解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数
的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将
某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2＋（pq）x
＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么
kx^2＋mx＋n＝（ax＋b）（cx＋d）
a-----/bac＝kbd＝n
c/-----dad＋bc＝m
※多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分
解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项
法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理：
如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，
f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。
二、经典例题：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解：原式
=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y
^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，
x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同
因数的积，所以原命题成立
三、因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式
提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过
来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)
解：a+4ab+4b=（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成
一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，
从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到
(a+b)(m+n)
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，
则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x-19x-6
分析：1-3
72
2-21=-19
解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个
完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个
未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x
=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6
=x[2(y-2)-y-6]
=x(2y-y-10)
=x(y+2)(2y-5)
=x(x++2)(2x+-5)
=(x+2x+1)(2x-5x+2)
=(x+1)(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解
为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1
则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点
x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=
f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x)
例9、因式分解x+2x-5x-6
解：令y=x+2x-5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排
列，再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)
=(b-c)[a-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适
当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形
式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，
x+5，在x=2时的值
则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求
出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次
因式。
解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)
=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
所以解得
则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
四、因式分解的拓展
我们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，
分组分解法和十字相乘法。除了这四种常见的方法外，在数学竞
赛中还要用到下面的一些方法，现例析如下：
1、推广了的十字相乘法
根据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母
的式子，可将较为复杂的多项式分解因式。
例1，分解因式：x²+xy-6y²+x+13y-6(希望杯赛题)
解：原式=（x²+xy-6y²）+(x+13y)-6
=(x+3y)(x-2y)+(x+13y)-6
=(x+3y-2)(x-2y+3)x+3y-2
x-2y+3
=3(x+3y)-2(x-2y)
=x+13y
练习题：分解因式：4x2-4x-y²+4y=3(02年重庆赛题)
2、延拓了的公式法
在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：
xn+yn=(x+y)(xn-1–xn-2y+…-xyn-2+yn-1)(n为奇数)
xn–yn=(x-y)(xn-1+xn-2y+…+xyn-2+yn-1)
例2，已知乘法公式：
a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)
利用或者不用上述公式分解因式：x8+x6+x4+x²+1(祖冲之杯赛
题)
解：由公式得：x10-1=(x²)5-1=(x²-1)(x8+x6+x4+x²+1)
∴x+x+x+x²+1=(x10-1`)/(x²-1)=(x5-1)/(x-1)•
(x5+1)/(x+1)
=(x-1)(x4+x³+x²+x+1)/(x-1)•(x+1)(x4-x³+x²-x+1)/(x+1)
=(x4+x³+x²+x+1)(x4-x³+x²-x+1)
练习题：分解因式：1+x²+x³+…+x15
3,拓展了的分组分解法
⑴拆项（分组）法
把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一
种方法。
例3，分解因式：x4-7x2+1(祖冲之杯赛题)
解：原式=x4+2x2+1-9x2(即把-7x2拆成-9x2+2x2)
=(x2+1)2-(3x)2
=(x2+1+3x)(x2+1-3x)
⑵添项（分组）法
在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的
一种方法。
例4，分解因式：3x6-x12-1
解：原式=x6+2x6-x12-1
=x6-(x12-2x6+1)
=(x3)2-(x6-1)2
=（x3-x6+1）(x3+x6-1)
练习：①x4+2x3+3x2+2x+1(02年河南赛题)
②x3-9x+8(祖冲之杯赛题)
3、换元法
换元法是一种重要的数学方法，在分解饮食时，通过将原式的代
数式用字母
代替后，达到简化原式结构的目的
例5、分解因式：（x+1）(x+2)(x+3)(x+6)+x2(天津赛题)
解：原式=[（x+1）（x+6）][(x+2)(x+3)]+x2
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
令m=x2+6
∴原式=（m+7x）（m+5x）+x2
=m2+12xm+36x2
=（m+6x）2
=（x2+6+6x）2
例6、分解因式：xy（xy+1）+（XY+3）-2（x+y+½）-（x+y-1）
2（天津赛题）
解：设x+y=a，xy=b，原式=（b2+2b+1）-a2=（b+1+a）（b+1-a）
=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）
练习：分解因式①，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
②,(x+Y-2xy)(x+y-2)+xy-1)(希望杯赛题)
5、主元法：
主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他
元为常数。重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从
而简化问题。
例7，分解因式：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z（天津赛题）
解：原式=(2x-z)y2+(2xz-4x2)y+(2x3-x2z)
=(2x-z)y2+2x(z-2x)y+x2(2x-z)
=(2x-z)(x-y)2
练习：x4-2x4y+x4y2-2x2+y2-2x2y2+2y+1
6、构造法
构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中经常用
到。在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度。
例8，分解因式：x2+2xy-8y2+2x+14y-3
解：原式=x2+2(y+1)x-8y2+14y-3
令原式=0，∴x1+x2=-2(y+1)
设x1=-(y+1)+k,x2=-(y+1)-k(构造对偶式)
又x1•x2=(y+1)2-k2=-8y2+14y-3
∴k2=(3y-2)2,得；x1=2y-3,x2=-4y+1
∴原式=（x-2y+3）(x+4y-1)
练习：分解因式：x2+5xy+x+3y+6y2(河南赛题)
7、求根公式法
我们用g(x)表示关于x的一个多项式，
如g(x)=x4+2x3-9x2-2x+8.若g(a)=0,那么（x-a）是g(x)的一
个因式。
对于g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,有因式px-q,那么其根
q/p(p,q互质)的p一定是首项系数的约数，q一定是常数项的约
数。
例9，分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8
解：因4的约数有±1，±2，±4。试算可知有g(±1)=0,g(4)=0,
∴g(x)有因式（x-1）(x+1)(x-4)=x3-4x2-x+4.
再用g(x)÷(x3-4x2-x+4)=x+1
∴原式=（x-1）(x+1)2(x-4)
练习：分解因式：x3+2x2-5x-6
8、待定系数法
待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就
是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方
程（组）来确定待定系数，从而分解因式。
例10，分解因式：x3+y3+z3-3xyz
解：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称
式。当x=-(y+z)时，原式=0。所以原式含有（x+y+z）的因式。
余下的必为2次对称式，设成l(x2+y2+z2)+m(xy+zy+zx)
∴x3+Y3+z3=3xyz=(x+y+z)[l(x2+y2+z2)+m(xy+yz+zx)]
比较三次项系数得l=1
又当x=1,y=0,z=1时
得：2=2（2+m）∴m=-1
∴原式=（x+y+z）(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
练习：若x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2,
求（a+b）的值，（武汉赛题）
9、配方法
配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方
式的和（差）的形式，在此基础上分解因式。
例11，分解因式：x4+2x2+2ax+1-a2（哈尔滨赛题）
解：原式=x4+2x2+1-x2+2ax-a2
=(x2+1)2-(x-a)2
=(x2+1+x-a)(x2+1-x+a)
练习：（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2(扬州赛题)
10、整体法
整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母
来对待，从而便于因式分解的一种方法。
例12，分解因式：(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4(五羊杯赛题)
分析：由于两个括号内都有（x4+1）,我们把（x4+1）看作一个
整体，当作是一个字母来分解因式。
解：原式=[（x4+1）-4x2][(x4+1)+3x2]+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-12x4+10x4
=(x4+1)2-x2(x4+1)-2x4
=(x4+1-2x2)(x4+1+x2)
=(x2-1)2(x4+x2+1)
=(x+1)2(x-1)2(x2+x+1)(x2-x+1)
11、综合方法
我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结
合起来才能完成一个因式分解的问题。对上述方法要灵活的运
用。
例13，分解因式：（x_2）3-(y-2)3-(x-y)3(五羊杯赛题)
解：令m=x-2,n=y-2
∴m-n=x-y
原式=m3-n3-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2)-(m-n)3
=(m-n)(m2+mn+n2-m2+2mn-n2)
=3(m-n)mn
=3(x-2)(y-2)(x-y)
注：此题在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方
法来完成分解因式的。
练习：分解因式：a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)
五、初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二
册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材
之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一
章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算
能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注
意，则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句
话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提
出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－
b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提
出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2
＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝
（3x－2y）（3x＋2y）的错误?
如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab
－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分
解。
证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋
2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c
＝0，
即a＝c，△abc为等腰三角形。
例3把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。
解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1
（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那
么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多
项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿
漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p
（1－x）2＝2p（x－1）2［3（x－1）－4p］＝2p（x－1）
2（3x－4p－3）的错误。
例4在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋
6）（x－6）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能
再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公
因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项
式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝
y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方
法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先
看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要
合适”是一脉相承的。
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类
例：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12
【分析】：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行
因式分解
解：x2y2
①②③
x3y6
∴原式=（x+2y+2)(x+3y+6)
双十字相乘法其步骤为：
⑴先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中
X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)
⑵先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图
②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
⑶再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图
③，这一步不能省，否则容易出错