福建宁德市

福建宁德市

-

2023年2月18日发(作者：)

宁德市2021-2022学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题

本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分

150分.

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认

真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡

上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第

I

卷（选择题共

60

分）

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分

.

在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知集合1,2,3A

，|2BxNx

，则AB=（）

A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}

2．命题“

(0,)sin

2

xxx



，

”的否定是（）

A．

(0,)sin

2

xxx



，

B．

(0,)sin

2

xxx



，

C．

(0,)sin

2

xxx



，

D．

(0,)sin

2

xxx



，

3．已知弧长为

3



的弧所对的圆心角为

6



，则该弧所在的扇形面积为（）

A

．3πB

．

1

π

3

C

．

2

π

3

D

．

4

π

3

4．已知,xR不等式2410axx恒成立，则a的取值范围为（）

A．4aB．4a或0aC．4aD．40a

5．已知0.5

0.5

,ln5,logaebce，则（）

A．cabB．cbaC．bacD．abc

6．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，()(4)fxfx，且(1)1f，

则(2020)(2021)ff（）

A．1B．0C．1D．2

7．已知函数()xfxex，()lngxxx，()sinfxxx的零点分别为,,,abc则

,,abc的大小顺序为（）

A．cbaB．bacC．acbD．cab

8．已知函数()sinfxAx的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应

的函数解析式为（）

A．

1

(2)

2

yfxB．(21)yfxC．

1

()

22

x

yfD．(1)

2

x

yf

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中有多项符合题目要求，全部选对的得

5

分，部分选对的得

2

分，有选错的

得0分

9．下列函数中，既是偶函数又在区间0,

上是增函数的是（）

A

．21yxB

．3yx

C．

2

3yxD．3xy

10．若

11

0

ab

，则下列不等式正确的是（）

A

．abB

．

ab

C

．ababD

．2

ba

ab



11

．若函数()tan(2)

3

fxx



，则下列选项正确的是（）

图

1

图2

A．最小正周期是



B．图象关于点(,0)

3



对称

C

．在区间

7

(,)

1212



上单调递增

D

．图象关于直线12

x



对称

12．设

xR

，用x

表示不超过

x的最大整数，则yx

称为高斯函数，也叫取整函数.令

22fxxx

，以下结论正确的是（）

A

．1.10.8f

B

．fx

为偶函数

C．fx

最小正周期为

1

2

D．fx的值域为0,1

第

II

卷（非选择题共

90

分）

三、填空题

:

本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

把答案填在答题卡的相应

位置

13．2

5

(4)log25．

14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：.

（1）

12

xxR，若

12

xx则

12

()()fxfx（2）

121212

,,()()()xxRfxxfxfx

15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单

位圆相交于P，Q两点，P，Q纵坐标分别为

3

5，

4

5．则的终边与单位圆交点的

纵坐标为.

16．已知函数2

log,04

2cos,4

2

8

xx

fx

xx



















，,tRfxt使方程有4个不同的解：

1234

,,,xxxx，则

1234

xxxx的取值范围是;

1234

xxxx的取值范围是.

(本小题第一个空3分，第二个空2分)

四、解答题：本大题共

6

小题，共

70

分

.

解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.（本小题满分10分）

设集合UR，|1327xAx

，|12Bxmxm

．

（I）3m，求

U

ACB

；

（II）若“xB”是“xA”的充分条件，求

m

的取值范围．

18.（本小题满分12分）

已知

21x

b

fxa



是R上的奇函数，且

1

1

3

f．

（

I

）求

()fx

的解析式；

（

II

）判断

()fx

的单调性，并根据定义证明．

19.（本小题满分12分）

已知函数

2()fxaxbxc，,,abcR

只能同时满足下列三个条件中的两个：

①

()0fx

的解集为

(1,3)

；

②1a；

③()fx最小值为4．

（

I

）请写出这两个条件的序号，并求

()fx

的解析式；

（II）求关于

x

的不等式2()(2)23,fxmxmmR

的解集．

20.（本小题满分12分）

已知()4cos()cos1

3

fxxx



．

（

I

）设[,]

63

x



，求

()fx

的值域；

（II）设

2

()

2123

f



，求

5

cos(2)

3



的值．

21.(

本小题满分

12

分

)

闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和

水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是

1

C

，空气的温度是

0

C

，那么

t

分钟后茶水的

温度（单位：C

）可由公式

010

ktte

求得，其中k是一个物体与空气的

接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80C

，放在20C

的空气中自然

冷却，10分钟以后茶水的温度是50C

．

（I）求

k

的值；

（II）经验表明，温度为80C

的该红茶水放在20C

的空气中自然冷却至60C

时饮用，

可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?

（结果精确到0.1，附：参考值

ln20.7,ln31.1

）

22.（本小题满分12分）

已知函数ln,fxxxxgx

ee

（I）若0,1x

，gxfa

成立，求实数a的取值范围;

（

II

）证明：()sin

2

hxfxx

e





有且只有一个零点

0x，且

0

3

sin

22

x

g

e











．

宁德市2021-2022学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题

本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分

150分.

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认

真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡

上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知集合1,2,3A

，|2BxNx

，则ABU=（）

A．{1，2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}

答案：D

解析：0,1,2B

，0,1,2,3AB

故选D．

2

．命题

“

(0,)sin

2

xxx



，

”

的否定是（）

A．

(0,)sin

2

xxx



，

B．

(0,)sin

2

xxx



，

C．

(0,)sin

2

xxx



，

D．

(0,)sin

2

xxx



，

答案：D

解析:“

(0,)sin

2

xxx



，

”条件P是:“

(0,)

2

x





”，结论q是:“

sinxxx，在定义域恒成

立

”

，命题的否定是否定其结论，即

P:“

(0,)

2

x





”

，

q:“

000

sinxxx，使得

在定义域有解

”

故选

D

．

3

．已知弧长为

3



的弧所对的圆心角为

6



，则该弧所在的扇形面积为（）

A．3πB．

1

π

3

C．

2

π

3

D．

4

π

3

答案：B

解析:

3

2

6

l

r









1

23

Slr





，故选B．

4．,xR不等式2410axx恒成立，则a的取值范围为（）A．

4a

B．

4a

或

0a

C．

4a

D．

40a

答案：Ａ

解析:由

2

0

440

a

a











得4a，故选Ａ．

5．已知0.5

0.5

,ln5,logaebce

，则（）

A．cabB．cbaC．bacD．abc

答案：Ａ

解析:

0.5

0.5

01,1ln5,log0ee

故选Ａ．

6．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，()(4)fxfx，且(1)1f，

则(2020)(2021)ff（）

A．1B．0C．1D．2

答案：Ｃ

解析:(0)0,4,fT(2020)(0)0,(2021)(45051)(1)1fffff

(2020)(2021)1ff故选C．

7．已知函数()xfxex，()lngxxx，()sinfxxx的零点分别为,,,abc则

,,abc的大小顺序为（）

A．cbaB．bacC．acbD．cab

答案：Ｃ

解析:如图：

acb，故选Ｃ．

8．已知函数()sinfxAx的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应

的函数解析式为：

A．

1

(2)

2

yfxB．(21)yfxC．

1

()

22

x

yfD．(1)

2

x

yf

答案：B

解析:由（１）得()sinfxx，由（２）得

3

()sin2()sin(23)

2

gxxx

所以()sin()sin()sin(23)fxxxx

所以2,32,kkZ，即1k，B选项满足题意，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中有多项符合题目要求，全部选对的得

5

分，部分选对的得

3

分，有选错的

得0分）

9

．下列函数中，既是偶函数又在区间0,

上是增函数的是（）

A

．21yxB

．3yx

C．

2

3yxD．3xy

答案：AC

解析

:A

．

y

＝

x

2+1B

．

y

＝

x3

为奇函数

C

．2

3yx

D

．3xy在0,

上单调递减

.

故选AC

10．若

11

0

ab

，则下列不等式正确的是()

A

．abB

．

ab

Ｃ．ababＤ．2

ba

ab



图1

图

2

答案：

BCD

解析:

11

00ba

ab

由得,A选项错误;

B.

ababba

成立，该选项正确；

C.0abab,该选项正确；

D.0,2

ba

abab

ab

且

方法2.特殊值检验，取1,2ab，排除A.

故选BCD.

11．若函数()tan(2)

3

fxx



，则下列选项正确的是（）

A

．最小正周期是



B

．图象关于点(,0)

3



对称

C

．在区间

7

(,)

1212



上单调递增

D

．图象关于直线

12

x



对称

答案：

BC

解析：()tan(2)

3

fxx





A

．最小正周期是

2



,

故

A

错；

B

．图象的对称点横坐标

0

x

满足

0

2,

32

k

xkZ



，得

046

k

x



，当

0

2

3

kx



时，，所以图象的对称点为(,0)

3



，故B正确；

C．令2,

232

kxkkZ



即

5

,

122122

kk

xkZ



故，当

1k时，()tan(2)

3

fxx



在区间

7

(,)

1212



上单调递增，故C正确;

D．正切函数图象无对称轴，故D错.

综上，选

BC.

12．设

xR

，用x

表示不超过

x的最大整数，则yx

称为高斯函数，也叫取整函数.令

22fxxx

，以下结论正确的是（）

A．1.10.8f

B．fx为偶函数

C．fx

最小正周期为

1

2

D．fx的值域为0,1

答案：

AC

解析：A．1.12.22.22.2(3)0.8f

，故A正确;

B．存在1.12.22.22.2(2)0.2f,1.11.1ff且1.11.1ff

故函数为非奇非偶函数，故B错误；

C．0,()TfxTfx使得

22fxTxTxT





nN22xTxT





使得=222xTxn

=22222()xxTnxxfx

此时，

1

22

n

T，故fx最小正周期为

1

2

，故C正确;

D

．设

2,,[0,1)xnmnZm

，则函数

22[]fxxxnmnm

=

nmnm

[0,1)

故fx

的值域为0,1

，故D

错误

.

法2：由C选项知

1

2

fxfx











1

21,0

2

1

2,0

2

1

21,1

2

xx

fxxx

xx

































K

K

所以0,1fx

法

3

：如图所示

综上，选AC.

第

II

卷（非选择题共

90

分）

三、填空题

:

（本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分

.

把答案填在答题卡的相

应位置）

13．2

5

(4)log25

．

答案：6

解析：

22

55

(4)log254log56.

14．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：.

（1）

12

xxR，若

12

xx则

12

()()fxfx（2）

121212

,,()()()xxRfxxfxfx

答案：()2,3,...xxxfxe选其中一个函数.

解析：条件（1）表示函数()fxR在上单调递增，条件（2）表示（乘性）柯西函数方程

(),xfxa

(1)fa，故可取(),1xfxaa

如：()2,3,...xxxfxe选其中一个函数.

15．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单

位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为

3

5

，

4

5

．则的终边与单位圆交点

的纵坐标为.

答案：1

解析：

3

5P

y得

4

5P

x

4

5Q

y得

3

5Q

x

sin()sincoscossin

=

3344

5555

=1.

16．已知函数2

log,04

2cos,4

2

8

xx

fx

xx



















，,tRfxt使方程有4个不同的解：

1234

,,,xxxx，则

1234

xxxx的取值范围是;

1234

xxxx的取值范围是.

(本小题第一个空3分，第二个空2分)

答案：32,35；

65

14,

4







解析：如图，02t时，方程存在4个不同根，当2t时，

1

4

x，

13

1

1,45

4

xx

2

logxt时，

1222

loglogxx得

1222

loglogxx即

212

1

1

,1xxx

x



由正弦函数对称性知

34

12xx

2

1234343333

12636,45xxxxxxxxxx

2

33

()636fxx在4,5上单调递增，所以

1234

3235xxxx；

12341

1

1

12xxxxx

x



11

1

1

()12fxx

x

在

1

,1

4







上单调递减，所以

1234

65

14

4

xxxx

四、解答题：本大题共

6

小题，共

70

分

.

解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.（本小题满分10分）

设集合UR，|1327xAx

，|12Bxmxm

．

（I）3m，求

U

ACB

；

（

II

）若

“xB”

是

“xA”

的充分条件，求m的取值范围．

参考解析：|03Axx

…………………………………..1

分

（I）当3m时，|26Bxx

…………………………………..2分

得|26

U

CBxxx或

…………………………………..3分

所以

U

ACB

＝|02xx

…………………………………..4分

（

II

）由

“xB”

是

“xA”

的充分条件知，BA，

①若B，则12mm得1m…………………………………..5

分

②若B，则

12

10

23

mm

m

m

















得

3

1

2

m…………………………………..9

分

综上所述：1m或

3

1

2

m…………………………………..10

分

18.（本小题满分12分）

已知

21x

b

fxa



是R上的奇函数，且

1

1

3

f

．

（

I

）求

()fx

的解析式；

（

II

）判断

()fx

的单调性，并根据定义证明．

参考解析：（

I

）由

(0)0

1

1

3

f

f















…………………………………..2

分

得

0

2

1

33

b

a

b

a



















解得

1

2

a

b











…………………………………..4

分

所以

2

()1

21x

fx



…………………………………..5

分

（

II

）

()fx

在R上单调性递增

（备注：只判断没有证明给

1

分）

证明：

1221

,Rxxxx且

…………………………………..6

分

则

2

21

2

()()1

21x

fxfx









1

2

1

21x











…………………………………..7

分

12

22

2121xx









21

12

222

2121

xx

xx







…………………………………..8

分

由

21

xx得2122xx，即21220xx…………………………………..9分

又1221210xx…………………………………..10

分

所以

21

()()0fxfx

，即

21

()()fxfx

所以

()fx

在R上单调性递增

…………………………………..12

分

19.（本小题满分12分）

已知函数

2()fxaxbxc，,,abcR

只能同时满足下列三个条件中的两个：

①

()0fx

的解集为

(1,3)

；

②1a；

③()fx最小值为4．

（I）请写出这两个条件的序号，求

()fx

的解析式；

（II）求关于x的不等式2()(2)23,fxmxmmR

的解集．

参考解析：选①③…………………………………..1分

由

()0fx

的解集为

(1,3)

可知

()0fx

的根为

12

1,3xx

()1fxx且对称轴，故顶点14（，）…………………………………..2分

法一：设

2()(1)4fxax将（

3

，

0

）代入上式

…………………………………..4

分

得044a解得1a…………………………………..5

分

所以

2()(1)4fxx…………………………………..6

分

法二：前述分值同法一

设

()(1)(3)fxaxx

将14（，）代入上式……………………………4分

得44a解得1a…………………………………..5

分

所以

()(1)(3)fxxx

…………………………………..6

分

法三：由

2

13

3

4

4

4

b

a

c

a

acb

a



























…………………………………..3

分

得

1

2

3

a

b

c

















所以

2()23fxxx…………………………………..6分

法四：由

0

930

4

abc

abc

abc

















…………………………………..3

分

得

1

2

3

a

b

c

















所以

2()23fxxx…………………………………..6分

（II）2()(2)23fxmxm

化简得2220xmxm

………………………………..7分

即

20xmxm

，对应方程的根为

12

,2xmxm

…………………………..8分

①若2mm，即0m时，解集为R…………………………………..9分

②若2mm，即0m时，解集为|2xxmxm或………………10分

③若2mm，即0m时，解集为|2xxmxm或…………………11分

综上，0m时，解集为R；

0m时，解集为|2xxmxm或；

0m时，解集为|2xxmxm或.…………………………………..12分

20.（本小题满分12分）

已知()4cos()cos1

3

fxxx



．

（I）设

[,]

63

x



，求

()fx

的值域；

（

II

）设

2

()

2123

f



，求

5

cos(2)

3



的值．

参考解析：（

I

）

13

()4(cossin)cos1

23

fxxxx…………………………………..1

分

22cos23sincos1xxx

cos23sin2xx……………………………………..3

分

2sin(2)

6

x





…………………………………..4

分

令

6

tx



，由[,]

63

x



，

5

[,]

66

t





…………………………………..5

分

可知

1

sin[,1]

2

t，所以

()[1,2]fx

…………………………………..6分

（II）解法1.

2

()2sin()2sin()

2126633

f



………………………7分

得

1

sin()

33



…………………………………..8分

由

5

22()

33



…………………………………..9分

得

5

cos(2)cos(2())

33



…………………………………..10分

cos2()

3



…………………………………..11分

2

7

(12sin())

39



…………………………………..12分

解法

2.

2

()2sin()2sin()

2126633

f





………………………7

分

得

1

sin()

33



…………………………………..8

分

1

cos()

63



…………………………………..9

分

由

5

cos(2)cos(22)

33



…………………………………..10

分

cos(2)

3



…………………………………..11分

2

7

2cos()1

69



…………………………………..12分

21.(本小题满分12分)

闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的

温度有关．如果刚泡好的茶水温度是

1

C

，空气的温度是

0

C

，那么

t

分钟后茶水的温度

（单位：C

）可由公式

010

ktte

求得，其中k是一个物体与空气的接触

状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是80C

，放在20C

的空气中自然冷却，

10分钟以后茶水的温度是50C

．

（I）求

k

的值；

（II）经验表明，温度为80C

的该红茶水放在20C

的空气中自然冷却至60C

时饮用，

可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?

（结果精确到0.1，附：参考值

ln20.7,ln31.1

）

参考解析：

（I）依题意，1050

，

01

20,80

1020802050ke

…………………………………..1分

化简，

10

1

2

ke…………………………………..2分

得，

1

10ln

2

k…………………………………..3分

即，

ln20.7

0.07

1010

k（

ln2

10

k不扣分）…………………………………..4分

（II）由（I）得

ln2

102060tte

…………………………………..5分

60t令，即

ln2

10206060te，…………………………………..6分

化简，

ln2

10

3

2

te，…………………………………..7分

3ln2

ln

210

t…………………………………..8分

得



3

10ln

10ln3ln2101.10.7

40

2

5.7

ln2ln20.77

t







…………………11分

所以，刚泡好的茶水大约需要静置

5.7

分钟才能达到最佳饮用口感

.………12

分

22.（本小题满分12分）

已知函数ln,fxxxxgx

ee

（

I

）若0,1x

，gxfa

成立，求实数a的取值范围

;

（

II

）证明：()sin

2

hxfxx

e





有且只有一个零点

0x，且

0

3

sin

22

x

g

e











．

参考解析：（I）由

xe在xR上单调递增，

xe在xR上单调递减，知xxgx

ee

在xR上单调递增…………………………………..1分

()gx在0,1x上最小值为

min

()(0)0gxg………………………………..2分

由0,1x，gxfa成立知

min

gxfa……………………………3分

得0fa，即ln0,1aa…………………………………..4分

（II）lnsin

2

hxxx

e





当xe时，lnsin1sin0

22

hxxxx

ee



在,xe恒成立………..5分

当0xe时，ln,sin

2

xx

e



在0,xe上单调递增，

所以lnsin

2

hxxx

e



在0,xe上单调递增，……………6分

又1sin0

2

h

e



，

2

1

1sin0

2

h

ee











……………………………7分

（备注：比如

111

()lnsinln2ln0

22422

e

h

e



也得分）

可知存在唯一

0

1

,1x

e









使

0

0hx…………………………………8分

即

00

lnsin0

2

xx

e





0

0

sin(ln)

2

x

ggx

e











…………………………………..9分

00

lnlnxxee

0

0

1

x

x

…………………………………..10分

由

111

()lnsinln2ln0

22422

e

h

e





（备注：直接判断

1

()0

2

h也得分）

可知

0

1

,1

2

x









…………………………………..11分

0

0

0

1

sin

2

x

g

x

e

x











由

0

0

1

x

x

在

1

,1

2







上单调递减，所以

0

0

13

0

2

x

x



所以

0

0

0

13

sin

22

x

g

x

e

x











…………………………………..12分