高数答案
公务护照-卡里卡里
2023年2月21日发(作者：梦幻脚本)高等数学（下）模拟试卷一
一、填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
11
z
xyxy
的定义域为
（2）已知函数
arctan
y
z
x
，则
z
x
（3）交换积分次序，2
22
0
(,)y
y
dyfxydx
＝
（4）已知L是连接
(0,1),(1,0)
两点的直线段，则
()
L
xyds
（5）已知微分方程
230yyy
，则其通解为
二、选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L为
3210
21030
xyz
xyz
，平面
为
4220xyz
，则
（）
A.L平行于
B.L在
上C.L垂直于
D.L与
斜交
（2）设是由方程2222xyzxyz
确定，则在点
(1,0,1)
处
的dz（）
A.
dxdy
B.
2dxdy
C.
22dxdy
D.
2dxdy
（3）已知是由曲面222425()zxy
及平面5z所围成的闭区域，将
22()xydv
在柱面坐标系下化成三次积分为（）
A.
225
3
000
drdrdz
B.
245
3
000
drdrdz
C.
225
3
5
00
2
r
drdrdz
D.
225
2
000
drdrdz
（4）已知幂级数，则其收敛半径（）
A.2B.1C.
1
2
D.2
（5）微分方程
3232xyyyxe
的特解
y的形式为
y
（）
A.B.
()xaxbxe
C.
()xaxbce
D.
()xaxbcxe
三、计算题（每题8分，共48分）
1、求过直线1
L
:
123
101
xyz
且平行于直线
2
L
：
21
211
xyz
的平面方程
2、已知22(,)zfxyxy
，求
z
x
，
z
y
3、设22{(,)4}Dxyxy
，利用极坐标求
2
D
xdxdy
4、求函数22(,)(2)xfxyexyy
的极值
5、计算曲线积分
2(23sin)()y
L
xyxdxxedy
，其中L为摆线
sin
1cos
xtt
yt
从点
(0,0)O
到
(,2)A
的一段弧
6、求微分方程xxyyxe
满足1
1
x
y
的特解
四.解答题（共22分）
1、利用高斯公式计算
22xzdydzyzdzdxzdxdy
Ò
，其中
由圆锥面
22zxy
与上半球面222zxy
所围成的立体表面的外侧
(10)
2、（1）判别级数
1
1
1
(1)
3
n
n
n
n
的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还
是条件收敛；（6
）
（2）在
(1,1)x
求幂级数1
n
n
nx
的和函数（6
）
高等数学（下）模拟试卷二
一．填空题（每空3分，共15分）
（1）函数
2
22
4
ln(1)
xy
z
xy
的定义域为；
（2）已知函数xyze，则在
(2,1)
处的全微分dz；
（3）交换积分次序，
ln
10
(,)exdxfxydy
＝；
（4）已知L是抛物线2yx
上点
(0,0)O
与点
(1,1)B
之间的一段弧，则
得分
阅卷
人
L
yds
；
（5）已知微分方程
20yyy
，则其通解
为.
二．选择题（每空3分，共15分）
（1）设直线L为
30
0
xyz
xyz
，平面
为
10xyz
，则L与
的夹
角为（）；
A.0B.2
C.3
D.4
（2）设是由方程333zxyza
确定，则
z
x
（）；
A.2
yz
xyz
B.2
yz
zxy
C.2
xz
xyz
D.
2
xy
zxy
（3）微分方程256xyyyxe
的特解
y的形式为
y
（）；
A.2()xaxbe
B.2()xaxbxe
C.2()xaxbce
D.2()xaxbcxe
（4）已知是由球面2222xyza
所围成的闭区域,将
dv
在球
面坐标系下化成
三次积分为（）；
A
2
2
2
000
sinaddrdr
B.
2
2
000
addrdr
C.
2
000
addrdr
D.
2
2
000
sinaddrdr
（5）已知幂级数1
21
2
n
n
n
n
x
，则其收敛半径（）.
A.2B.1C.
1
2
D.2
三．计算题（每题8分，共48分）
5、求过
(0,2,4)A
且与两平面1
:21xz
和
2
:32yz
平行的直线方程.
6、已知
(sincos,)xyzfxye
，求
z
x
，
z
y
.
7、设22{(,)1,0}Dxyxyyx
，利用极坐标计算
arctan
D
y
dxdy
x
.
8、求函数22(,)56106fxyxyxy
的极值.
9、利用格林公式计算
(sin2)(cos2)xx
L
eyydxeydy
，其中L为沿上半圆
周222(),0xayay
、从
(2,0)Aa
到
(0,0)O
的弧段.
6、求微分方程
3
2(1)
1
y
yx
x
的通解.
四．解答题（共22分）
1、（1）（6
）判别级数
1
1
(1)2sin
3
nn
n
n
的敛散性，若收敛，判别是绝
对收敛还是条件收敛；
（2）（4
）在区间
(1,1)
内求幂级数1
n
n
x
n
的和函数.
2、
(12)
利用高斯公式计算
2xdydzydzdxzdxdy
，
为抛物面
22zxy
(01)z
的下侧
高等数学（下）模拟试卷三
一．填空题（每空3分，共15分）
1、函数
arcsin(3)yx
的定义域为.
2、
2
2
(2)
lim
332n
n
nn
=.
3、已知2ln(1)yx
，在1x处的微分
dy
.
4、定积分
1
20062
1
(sin)xxxdx
.
5、求由方程57230yyxx
所确定的隐函数的导数
dy
dx
.
二．选择题（每空3分，共15分）
得分
阅卷
人
得分
1、2x是函数
2
2
1
32
x
y
xx
的间断点
（A）可去（B）跳跃
（C）无穷（D）振荡
2、积分
1
2
01
x
dx
x
=.
(A)
(B)
(C)0(D)1
3、函数
1xyex
在
(,0]
内的单调性是。
（A）单调增加；（B）单调减少；
（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。
4、
1sin
x
tdt
的一阶导数为.
（A）sinx（B）sinx
（C）cosx（D）cosx
5、向量
{1,1,}ak
r
与
{2,2,1}b
r
相互垂直则k.
（A）3（B）-1（C）4（D）2
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限
1
23
lim()
21
x
x
x
x
2、求极限3
0
sin
lim
x
xx
x
3、已知
lncosxye
，求
dy
dx
四．计算题（4小题，每题6分，共24分）
1、已知
2
2
1
t
x
yt
，求
2
2
dy
dx
2、计算积分2cosxxdx
3、计算积分
1
0
arctanxdx
4、计算积分
2
2
0
2xdx
五．觧答题（3小题，共28分）
1、
(8)
求函数42341yxx
的凹凸区间及拐点。
2、
(8)
设1
1
0
1
()
1
0
1x
x
x
fx
x
e
求
2
0
(1)fxdx
3、（1）求由2yx
及2yx
所围图形的面积；
(6)
（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。
(6)
高等数学（下）模拟试卷四
一．填空题（每空3分，共15分）
1、函数
2
1
1yx
x
的定义域为.
2、0
,0axedxa
=.
3、已知
sin(21)yx
，在0.5x处的微分
dy
.
4、定积分
1
2
1
sin
1
x
dx
x
=.
5、函数43341yxx
的凸区间是.
二．选择题（每空3分，共15分）
1、1x是函数
21
1
x
y
x
的间断点
（A）可去（B）跳跃
（C）无穷（D）振荡
2、若0
()
0,(0)0,(0)1,lim
x
fax
aff
x
=
(A)1(B)
a
(C)-1(D)
a
3、在
[0,2]
内函数
sinyxx
是。
（A）单调增加；（B）单调减少；
（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。
4、已知向量
{4,3,4}a
r
与向量
{2,2,1}b
r
则
ab
rr
为.
（A）6（B）-6
（C）1（D）-3
5、已知函数
()fx
可导，且0
()fx
为极值，()fxye
，则0
xx
dy
dx
.
（A）0
()fxe（B）0
()fx
（C）0（D）0
()fx
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限
1
0
lim(1-)k
x
x
kx
2、求极限
1
2
cos
2
0
sin
lim
sin
x
x
tdt
xx
3、已知
1
lnsin
xye
，求
dy
dx
四．计算题（每题6分，共24分）
1、设
10yexy
所确定的隐函数
()yfx
的导数0x
dy
dx。
2、计算积分
arcsinxdx
3、计算积分
35
0
sinsinxxdx
4、计算积分
3
22
0
,0
3
ax
dxa
ax
五．觧答题（3小题，共28分）
1、
(8)
已知
2
2
2
3
1
3
1
at
x
t
at
y
t
，求在2t处的切线方程和法线方程。
2、
(8)
求证当0ab时，
1lnln1ab
aabb
3、（1）求由3yx
及
0,2yx
所围图形的面积；
(6)
（2）求所围图形绕
y
轴旋转一周所得的体积。
(6)
高等数学（下）模拟试卷五
一．填空题（每空3分，共21分）
1．函数y
yx
z
)ln(
的定义域为。
2．已知函数22yxez，则dz。
3．已知xyez，则
)0,1(x
z
。
4．设L为122yx
上点
0,1
到
0,1
的上半弧段，则
ds
L
2
。
5．交换积分顺序
xedyyxfdxln
01
),(
。
6.级数
1
)1(
n
n
n
是绝对收敛还是条件收敛？。
7．微分方程
xysin
的通解为。
二．选择题（每空3分，共15分）
1．函数
yxfz,
在点
00
,yx
的全微分存在是
yxf,
在该点连续的
（）条件。
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既
非充分，也非必要
2．平面
012:
1
zyx
与
022:
2
zyx
的夹角为（）。
A．6
B．4
C．2
D．3
3．幂级数
1
)5(
n
n
n
x
的收敛域为（）。
A．
6,4
B．
6,4
C．
6,4
D．
6,4
4．设
)(),(
21
xyxy
是微分方程
0)()(
yxqyxpy
的两特解且
)(
)(
2
1
xy
xy
常
数，则下列（）是其通解（21
,cc
为任意常数）。
A．
)()(
211
xyxycy
B．
)()(
221
xycxyy
C．
)()(
21
xyxyy
D．
)()(
2211
xycxycy
5．
zdv
在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为
3,0,3,0xxyy
，
0,3zz
所围的闭区域。
A．
033
300
dxdyzdz
B．
333
000
dxdyzdz
C．
303
030
dxdyzdz
D．
330
003
dxdyzdz
三．计算下列各题（共
21
分，每题
7
分）
1、已知
0lnxyezz，求
y
z
x
z
,
。
2、求过点
)2,0,1(
且平行直线32
2
1
1zyx
的直线方程。
3、利用极坐标计算
D
dyx)(22
，其中D为由
422yx
、
0y
及
xy
所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共
20
分，第
1
题
8
分，第
2
题
12
分）
1、利用格林公式计算曲线积分
dyyxxydxeyx
L
)sin52()(22
，其中
L为圆域D：
422yx
的边界曲线，取逆时针方向。
2、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共
23
分，第
1
、
2
题各
8
分，第
3
题
7
分）
1、求函数
133
2
1
),(23yxyxyxf
的极值。
2、求方程
xey
dx
dy
满足
2
0
x
y
的特解。
3、求方程
282xyyye
的通解。
高等数学（下）模拟试卷六
一、填空题：（每题
3
分,共21分.）
1．函数arccos()zyx
的定义域为。
2．已知函数ln()zxy
，则2,1
z
x
。
3．已知
22sinzxy
，则dz。
4．设L为1yx
上点
(1,0)
到
1,0
的直线段，则
2
L
ds
。
5．将
211
22
00
()xdxfxydy
化为极坐标系下的二重积
分。
6.级数
1
2
)1(
n
n
n
是绝对收敛还是条件收敛？。
7．微分方程
2yx
的通解为。
二、选择题：（每题3分,共15分.）
1．函数
yxfz,
的偏导数在点
00
,yx
连续是其全微分存在的（）
条件。
A．必要非充分，B．充分，C．充分必要，D．既非充
分，也非必要，
2．直线
22
:
110
xyz
l
与平面
:23xyz
的夹角为（）。
A．6
B．3
C．2
D．4
3．幂级数2
1
3
n
n
n
x
n
的收敛域为（）。
A．
(3,3)
B．
[3,3]
C．
(3,3]
D．
[3,3)
4.设*()yx
是微分方程
)()()(xfyxqyxpy
的特解，
()yx
是方程
()ypxy
()qxy
0的通解，则下列（）是方程
)()()(xfyxqyxpy
的通
解。
A．
()yx
B．*()()yxyx
C．*()yx
D．*()()yxyx
5．
2zdv
在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中为
2222xyzR
的上半球体。
A．
2
2
000
RRdrdrzdz
B．
2
2
000
Rrdrdrzdz
C．
222
2
000
RRrddrzdz
D．
222
2
000
RRrdrdrzdz
三、计算下列各题（共
18
分，每题
6
分）
1、已知335zxyz
，求
y
z
x
z
,
2、求过点(1,0,2)
且平行于平面
235xyz
的平面方程。
3、计算
22()
D
xydxdy
，其中D为
yx
、
0y
及1x所围的闭区域。
四、求解下列各题（共
25
分，第
1
题7分,第
2
题
8
分，第
3
题
10
分）
1、计算曲线积分
2()(sin)
L
xydxxydy
，其中L为圆周22xxy
上
点
)0,0(
到
)1,1(
的一段弧。
2、利用高斯公式计算曲面积分：
xdydzydzdxzdxdy
Ò
，其中是由
220,3,1zzxy
所围区域的整个表面的外侧。
3、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共
21
分,每题
7
分）
1、求函数
12
3
1
63),(232yyxxyxf
的极值。
2、求方程
x
dy
ye
dx
满足0
1
x
y
的特解。
3、求方程
yyy65
(1)xxe
的通解。
高等数学（下）模拟试卷七
一．填空题（每空3分，共24分）
1．二元函数2222
1
()25
z
xyxy
的定义域为
2．一阶差分方程1
21
35tt
yy
的通解为
3．yzx
的全微分dz_
4．
0ydxxdy
的通解为________________
5．设x
y
zarctan
，则
z
x
______________________
6．微分方程
250yyy
的通解为
7．若区域
4|),(22yxyxD
，则
D
dxdy2
8．级数0
1
2n
n
的和s=
二．选择题：（每题3分，共15分）
1．
yxf,
在点
ba,
处两个偏导数存在是
yxf,
在点
ba,
处连续的
条件
（A）充分而非必要（B）必要而
非充分
（C）充分必要（D）既非充
分也非必要
2．累次积分
1
00
(,)xdxfxydy
改变积分次序为
(A)
11
00
(,)dyfxydx
（B）
1
00
(,)xdyfxydx
（C）
21
00
(,)ydyfxydx
（D）2
11
0
(,)
y
dyfxydx
3．下列函数中，是微分方程356xyyyxe
的特解形式(a、
b为常数)
（A）xebaxy3)(
（B）
xebaxxy3)(
（C）xebaxxy32)(
（D）xaey3
4．下列级数中，收敛的级数是
（A）
112
1
nn（B）1
21
n
n
n
（C）1
(3)
2
n
n
n
（D）
1
(1)n
n
n
5．设2224xyzz
，则
z
x
(A)
x
z(B)2
x
z(C)2
x
z
(D)
x
z
三、求解下列各题（每题7分，共21分）
1.设
2ln,,34
x
zuvuvxy
y
而
，求
y
z
x
z
,
2.判断级数1
3
2
n
n
n
n
的收敛性3.计算
22xy
D
edxdy
，其中D为221xy
所围区域
四、计算下列各题（每题10分，共40分）
1.求微分方程
1
lnyyx
x
的通解.
2.计算二重积分
D
Ixydxdy
，其中D是由直线
,1yxx
及
x
轴围
成的平面区域.
3.求函数32(,)6125fxyyxxy
的极值.
4.求幂级数
2
1
4
n
n
n
x
n
的收敛域.
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、
{(,)|0,0}xyxyxy
2、22
y
xy
3、
4
1
0
2
(,)x
x
dxfxydy
4、25、3
12
xxyCeCe
二、选择题：（每空3分，共15分）1.C2.D3.C4A5.D
三、计算题（每题8分，共48分）
1、解：12
(1,2,3){1,0,1}{2,1,1}Ass
2
平面方程为320xyz
8
2、解：令22uxyvxy
2
3、解：
:0202Dr
，3
4．解：
22
2
(,)(2241)0
(,)(22)0
x
x
x
y
fxyexyy
fxyey
得驻点
1
(,1)
2
4
2220,40AeACBeQ
极小值为
11
(,1)
22
fe
8
5．解：223sin,yPxyxQxe
，有
2,
PQ
x
yx
得分
阅卷
人
曲线积分与路径无关2
积分路线选择：1
:0,Lyx
从0，2
:,Lxy
从02
4
6．解：
11
,xxyyePQe
xx
2
通解为
11
()()[()][]dxdx
PxdxPxdx
x
xxyeQxedxCeeedxC
4
代入1
1
x
y
，得1C，特解为
1
[(1)1]xyxe
x
8
四、解答题
1、解：
22(22)xzdydzyzdzdxzdxdyzzzdvzdv
Ò
4
方法一：原式＝
22
3
4
000
cossin
2
ddrdr
10
方法二：原式＝
22121
2
000
2(1)
2
r
r
drdrzdzrrdr
10
2、解：（1）令
1
1
(1)
3
n
n
n
n
u
1
1
1
1
131
limlim1
333
n
n
nn
nn
n
n
u
nn
un
收敛，
4
1
1
1
(1)
3
n
n
n
n
绝对收敛。6
（2）令
1
1
11
()()nn
nn
sxnxxnxxsx
2
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、222{(,)|4,01}xyyxxy
2、222edxedy
3、
1
0
(,)
y
e
e
dyfxydx
4、
1
(551)
12
5、12
()xyCCxe
二、选择题：（每空3分，共15分）1.A2.B3.B4.D5.A
三、计算题（每题8分，共48分）
1、解：12
(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}Ann
2
直线方程为
24
231
xyz
8
2、解：令
sincosxyuxyve
2
3、解：
:001
4
Dr
，3
4．解：
(,)260
(,)10100
x
y
fxyx
fxyy
得驻点
(3,1)
4
220,200AACBQ
极小值为
(3,1)8f
8
5．解：
sin2,cos2xxPeyyQey
，
有
cos2,cos,xx
PQ
eyey
yx
2
取
(2,0),:0,AaOAyx
从02a
4
原式＝2a－OA
PdxQdy
＝220aa8
6．解：
3
2
1
,(1)
1
PQx
x
2
通解为
11
3
()()
11
2[()][(1)]dxdx
PxdxPxdx
xxyeQxedxCexedxC
4
四、解答题
1、解：（1）令
1(1)2sin
3
nn
n
n
u
1
1
1
2sin
2
3
limlim1
3
2sin
3
n
n
n
nn
n
n
n
u
u
4
1
2sin
3
n
n
n
收敛，
1
1
(1)2sin
3
nn
n
n
绝对收敛6
（2）令1
()
n
n
x
sx
n
1
11
1
()
1
n
n
nn
x
sxx
nx
，2
2、解：构造曲面1
:1,z
上侧
高等数学（下）模拟试卷三参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.
10Xx且
；2.
1
a；3.2dx；4.0；5.
2
0,
3
或
2
0,
3
二．选择题：（每空3分，共15分）
1.;2.;3.;4.;5..ADAAC
三．计算题：
1.
1
()
42
0
lim11kk
k
kx
x
kxkxe
2.
1
2
2
222
cos
32
00
sin
(sincos)(sin)
limlim
3
x
xx
tdt
xx
xx
3.
11
lnsinlnsin
42
22
11111
coscot
1
sin
xx
dy
ee
dxxxxx
x
四．计算题：
1.
213
0
0
0;0,0;0y
x
y
x
dyy
eyyxyxy
dxex
；
2.原式
222
22
11
sinsin(1)
121
xarcxxdxxarcxdx
xx
3.原式
333
231
2
222
00
2
4
(sin)cos(sin)sin(sin)sin
5
xxdxxdxxdx
4.原式
22
3
3
322221
22
0
0
(3)
3333
23
a
adax
axaaa
ax
。
五．解答题:
1．
211
1
2
24612
,2,,,,:43120,
1355
taa
ytkxyxya
t
1切线法线：3x-4y+6a=0
2.
2
22
11lnln1
()ln,,,0,lnln(),,
ab
fxxxbaabababba
aabb
设
3.（1）
2
4
2
3222
0
0
4
4
x
Sxdx
（2）、
8
25
8
222
33
0
0
364
44
55y
Vydyyy
高等数学（下）模拟试卷四参考答案
一．填空题：（每空3分，共15分）
1.24x；2.
1
3；；4.
2
3；5.
6
4
121
25
x
y
。
二．选择题：（每空3分，共15分）
1.C；2.D；3.B；4.B；5.C。
三．1.
23
3
32
5
3
2
2(2)
3
33
1
11
2
22
limlim
11
1
11
1
22
2
x
x
x
xx
x
xx
e
xx
x
g
2.
2
222
22
00
2sin
1cos1
2
limlim
336xx
x
x
xx
3.
33
1
(sin)cot
cos
xxxx
x
dy
eeee
dxe
四．
1.
2
2
2
2
32
2
1
1
,
dy
t
yt
tdxt
；
2.
4
2222sinsinsin2sin2cos2sinxdxxxxxdxxxxxxc
3.
2
1
2
1212
00
2
0
1ln(1)ln2
arctan
14242
x
xxxdx
x
4.
2
2
1
2
1
2
0
0
sin2
2sin,2cos2cos
22
t
xtttdtt
。
五．解答题
1.
3222
12
1212,3624,
2
0,
3
22
00
33
yxxyxx
xx
2
4
为拐点，
，、，为凹区间，，为
凸区间
2.
12
112
001
01
1
,1
11
(1),(2)(2)lnln(1)ln(2)
1
1
,1
1
xx
x
x
x
x
fxdxdxeex
ex
x
e
3.（1）、
1
3
3
1
2422
2
0
0
21
333
x
xxdxx
（2）、
1
25
1
4422
0
0
3
2510x
xx
Vxxdx
高等数学（下）模拟试卷五参考答案
一、填空题：（每空3分，共21分）
1、
0,),(yyxyx
，2、
dyyedxxeyxyx222222
，3、0,4、2
，
5、
e
ey
dxyxfdy),(1
0，6、条件收敛，7、
cxycos
（c为
常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）
1、A，2、D，3、A，4、D，5、B
三、解：1、令
xyezzyxFzln),,(
1
2、所求直线方程的方向向量可取为
3,2,1
2
则直线方程为：3
2
21
1
zyx
7
3、原式
2
0
3
4
0
drrd
4
四、解：1、令
52,2,sin52),(,),(22
y
x
Q
y
y
P
yxxyyxQeyyxPx
3
原式
dxdy
y
P
x
Q
D
)(
6
2、)1(
此级数为交错级数1
因
0
1
lim
nn，1
11
nn
),2,1(n
4
故原级数收敛6
(2)
此级数为正项级数1
因
1
3
1
3
3
)1(
lim
2
1
2
n
n
nn
n
4
故原级数收敛
6
五、解：1、由
033),(2xyxf
x，
03),(yyxf
y得驻点
)3,1(),3,1(
2
在
)3,1(
处
1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(
yyxyxx
fCfBfA
因
,02BAC
，所以在此处无极值5
在
)3,1(
处
1)3,1(,0)3,1(,6)3,1(
yyxyxx
fCfBfA
因
0,02ABAC
，所以有极大值2
15
)3,1(f
8
2、通解
dxdx
xecdxeey1][
3
特解为xexy)2(
8
3、
1)
其对应的齐次方程的特征方程为0822rr
有两不相等的实根
4,2
21
rr
所以对应的齐次方程的通解为xxececy4
2
2
1
（21
,cc
为常数）
3
LLL
)2
设其特解*()xyxae
将其代入原方程得
2
52,
5
xxaeea
故特解
*
2
()
5
xyxe
6
)3
原方程的通解为24
12
xxycece
2
5
xe
7
LLL
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、填空题：（每空3分，共21分）
1、
11),(xyxyx
，2、2
1
，3、
dyyxydxyxx)cos(2)cos(22222
,
4、22，5、
1
2
2
00
()dfrrdr
，6、绝对收敛，7、
cxy2（c为常
数），
二、选择题：（每空3分，共15分）
1、B，2、B，3、B，4、D，5、D
三、解：
1、令53),,(3xyzzzyxF
2
2、所求平面方程的法向量可取为
3,1,2
2
则平面方程为：
0)2(3)1(2zyx
6
3、原式
dyyxdxx
0
22
1
0
)(
4
四、解：
1、令
2(,),(,)(sin),1
PQ
PxyxyQxyxy
yx
3
原式
11
2
00
(0)(1sin)xdxydy
6
2、令
zRyQxP,,
2
原式
()
PQR
dv
xyz
5
3、
)1(
此级数为交错级数1
因
0
ln
1
lim
nn，
)1ln(
1
ln
1
nn)3,2(n
4
故原级数收敛5
(2)
此级数为正项级数1
因
1
3
4
3
sin4
3
sin4
lim
1
1
n
n
n
n
n
4
故原级数发散
5
五、解：
1、由
066),(xyxf
x，
04),(2yyyxf
y得驻点
)4,1(),0,1(
3
在
)0,1(
处
4)0,1(,0)0,1(,6)0,1(
yyxyxx
fCfBfA
因
0,02ABAC
，所以有极小值
2)0,1(f
5
在
)4,1(
处
4)4,1(,0)4,1(,6)4,1(
yyxyxx
fCfBfA
因
,02BAC
，所以在此处无极值7
2、通解
1[]dxdx
xyeedxce
3
特解为
(1)xyxe
7
3、
)1
对应的齐次方程的特征方程为0652rr,有两不相等的
实根
3,2
21
rr
所以对应的齐次方程的通解为xxececy3
2
2
1
（21
,cc
为常数）
3
LLL
)2
设其特解xebaxxy)()(*
将其代入原方程得
15
2321,,
24
axabxab
故特解
*
15
()()
24
xyxxe
6
LLL
)3
原方程的通解为xxececy3
2
2
1
15
()
24
xxe
7
LLL
高等数学（下）模拟试卷七参考答案
一．填空题：（每空3分，共24分）
1.
22(,)|025xyxy
2.
23
()
35
t
t
yC
3.1lnyyyxdxxxdy
4.
yCx
5.221
y
xy
6.12
(cos2sin2)xyeCxCx
7.8
8.2
二．选择题：（每题3分，共15分）
1.D2.D3.B4.C5.B
三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）
1.解：
2
22
23
ln(34)
(34)
zzuzvxx
xy
xuxvxyxyy
………(4分)
22
32
24
ln(34)
(34)
zzuzvxx
xy
yuyvyyxyy
………(7分)
四．计算下列各题（每题10分，共40分）