相似三角形知识点
医学科研课题-小松鼠找花生课文
2023年2月20日发(作者：膜式燃气表)《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题
知识点1有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2比例线段的相关概念、比例的性质
（1）定义：在四条线段dcba,,,中，如果
ba和
的比等于
dc和
的比，那么这四条线段dcba,,,叫做
成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,,的第四比例项，那么应得比例式为：
a
d
c
b
．
②
()
()
()
ab
cd
acdc
bdba
db
ca
，交换内项
，交换外项
．同时交换内外项
核心内容：
bcad
（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使
AC
是
BCAB和
的比例中项，
即2ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点
C
叫做线段AB的黄金分割点，其中
ABAC
2
15
≈0.618AB．即
51
2
ACBC
ABAC
简记为：
51
2
长短
＝＝
全长
注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
（3）合、分比性质：
acabcd
bdbd
．
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：
dc
dc
ba
ba
c
cd
a
ab
d
c
b
a
等等．
（4）等比性质：如果)0(nfdb
n
m
f
e
d
c
b
a
，
那么
b
a
nfdb
meca
．
F
E
D
C
B
A
知识点3比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD∥BE∥CF,
可得
ABDEABDEBCEFBCEFABBC
BCEFACDFABDEACDFDEEF
或或或或等.
特别在三角形中：
由DE∥BC可得：
AC
AE
AB
AD
EA
EC
AD
BD
EC
AE
DB
AD
或或
知识点4相似三角形的概念
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相
似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理4：直角三角形中，“HL”
全等与相似的比较：
三角形全等三角形相似
两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)、(HL）
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
“HL”
（3）射影定理：
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则∽＝＝＞AD2=BD·DC，
∽＝＝＞AB2=BD·BC，
∽＝＝＞AC2=CD·BC.
知识点5相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
E
A
B
C
D
D
B
C
A
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6相似三角形的几种基本图形：
（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、“蝶型”）
(3)一线三等角的变形:
知识点7等积式证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，
并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形
相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字
母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段
代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即
得平行线）构造相似三角形或比例线段。
知识点8相似多边形的性质
A
B
C
D
E
1
2
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
1
2
4
1
2
(1)
E
A
B
C
D
(3)
D
B
C
A
E
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是
基础和关键．
知识点9位似图形有关的概念与性质
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
（4）位似图形具有相似图形的所有性质.
位似图形的性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等
于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原
点，求出对应点的坐标再平移回去）
知识点一：平行线成比例定理
典型例题
例1、如图，平行四边形ABCD中，上的一点，是
4
3
EC
BE
BCE
，于点交FBDAE
BF的值。及，求DF
DA
BE
cm6
例2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，
E是CD的中点，AE交BD于F，则DF:FO＝_____。
跟踪练习1：如图，平行四边形ABCD中，O
1
、O
2
、O
3
为对角线BD上三点，且BO
1
＝O
1
O
2
＝
F
E
D
C
B
A
第7题图
F
E
B
D
A
C
O
2
O
3
＝O
3
D，连结AO
1
并延长交BC于点E，连结EO
3
并延长交AD于F，则AD:FD等于（）。
A、19:2；B、9:1；C、8:1；D、7:1
2、如图，在平行四边形ABCD中R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于Q，若DQ∶
CQ＝4:3，则AP∶PR＝
3
、
(2015•
湖南株洲
,
第
7
题
3
分
)
如图，已知
AB
、
CD
、
EF
都与
BD
垂直，垂足分别是
B
、
D
、
F
，且
AB
＝
1
，
CD
＝
3
，那么
EF
的长是
()
A
．
1
3
B
．
2
3
C
．
3
4
D
．
4
5
4
、（
2015•
甘肃武威
,
第
9
题
3
分）如图，
D
、
E
分别是
△ABC
的边
AB
、
BC
上的点，
DE∥AC
，若
S
△
BDE
：
S
△
CDE
=1
：
3
，则
S
△
DOE
：
S
△
AOC
的值为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
、（
2015•
四川乐山
,
第
5
题
3
分）如图，
∥∥
，两条直线与这三条
平行线分别交于点
A
、
B
、
C
和
D
、
E
、
F
．已知，则的值为
（）
A
．
B
．
C
．
D
．
Q
R
P
D
C
B
A
知识点二、相似三角形的判定
典型例题
例1、如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交
AC的延长线于点E，求证：DFDECD2
例2、在⊿ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证
ACADDEAB
例3、如图，在⊿ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE=CD，求证：
ADACAEAB
例4、已知，如图，在△ABC中，∠C=600，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，试说明△CDE∽△
CBA。
F
A
B
E
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
课后自我练习
1.如图，在△ABC中，AD为中线，CF为任意直线且交AD于点E，交AB于点F，
求证：
ED
AE
=
FB
AF2
2.如图，已知
ABACBC
ADAEDE
，试说明：AB·EC＝AC·BD。
3.在△ABC中，M是AC边的中点，且AE=
4
1
BA，连接EM，并延长交BC的延长线于D，
求证:BC=2CD
A
B
C
D
E
E
D
B
C
A
F
4.已知，如图，F为ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说
明AE2=EG·EF
5、已知：在△ABC中，∠BAC=900AD⊥BC于D，P为AD中点，BP延长线交AC于E，EF
⊥BC于F，求证：EF2=AE·AC
A
B
C
F
G
E
D