数学二考研真题
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2023年2月19日发(作者：夐怎么写)2012年考研数学二试题及答案
２０１2年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:１8小题，每小题4分,共3２分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸
．．．
指定位置上.
(1)曲线
2
21
xx
y
x
渐近线的条数
（)
（A)0(B)1(C）2（D）3
【答案】C
【考点】函数图形的渐近线
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（ｉ）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这
条直线称为这条曲线的渐近线。
（iｉ)渐近线分为水平渐近线（lim()
x
fxb
，b为常数)、垂直渐近线（
0
lim()
xx
fx
）和斜
渐近线（lim[()()]0
x
fxaxb
，,ab为常数）。
(iii）注意:如果
(１）
()
lim
x
fx
x
不存在；
（2）
()
lim
x
fx
a
x
,但lim[()]
x
fxax
不存在,可断定()fx不存在斜渐近线。
在本题中,函数
2
21
xx
y
x
的间断点只有1x.
由于
1
lim
x
y
，故1x是垂直渐近线.
（而
11
(1)1
limlim
(1)(1)2xx
xx
y
xx
,故1x不是渐近线).
又
2
1
1
limlim1
1
1xx
x
y
x
,故1y是水平渐近线.(无斜渐近线）
综上可知，渐近线的条数是2.故选C．
(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中
n
为正整数,则(0)f
（)
2012年考研数学二试题及答案
(A）1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C）1(1)!nn（D）
(1)!nn
【答案】A
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解一】本题涉及到的主要知识点:
00
0
00
()()
()limlim
xx
fxxfx
y
fx
xx
.
在本题中,按定义
2
00
()(0)(1)(2)()
(0)limlim
0
xxnx
xx
fxfeeen
f
xx
1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnn.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点：
()[()()]()()()()fxuxvxuxvxuxvx
.
在本题中,用乘积求导公式.含因子1xe项在0x为０,故只留下一项.于是
2
0
(0)[(2)()]xxnx
x
feeen
1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnn
故选（A）．
(3)设0(1,2,)
n
an,
123nn
Saaaa，则数列
n
S
有界是数列
n
a
收敛的()
(A)充分必要条件(B)充分非必要条件
（Ｃ)必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件
【答案】B
【考点】数列极限
【难易度】★★★
【详解】因0(1,2,)
n
an，所以
123nn
Saaaa单调上升.
若数列
n
S
有界，则lim
n
n
S
存在,于是
11
limlim()limlim0
nnnnn
nnnn
aSSSS
反之，若数列
n
a
收敛,则数列
n
S
不一定有界．例如，取1
n
a(1,2,)n，则
n
Sn是无
界的.
2012年考研数学二试题及答案
因此，数列
n
S
有界是数列
n
a
收敛的充分非必要条件.故选（B）.
(４)设2
0
sin(1,2,3)k
x
K
exdxk
I则有(）
(Ａ）
123
III(B)
321
III(C)
231
III(Ｄ）
213
III
【答案】D
【考点】定积分的基本性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
设acb,则()()()
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx.
在本题中，
2
1
0
sinxIexdx
，2
2
2
0
sinxIexdx
，2
3
3
0
sinxIexdx
2
2
2121
sin0xIIexdxII
，
2
3
3232
2
sin0xIIexdxII
，
222
323
31
2
sinsinsinxxxIIexdxexdxexdx
22
33
()
22
sin()sintxetdtexdx
22
3
()
31
2
[]sin0xxeexdxII
因此
213
III．故选Ｄ.
（5）设函数(,)fxy可微,且对任意的,xy都有
(,)
0
fxy
x
，
(,)
0
fxy
y
，则使不等式
1122
(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是()
(A)
12
xx，
12
yy(Ｂ)
12
xx，
12
yy
（C)
12
xx,
12
yy（D）
12
xx,
12
yy
【答案】D
【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法设函数()yfx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导.
2012年考研数学二试题及答案
①如果在(,)ab内()0fx
,那么函数()yfx在[,]ab上单调增加;
②如果在(,)ab内()0fx
，那么函数()yfx在[,]ab上单调减少.
在本题中，因
(,)
0
fxy
x
，当y固定时对
x
单调上升，故当
12
xx时
1121
(,)(,)fxyfxy
又因
(,)
0
fxy
y
，当
x
固定时对y单调下降,故当
12
yy时
2122
(,)(,)fxyfxy
因此，当
12
xx,
12
yy时
112122
(,)(,)(,)fxyfxyfxy
故选Ｄ．
(6)设区域D由曲线sinyx，
2
x
,1y围成,则5(1)
D
xydxdy(）
（A)
ﻩ(B）2(C)－２ﻩ(D）
【答案】D
【考点】二重积分的计算
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
1
0,(,)
(,)
2(,),(,)
D
D
fxyxy
fxydxdy
fxydxdyfxyxy
对或为奇函数，
对或为偶函数
在本题中,
1
1
5552
22
sin
sin
22
1
(1)(1)()
2x
x
D
xydxdydxxydyxyydx
52
22
22
1
(1sin)(1sin)
2
xxdxxdx
其中52
1
(1sin)
2
xx，sinx均为奇函数,所以
52
2
2
1
(1sin)0
2
xxdx
，2
2
sin0xdx
故选（D)
2012年考研数学二试题及答案
(７)设
1
1
0
0
c
，
2
2
0
1
c
,
3
3
1
1
c
,
4
4
1
1
c
,其中
1234
,,,cccc为任意常数，则下列向
量组线性相关的为（)
(A）
123
,,(B)
124
,,(Ｃ）
134
,,（D)
234
,,
【答案】Ｃ
【考点】向量组的线性相关与线性无关
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
n
个
n
维向量相关
12
,,,0
n
在本题中，显然
134
123
011
,,0110
ccc
,
所以
134
,,必线性相关．故选C.
（8)设A为３阶矩阵，P为3阶可逆矩阵,且1
100
010
002
pAP
.若P＝
(
123
,,）,
1223
(,,),则1QAQ（）
（A)
100
020
001
(B）
100
010
002
(C)
200
010
002
(D)
200
020
001
【答案】Ｂ
【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设A是一个
mn
矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的
m
阶初等矩阵;
对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的
n
阶初等矩阵.
在本题中，由于P经列变换为Q,有
2012年考研数学二试题及答案
12
100
110(1)
001
QPPE
，
那么1111
12121212
[(1)][(1)](1)()(1)QAQPEAPEEPAPE
10011001
11011101
00120012
故选B．
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
(9)设yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则
2
2
0x
dy
dx
.
【答案】1
【考点】隐函数的微分
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
隐函数求导的常用方法有:
1.利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数(或导数),此时一定要注意谁
是自变量,谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，
求得所要的隐函数的偏导数或导数。
2.利用一阶全微分形式的不变性,对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后
求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。
对于多元隐函数来说,若题目中求的是全部偏导数或全微分,往往是用方法2比较简单些,若
只求某个偏导数，则方法１和方法2的繁简程度差不多。
在本题中,令0x，得(0)0y．等式两边同时对
x
求导,得
2yxyey
（*）
令0x
，
0y
得
(0)(0)yy
，
于是
(0)0y
.再将(*）是对
x
求导得
22yyyeyey
2012年考研数学二试题及答案
令
0x
，
0y
,
0y
得
2(0)(0)yy
于是(0)1y
（10)
22222
111
lim
12n
n
nnnn
.
【答案】
4
【考点】定积分的概念
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就
是一个定积分）．
特别是对于
n
项和数列的极限，应该注意到：
1
0
1
1
lim()()
n
n
i
i
ffxdx
nn
在本题中,由积分定义，
2222
222
1111111
limlim
12
12
()1()1()1nn
n
n
nnnnn
nnn
1
1
0
2
0
1
arctan
14
dxx
x
（１1）设
1
(ln)zfx
y
,其中函数()fu可微，则2
zz
xy
xy
【答案】0
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
二元函数[(,)]zfuxy(是一元函数()fu与二元函数(,)uuxy的复合函数），在变量替换
2012年考研数学二试题及答案
(,)uuxy下，得到z对x,y的偏导数为()
zu
fu
xx
,()
zu
fu
yy
.
在本题中,根据题中条件可知，
1z
fu
xx
,
2
1z
fu
yy
，所以20
zz
xy
xy
(12）微分方程2(3)0ydxxydy满足条件
1
1
x
y
的解为y
【答案】2xy(或
yx
)
【考点】一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
方程()()
dy
PxyQx
dx
叫做一阶线性微分方程，其通解为
()()(())PxdxPxdxyeQxedxC
．
在本题中，方程可整理为
1
3
dx
xy
dyy
,将
x
看作因变量,一阶线性非齐次微分方程的通解为
11
3
1
3
dydy
yyxeyedyCyC
y
.又(1)1y，得0C，故2xy（或
yx
)为所
求解.
(13)曲线20yxxx上曲率为
2
2
的点的坐标为.
【答案】（-1，0）
【考点】曲率
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
曲率公式3
2
21
y
K
y
．
在本题中,21,2yxy
，代入曲率公式3
2
21
y
K
y
，得
3
2
2
22
2
1(21)x
,解得
1x或1x.又0x，故10xy．故坐标为(1,0)．
2012年考研数学二试题及答案
(14)设A为3阶矩阵,3A,*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则
*BA___＿___＿＿
【答案】-27.
【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设A是一个
mn
矩阵，对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的
m
阶初等矩阵；
对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的
n
阶初等矩阵.
在本题中,设
12
010
100
001
E
则
12
BEA,从而
3
**
12
27BAEAAA.
三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
（15)已知函数
11
sin
x
fx
xx
记
0
lim
x
afx
（Ⅰ)求
a
的值;
（Ⅱ)当0x时,fxa与kx是同阶无穷小，求常数k的值.
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
当0x时,33
1
sin()
6
xxxoxsinxx,3
1
sin
6
xxx．
（Ⅰ）
3
22
22
0000
1
sinsin
6
limlimlim1lim1
sinxxxx
x
xxxxxx
afx
xxxx
（Ⅱ)1a
方法一：利用泰勒公式
2012年考研数学二试题及答案
33
23
2
12
000
1
66
sinsin
limlimlim0
sinkkk
xxx
xx
xxxxxox
fx
xxxxx
xxxx
解得1k．
方法二:利用等价无穷小量代换
21sin
sinsin
1
sinsin
xxx
xxxxx
fx
xxxx
当0x时,
3
2
1
1
6
1
6
x
fxx
x
，所以1k.
(16)求函数
22
2(,)
xy
fxyxe
的极值.
【考点】函数的极值
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
二元函数取得极值的充分条件：设(,)zfxy在点
00
(,)xy的某邻域有连续的二阶偏导数,又
00
(,)0
x
fxy
，
00
(,)0
y
fxy
,令
00
(,)
xx
fxyA
,
00
(,)
xy
fxyB
，
00
(,)
yy
fxyC
，则
（1）当20ACB时,(,)fxy在
00
(,)xy取极值，且当0A时取极小值,0A时取极大值;
（２)当20ACB时，
00
(,)xy不是(,)fxy的极值点；
(３)当20ACB时，仅此不足以判断
00
(,)xy是否是(,)fxy的极值点，还需另作讨论.
在本题中，先求函数的驻点．令
222222
22
2
222
2
,
10
,
0
xyxyxy
xy
fxy
exexex
x
fxy
xey
y
解得驻点为(1,0)，(1,0)
又
2222
22
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
,
21
,
1
,
1
xyxy
xy
xy
fxy
Axeexx
x
fxy
Bexy
xy
fxy
Cxey
y
2012年考研数学二试题及答案
根据判断极值的第二充分条件，
代入（１，0)，得
1
22Ae,0B，
1
2Ce，从而20ACB,0A，所以(,)fxy在
（1,０)取得极大值，极大值为
1
2e
;
代入(-1，0），得
1
22Ae，0B,
1
2Ce，从而20ACB，0A，所以(,)fxy在(-1，
0）取得极小值，极小值为
1
2e
.
(1７）过点(0,1)作曲线:lnLyx的切线,切点为A，又L与
x
轴交于B点，区域D由L与直
线AB及
x
轴围成,求区域D的面积及D绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积．
【考点】导数的几何意义、定积分的应用
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)函数()yfx在点
0
x处的导数
0
()fx
是曲线()yfx在点
00
(,())xfx处的切线的斜率．
函数；
(ｉｉ）函数()fy，()gy在[,]ab连续,则由曲线()xfy，()xgy及直线
ya,yb()ab所围区域的面积()()b
a
Sfygydy；
(iiｉ)曲线()()yfxaxb绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积2()b
a
Vfxdx.
在本题中，设切点A坐标为
00
(,ln)xx,则切线斜率为
0
1
x
,切线方程为
00
0
1
ln()yxxx
x
，代
入(0,1）点，解得2
0
xe，从而切点A坐标为2(,2)e,切线方程为
2
1
1yx
e
,B点坐标为(1,0),
所以区域D的面积
22
2
22
1
11
11
ln(1)2ln(1)
2
ee
eSxdxexxxdxe
x
2222(1)(1)2eee.
D绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积
22
2
22222
1
11
14
ln2(1)ln2ln(1)
33
ee
eVxdxexxxdxe
2012年考研数学二试题及答案
2
2222
1
42
42ln2(1)(1)(1)
33
eexxeee
（18)计算二重积分
D
xyd,其中区域D由曲线1cos(0)r与极轴围成.
【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(,)(cos,sin)
DD
fxydfrrrdrd
在本题中，作极坐标变换cosxr，sinyr,则D的极坐标表示是
0，01cosr,
于是
1cos
1cos
24
000
0
1
cossincossin
4
D
Ixyddrrdrrd
1
44
01
11
cos(1cos)coscos(1)
44
dtttdt
111
1
4555
1
111
1111
(1)(1)[(1)(1)]
44520
ttdttdttttdt
1
6
1
1113216
[32(1)](32)
20620315
t
(19)已知函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx
及
()()2xfxfxe
(Ⅰ)求()fx的表达式；
（Ⅱ）求曲线22
0
()()xyfxftdt的拐点．
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程;函数图形的拐点
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i）二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy
的特征方程20rprq有两个不同的实
根，微分方程的通解形式为12
12
rxrxyCeCe
.
（ii）拐点的充分判别定理:设()fx在(,)ab内二阶可导，
0
(,)xab,则()0fx
,若在
0
x两
侧附近
0
()fx
异号，则点
00
(,())xfx为曲线的拐点.
2012年考研数学二试题及答案
（Ⅰ)因()fx满足
()()2()0fxfxfx
①
()()2xfxfxe
②
由②得()2()xfxefx
，代入①得()3()2xfxfxe
,
两边乘3xe得32[()]2xxefxe
积分得32()xxefxeC,即3()xxfxeCe
代入②式得3392xxxxxeCeeCee0C,于是()xfxe
代入①式自然成立.因此求得()xfxe
(Ⅱ)曲线方程为22
0
x
xtyeedt
为求拐点,先求出y
.
22
0
21x
xtyxeedt
,
22222
00
242xx
xtxtyeedtxeedtx
,
由于
0,0,
()0,0,
0,0
x
yx
因此(0,(0))(0,0)y是曲线的唯一拐点.
（20）证明：
21
lncos1,
12
xx
xx
x
(11)x
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
函数单调性的判定法设函数()yfx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导.
2012年考研数学二试题及答案
①如果在(,)ab内()0fx
，那么函数()yfx在[,]ab上单调增加；
②如果在(,)ab内()0fx
，那么函数()yfx在[,]ab上单调减少.
证明：令21
lncos1(11)
12
xx
fxxxx
x
，
则转化为证明()0fx((1,1)x）
因()()fxfx,即fx为偶函数,故只需考察0x的情形．
用单调性方法．
111111
lnsinlnsin
111111
xx
fxxxxxx
xxxxxx
,
22
1111
()cos1
11(1)(1)
fxx
xxxx
,
2233
1122
()sin0((0,1])
(1)(1)(1)(1)
fxxx
xxxx
,
其中
22
11
0
(1)(1)xx
，
33
11
2[]0
(1)(1)xx
，sin0((0,1))xx
因(0,1)x时(3)()0fx,又()fx
在[0,1)连续()fx
在
[0,1),()(0)20fxf
((0,1]x）,同理()fx
在
[0,1),()(0)0((0,1])fxfx
()fx在[0,1)，
()(0)0((0,1])fxfx．又因()fx为偶函数()0((1,1),0)fxxx,(0)0f.即原
不等式成立.
（２１）
(Ⅰ）证明:方程11nnxxx（
n
为大于１的整数)在区间
1
,1
2
内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为
n
x,证明lim
n
n
x
存在,并求此极限．
2012年考研数学二试题及答案
【考点】闭区间上连续函数的性质
【难易度】★★★★
【证明】本题涉及到的主要知识点:
零点定理:设函数()fx在闭区间[,]ab上连续,且()fa与()fb异号（即()()0fafb）,那么
在开区间(,)ab内至少有一点,使()0f．
(Ⅰ)转化为证明11nnfxxxx在
1
(,1)
2
有唯一零点.
由于fx在
1
(,1)
2
连续,又
(1)10fn，
2
1
1111
2
()110
1
2222
1
2
n
f
，
由连续函数的零点存在性定理可知fx在
1
(,1)
2
至少存在一个零点．又
12
1
()(1)210(1)
2
nnfxnxnxxx
,
所以()fx在
1
[,1]
2
,()fx在
1
(,1)
2
的零点唯一,即11nnxxx在
1
(,1)
2
内只有一个
根．
(Ⅱ)记1()1nn
n
fxxxx,它的唯一零点记为
1
((,1))
2nn
xx．现证
n
x.由于
11
1
()1()nnn
nn
fxxxxxfx
,
显然
1
1
()0
2n
f
，1
11
()0()n
nnnn
fxxfx
在
1
(,)
2n
x有唯一零点，此零点必然是
1n
x
,且
1
1
2nn
xx
因此
n
x单调下降且有界,故必存在极限
1
lim([,1))
2n
n
xaa
记
2012年考研数学二试题及答案
因11nn
nnn
xxx，即
1
1
1
n
nn
n
xx
x
,
令
n
0
1
1
a
a
1
2
a
即
1
lim
2n
n
x
．
（２2）设
1001
0101
,
0010
0010
a
a
A
a
a
（I）计算行列式A；
（ＩI)当实数
a
取何值时,方程组Ax有无穷多解，并求其通解.
【考点】行列式按行（列）展开定理;非齐次线性方程组有解的充分必要条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
(i）行列式按行(列）展开定理：行列式等于它的任一行(列）的各元素与其对应的代数余子式乘
积之和，即
1122
(1,2,,)
iiiiinin
DaAaAaAin,
或
1122
(1,2,,)
jjjjnjnj
DaAaAaAjn
.
(ｉｉ）设A是
mn
矩阵,方程组Axb,则方程组有无穷多解
()()rArAn
(I）按第一列展开，即得
414
1000
101(1)101
00101
aa
Aaaaa
a
(Ⅱ）因为0A时，方程组Ax有可能有无穷多解.由（I）知1a或1a
当1a时，
1100111001
()
1001000002
A
，
由于()3rA，
()4rA
，故方程组无解.因此，当1a时不合题意,应舍去.
2012年考研数学二试题及答案
当1a时，
1100110010
()
1001000000
A
，
由于
()()3rArA
，故方程组Ax有无穷多解.选
3
x为自由变量,得方程组通解为：
(0,1,0,0)(1,1,1,1)TTk(k为任意常数).
(23）已知
101
011
10
01
A
a
a
,二次型
123
(,,)()TTfxxxxAAx的秩为2
(I)求实数
a
的值;
（II)求正交变换xQy将f化为标准形.
【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量;用正交变换化二次型为标准形
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（ｉ)实对称矩阵的特性:不同特征值的特征向量互相正交.
（ii)任给二次型
,1
()
n
ijijijji
ij
faxxaa
,总有正交变换xPy，使f化为标准形
222
1122nn
fyyy，其中
12
,,,
n
是f的矩阵()
ij
Aa的特征值.
(I）二次型()TTxAAx的秩为２,即()2TrAA
因为()()TrAArA,故()2rA.对A作初等变换有
101101
011011
10001
01000
A
aa
a
，
所以1a.
2012年考研数学二试题及答案
（II）当1a时,
202
022
224
TAA
．由
202
022(2)(6)
224
TEAA
，
可知矩阵TAA的特征值为0，2,６.
对0，由(0)0TEAAx得基础解系(1,1,1)T,
对2，由(2)0TEAAx得基础解系(1,1,0)T，
对6，由(6)0TEAAx得基础解系(1,1,2)T.
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.
1
1
(1,1,1)
3
T，
2
1
(1,1,0)
2
T,
3
1
(1,1,2)
6
T.
那么令
11
22
33
111
326
111
326
12
0
36
xy
xy
xy
,就有22
23
()26TTTxAAxyyyy
．