一阶电路

一阶电路

enage-抛砖引玉

2023年2月19日发(作者：朗豪坊)

第3章电路的暂态分析

【教学提示】

暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。本章

介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由

RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。最后讨论了RC的实际应用电路——

积分和微分电路。

【教学要求】

了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念

理解电路的换路定律和时间常数的物理意义

了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法

掌握一阶电路暂态分析的三要素法

了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件

3.1暂态分析的基本概念

暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。

1.稳态

在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状

态称为电路的稳定状态，简称稳态（steadystate）。

2.换路

当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会

引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。把上述引起电路工作状态发生变化的

情况称为电路的换路（switchingcircuit）。

3.暂态

换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。这种转换不是瞬间完成的，而是有一

个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态（transientstate）。

4.激励

激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。激励按类型不同可以分为直流激励、阶

跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。

5.响应

电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。按照产生响应原因

的不同，响应又可以分为：

（1）零输入响应（zeroinputresponse）：零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储

能元件中初始储能而引起的响应。

（2）零状态响应（zerostateresponse）：零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零

的情况下，由外部激励所引起的响应。

（3）全响应（completeresponse）：在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部

激励所引起的响应。

3.一阶电路

电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，

这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。

尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。一方面可以利

用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。另一方面，也

要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。因

此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。

3.2换路定律

换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依

据。

3.2.1换路定律

电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件—电感或电容。当换

路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不

能突变。因为若能量突变，由

∞

d

d



t

w

p

可得功率为无穷大，而功率是有限的。因此，能量不能突

变。而电感的磁场能为2

2

1

LL

LiW

，电容中的电场能2

2

1

CC

CuW

，能量不能突变，这就意味着电

感中的电流和电容上的电压不能突变。所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为

电路的换路定律（switchinglaw）。

若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0

+

表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：

）（）（



00

CC

uu

）（）（



00

LL

ii

3.2.2初始值的确定

1.初始值的求解步骤

换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后u

C

或i

L

的初始值，再由这两个初始值来确定

换路后电路的其他电压或电流的初始值。以下为求初始值的求解步骤：

（1）由



0t

的等效电路求出

）（



0

C

u

或

）（



0

L

i

。

（2）由换路定律确定

）（



0

C

u

或

）（



0

L

i

。

（3）由



0t

的等效电路，利用

）（



0

C

u

或

）（



0

L

i

求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。

2.等效电路的画法

在



0t

和



0t

时，等效电路的画法应根据以下几点：

（1）换路前电容或电感上没有储能：

①



0t

的等效电路中，所有电量的值为0，

0)0(



f

。

②



0t

的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。

这是因为



0t

时，由换路定律知

）（）（



00

CC

uu

=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短

路；

）（）（



00

LL

ii

=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。

（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，

①



0t

的等效电路中，电容视为开路，其电压为

）（



0

C

u

；电感视为短路，其电流为

）（



0

L

i

；

这是因为电容与电感的伏安关系分别为

t

uc

Ci

Cd

d



，

t

i

LuL

Ld

d



，换路前达稳态时，

00



）（

C

i

，

00



）（

L

u

。所以电容视为开路，其电压为

）（



0

C

u

；电感视为短路，其电流为

）（



0

L

i

。

②



0t的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为

）（



0

C

u

；电感视为一个恒流源，电流为

）（



0

L

i

。

这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为

）（



0

C

u

；电感视为一个恒流源，电流为

）（



0

L

i

。

3.2.3稳态值的确定

换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当t时，电路又达新的稳

态。

若t时电感或电容无储能，则0）（

C

u，0∞）（

L

i，其它电量的稳态值也为零。

若t时电感或电容有储能，因已达稳态，则0∞）（

C

i，0∞）（

L

u而0∞）（

C

u，0∞）（

L

i。

所以在t的等效电路中，电容视为开路，其电压为）（

C

u；电感视为短路，其电流为）（∞

L

i。

再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。

【例3.1】电路如图3.2.1所示，已知E=12V，R

1

=4Ω，R

2

=2Ω，开关S断开前电路已达稳态。

求S断开后，

（1））（



0

C

u、）（



0

C

i、）（



0

1R

u。

（2））（

C

u、）（

C

i、）（

1



R

u。

+

-

E

C

S

R

1

R

2

+

-

U

2

i

C

图3.2.1

解：（1）求初始值

①画出



0t

时的等效电路如图3.2.2（a）所示。

+

-

12V

4Ω

2Ω

+

-

u

C

(0-)

+

-

4V2Ω

+

-

u

R2

(0

+

)

i

C

(0

+

)

（a）（b）

图3.2.2

由题意知：换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：

412

24

2

0







）（

C

u

V

②由换路定律得：

）（）（



00

CC

uu=4V

③画出



0t

时的等效电路如图3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则

2

2

4

)0(

C

i

A

40

2





）（

R

uV

（2）求稳态值

由题意知：达稳态时，电容没有储能，则

0）（

C

u

V

0∞）（

C

iA

0

2

）（

R

uV

3.3RC电路的暂态分析

本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。

3.3.1RC电路的零输入响应

C

i

C2

1

S

u

C

+

-

u

R

+-

R

E

+

-

C

i

C

u

C

+

-

u

R

+-

R

（a）（b）

图3.3.1RC电路的零输入响应

在图3.3.1所示（a）RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源连接，

电源通过电阻R对电容器充电至U

0

，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析换路后

C

u、

C

i的变化规律。

因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为

零输入响应。分析RC电路的零输入响应也就是分析其放电规律。

换路后等效电路如图3.3.1（b），由KVL可得：

0

RC

uu

由于iRu

R

=，将

dt

duc

Ci

代入上式得微分方程：

0

C

Cu

dt

du

RC

或

0

RC

u

dt

du

CC

这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：

pt

C

Aeu

式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。

将通解代入微分方程式得：

0ptptAeRCpAe

整理后得到如下的特征方程：

01RCp

特征根为：

RC

p

1



再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压

0

0Uu

C





）（

根据换路定律得：

0

00Uuu

CC





）（）（

令t=0将其代入微分方程的通解得：

0

0UuA

C





）（

将p和A的结果代入方程的通解得：

RC

t

C

eUu





0

或RC

t

CC

euu





）（0

其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。

t

0

U

0

C

u

t

0

R

U

0

C

i

（a）（b）

图3.3.2RC电路的响应曲线

由

dt

duc

Ci

C



可求出

C

i的变化规律：

RC

t

C

e

R

U

dt

duc

Ci



0

其随时间变化的曲线如图3.3.2(b)所示。由图可见，它的初始值为U

0

，按指数规律衰减至零。

通过分析

CC

iu、的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。当上面的暂

态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压

C

u和电流

C

i的稳态值均为零。暂态过程进行

的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。

令RC，其中R的单位是欧姆（Ω），C的单位是法拉（F），



的单位为秒（s）。因为它

具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与

换路情况和外加电压无关。

当0t时，

0

Uu

C



当τt=时，

0

1

0

368.0UeUu

C



可见时间常数



等于电压

C

u衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图3.3.3所示。

t

0

u

CU

0

τ

0.368U

0

图3.3.3

同样也可列出其它时刻

C

u的数值，见表3.3.1。

表3.3.1

τ

与

C

u的关系

t0

ττ2τ3τ4τ5

…

C

u

U

0

0.36

8U

0

0.13

5U

0

0.05

U

0

0.01

8U

0

0.00

67U

0

…

从理论上讲，电容电压从

0

Uu

C



过渡到新的稳态（

0

C

u

）需要的时间为无穷大，但由上表

可以看出，一般经过3～5的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。

【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知R

1

=6Ω，R

2

=3Ω，C=0.01F，I

S

=3A，S闭合前电路处于直

流稳态，在t=0时S闭合，求t≥0时

C

i、

1

i、

2

i。

C

i

2

S

u

C

+

-

R

1

R

2

i

C

i

1

I

S

图3.3.4（a）

解：（1）在



0t时的等效电路中，电容视为开路，如图（b）所示。

+

-

R

1

R

2

）（



0

C

uI

S

（b）

由图可得：9330

2





RIu

SC

）（（V）

由换路定律得：900



）（）（

CC

uu（V）

（2）换路后的电路如图（c）所示。

C

i

2

u

C

+

-

R

1

R

2

i

C

i

1

（c）

电路的时间常数

τ

为

02.001.02

21

21



C

RR

RR

RCs

则由RC电路的零输入响应的通解得：

t

C

eu509V

则：

t

C

e

dt

duc

Ci505.4

A

t

Ce

R

u

i50

1

1

5.1A

t

Ce

R

u

i50

2

2

3A

3.3.2RC电路的零状态响应

C

S

i

C

u

R

+-

R

u

C

+

-

t=0

E

+

-

图3.3.5

在图3.3.5所示RC一阶电路中，换路前开关S断开，电容无储能。t=0时换路，换路后S闭合，

RC电路与直流电源连接，试分析换路后

C

u、

C

i的变化规律。

因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产

生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。

换路后，电压源通过电阻R向电容C充电，电容上的电压

C

u将从初始值逐渐过渡到某一个稳

态值。由图中所示参考方向，根据KVL得：

Euu

RC



由于

CR

iRu，将

dt

duc

Ci

C



代入上式得微分方程：

Eu

dt

du

RC

C

C

或

RC

E

RC

u

dt

du

CC

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：

通解=齐次微分方程通解+特解

其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的ptAe，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以

取换路后的稳态值。由题意可以得出，换路后的稳态值为E，故非齐次微分方程的通解为：

EAeupt

C



其中p为该齐次微分方程的特征根。

RC

p

1



积分常数A仍由初始值确定，将初始条件0t时，

0

C

u

代入非齐次微分方程的通解，得：

EA

于是求得零状态响应为：

）（RC

t

RC

t

C

eEEEeu



1

其中，E为t时电容两端电压

)(

C

u

，零状态响应又可写为

)1()∞()1(RC

t

C

RC

t

C

eueEu





则

RC

t

C

e

R

E

dt

duc

Ci





它们的变化曲线如图3.3.6（a）、（b）所示。

t

0

E

C

u

t

0

R

E

C

i

（a）（b）

图3.3.6RC电路的零状态响应曲线

【例3.3】在图3.3.5中，已知R=2Ω，C=4μF，E=10V，当t=0时，开关S闭合，换路前电容

初始储能为零，试求开关闭合后

C

u、

C

i的变化规律。

解：换路前C无初始储能，故

000



）（）（

CC

uu

换路后根据KVL得：

Euu

RC



即

Eu

dt

du

RC

C

C

求得：

）（）（t

RC

t

C

eeEu3101251101





t

RC

t

C

ee

R

E

i3101255





3.3.3RC电路的全响应

在图3.3.7所示RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源E

1

连接，而

且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，RC电路与直流电源E

2

连接，设电容的电

压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后

C

u、

C

i的变化规律。

+

-

E

1C

i

C2

1

S

u

C

+

-

u

R

+-

R

+

-

E

2

图3.3.7

由于换路前电路已稳定，电容已有储能。换路后电路由电压源E

2

激励，所以该电路的响应为

全响应。

在t≥0时，由KVL得：

2

=+Euu

RC

由于

CR

iRu

，将

dt

duc

Ci

C



代入上式得微分方程：

2

Eu

dt

du

RC

C

C

或

RC

E

RC

u

dt

du

CC

2

求解的步骤和零状态响应是一样的，但电路的初始条件不同，会影响常数A的数值。该微分方

程的通解为：

2

EAeuRC

t

C





将初始条件

+

0=t时，

1+

=)0(Eu

C

代入微分方程的通解，得：

21

EEA

于是求得全响应为：

221

)(EeEEuRC

t

C





整理得：

)1(

21

RC

t

RC

t

C

eEeEu





分析

C

u式可知，式中第一项RC

t

eE



1

是电路的零输入响应，第二项)1(

2

RC

t

eE



是零状态响应。

因此，电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。

全响应=零输入响应+零状态响应

由

C

u可以求出

C

i的响应。

RC

t

C

C

e

R

E

R

E

dt

du

Ci



)(21

它们的变化曲线如图3.3.8所示。

t

0

E

2

C

u

E

1

t

0

C

u

E

2

E

1

（a）

21

EE（b）

21

EE

图3.3.8RC电路的全响应

3.4RL电路的暂态分析

本节将通过最简单的RL电路来分析其响应，也就是研究RL电路的充放电规律。

3.4.1RL电路的零输入响应

在图3.4.1所示（a）RL一阶电路中，t=0时换路，将开关S闭合，试分析换路后

L

i、

L

u的变

化规律。

t=0

i

L

R

S

u

R

+-

u

L

+

-

E

+

-

图3.4.1RL电路的零输入响应

因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电感换路前有初始储能，所以该电路的响应为

零输入响应。分析RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。

设电感的电压和电流关联参考，换路后，由KVL可得：

0

RL

uu

由于

LR

iRu

，将

dt

di

LuL

L



代入上式得微分方程：

0

L

Li

dt

di

R

L

或

0

L

Li

L

R

dt

di

此方程与电容放电的微分方程形式相同，参照其解法可求得结果

L

i，进而求得

L

u。



t

L

e

R

E

i

其中，

R

E

为t→∞时通过电感的电流)(

L

i，零状态响应又可写为



t

L

t

L

eie

R

E

i



）（∞

则

τ

t

L

L

Ee

dt

di

Lu





式中

R

L



它也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。



越大，

L

i和

L

u衰减的越慢。

它们随时间变化的曲线如图3.4.2所示。

t

0

L

i

R

E

t

0

E-

L

u

(a)(b)

图3.4.2RL电路的响应曲线

可见，电感电流与电容电压的衰减规律是一样的，都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。

而电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到

S

RI，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程

的快慢，取决于电路的时间常数

R

L

。

RL串联电路实际上是线圈的电路模型，如电动机的绕组、仪表的线圈等。在使用的时候常会

遇到线圈从电源断开的问题，如图3.4.3所示电路，S断开前电路已处于稳态。如果突然断开开关S，

这时电感中电流的变化率

dt

di

L很大，将使线圈两端产生很大的自感电动势

dt

di

LeL

L

。由于开关

两触头间的间隙很小，高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花，触头被烧坏。

为防止开断线圈电路时所产生的高压，常在电感线圈两端并联一个二极管。开关S断开前，二

极管反向截止；开关S断开时，二极管导通，电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电，这样

就避免了产生高压。

S

R

t=0

L

E

+

-

图3.4.3

3.4.2RL电路的零状态响应

在图3.4.4所示RL一阶电路中，换路前电感无储能。t=0时换路，S闭合，RL电路与直流电源

连接，试分析换路后

L

i、

L

u的变化规律。

S

u

R

+-

R

t=0

u

L

+

-

i

L

E

+

-

L

图3.4.4RL电路的零状态响应

因为换路前电感无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产

生的，所以该电路的响应为零状态响应。分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。

设电感的电压和电流方向关联参考，换路后，由KVL可得：

Euu

RL



由于

LR

iRu，将

dt

di

LuL

L



代入上式得微分方程：

Ei

dt

di

R

L

L

L

或

E

L

R

i

L

R

dt

di

L

L

此方程与电容充电的微分方程形式相同，参照电容充电的解法可求得结果

L

i，进而求得

L

u。



t

L

e

R

E

R

E

i





其中，

R

E

为t时通过电感的电流)(

L

i，因此零状态响应又可写为

)1)(()1(

t

L

t

L

eie

R

E

i





则



t

L

L

Ee

dt

di

Lu





它们随时间变化的曲线如图3.4.5所示。

t

0

L

i

R

E

t

0

E

L

u

（a）（b）

图3.4.5RL电路的零状态响应曲线

可见，电感电流与电容电压的增长规律是一样的，都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。

电感电压在换路瞬间会发生突变，由零突变到E，然后再按指数规律逐渐衰减到零。过渡过程的快

慢，也取决于电路的时间常数

R

L

。

3.4.3RL电路的全响应

在图3.4.6所示RL一阶电路中，换路前开关S合在a处，RL电路与直流电压源E

1

连接，而且

电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“b”处，RL电路与直流电压源E

2

连接，试分析换路

后

L

u、

L

i的变化规律。

+

-

E

1

i

L2

1

S

u

R

+-

R

+

-

E

2u

L

+

-

L

图3.4.6RL电路的全响应

由于换路前电路已稳定，电感已有储能。换路后电路由电流源I

S2

激励，所以该电路的响应为

全响应。与求RC电路的全响应类似，RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。

由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为：

τ

t

τ

t

τ

t

L

)e

R

E

R

E

(

R

E

)e(

R

E

e

R

E

i



212211

τ

t

τ

t

L

L

eEeE

dt

di

Lu





21

它们的变化曲线如图图3.4.7所示。

t

0

E

2

L

u

E

1

t

0

R

E

1

L

i

R

E

2

（a）（b）

图3.4.7

3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法

上述RC和RL电路中，应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法，称为经典法。对

于一个简单的一阶电路，可以应用经典的方法来求解，但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则

显得比较麻烦，下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法——三要素法。

总结RC、RL电路微分方程的求解过程，可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相

同的，它们都由两部分组成。

'''uuu

'''iii

其中，'u和'i为非齐次微分方程的特解，它可以在电路处于稳定状态时求出，称为稳态分量。

''u和''i是对应齐次微分方程的通解，它具有确定的函数形式称为

t

Ae



，随着暂态过程的结束它将

趋于零，称为暂态分量。

如果将待求的电压或电流用)(tf表示，其初始值和稳态值分别为)0(



f和)(f，则其响应表

示为：



t

Aeftf



)()(

在



0t时有

Aff



)()0(

得：

)()0(



ffA

因此



t

effftf





)]()0([)()(

式中

)(f

、)0(



f和



称为一阶电路的三要素，求解时只要求出三个要素，就能直接求出电

路的响应。

【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中，已知E=10V，R

1

=R

2

=5kΩ，C=1nF，开关S闭合前电容无

储能。求开关S闭合后的电容电压

C

u和电流

C

i。

C

S

i

C

u

R1

+-

R

1

u

C

+

-

t=0

R

2

u

R2

+

-

E

+

-

图3.5.1

解：本题是求零状态响应，用三要素法求电容电压

C

u和电流

C

i的变化规律。

（1）先求

）（



0

C

u

、）（



0

C

i

由题意开关S闭合前电容无储能得：

00



）（

C

u

由换路定律得：

000



）（）（

CC

uu

在



0t时，电容视为短路

2

5

10

0

1



R

E

i

C

）（

mA

（2）再求)(

C

u、)(

C

i

∞t时，电容视为开路，则：

510

55

5

)(

21

2







E

RR

R

u

C

V

0)(

C

i

A

（3）然后求时间常数



693

21

21105.210110

55

55











C

RR

RR

RCS

（4）求

C

u、

C

i

把上面的结果代入三要素公式



t

CCCC

euuutu





)](0[)(）（）（



t

CCCC

eiiiti





)](0[)(）（）（

得：

tt

C

eetu5510410455]50[5）（V

tt

C

eeti551041042]02[0）（mA

它们的变化曲线如图3.5.1所示。

t

0

C

u

5

t

0

2

C

i

(a)(b)

图3.5.1

3.6微分电路与积分电路

在RC电路中，电路的时间常数决定了暂态过程进行的快慢，如果对RC电路选择适当的时

间常数和输出端，便会得到输出电压

O

u和输入电压

i

u之间微分和积分的关系，本节所介绍的就是

由RC电路构成的微分电路与积分电路。

3.3.1微分电路

如图3.3.1所示RC电路中，输入电压

i

u为一个矩形脉冲电压，脉冲幅度为U，脉冲宽度为t

p

。

输出电压

O

u取自R两端，且满足tτ<<

p

，设电容初始储能为零，试分析输出电压

O

u和输入电压

i

u

之间的关系。

t

0

i

u

U

t

p

1

t

2

t

C

u

C

+-

u

i

+

-

u

o

+

-

R

i

(a)矩形脉冲(b)电路图

图3.3.1微分电路

为便于分析，我们分别取几个特殊时刻，0=t、

1

=tt、

2

=tt。

0t时，输入矩形脉冲

i

u由零突变为U，由于电容初始储能为零，故000



）（）（

CC

uu，

则Uu



）（0

O

。

1

<<0tt时，由于t

，所以电容迅速充电，电容电压

C

u按指数规律很快充电到U，相应

地输出端电压

O

u即

R

u由初始值衰减到0，形成一个幅度为U的正尖脉冲输出。

1

=tt时，矩形脉冲

i

u由U突变为零，输入端相当于短路。此时，电容电压不突变Uu

C

，

输出端电压Uuu

C



O

。

21

<

C

u按指数规律很快衰减到零，相应地输出端电压

O

u

由

U

也迅速地衰减到零，形成一个幅度为U的负尖脉冲输出。

2

=tt时，输入矩形脉冲

i

u又由零突变为U。然后电容迅速充电、放电，重复上述过程。

因此，由上述分析可以在输出端得到一个正负两尖脉冲电压，如图3.3.2所示。而且随着的

减小，

O

u幅值衰减的速度越快，尖脉冲的下降部分衰减的越快。

t

0

i

u

U

t

p

t

0

C

u

U

t

0

O

u

U

图3.3.2微分电路的波形

下面来分析输出电压

O

u和输入电压

i

u之间的关系。

输出电压

O

u即电阻两端电压

R

u

dt

du

RCiRuC

R



从图中可以看出，当时间常数



很小时，电容迅速充放电，

Ci

uu

因此输出电压

O

u

dt

du

RCui

O

上式表明，输出电压

O

u近似与输入电压

i

u之间为微分关系。

在脉冲电路中，常利用微分电路把矩形脉冲变换为尖脉冲，作为触发信号使用。

3.3.2积分电路

在图3.3.1所示RC电路中，输入电压

i

u仍是一个脉冲幅度为U，脉冲宽度为t

p

的矩形脉冲电

压，但输出电压

O

u从电容C两端引出，且满足t

p

，设电容初始储能为零，试分析输出电压

O

u

和输入电压

i

u之间的关系。

t

0

i

u

U

t

p

1

t

2

t

R

u

R

+-

u

i

+

-

u

o

+

-

C

i

(a)矩形脉冲(b)电路图

图3.3.2积分电路

0t时，输入矩形脉冲

i

u由零突变为U作用于RC电路中，由于t，所以电容电压

C

u按

指数规律缓慢充电到U

1

，U

1

远达不到脉冲电压U时，输入脉冲已消失，此后电容C通过电阻R进

行放电，放电也非常缓慢，在放电到电压U

2

还未放完时，第二个输入脉冲又到来了，于是电容又

继续充电，重复上述过程，从而形成锯齿波形输出。

t

0

i

u

U

t

p

t

0

O

u

U

图3.3.3积分电路的波形

输出电压

O

u和输入电压

i

u之间的关系为

Ri

uuu

O

当时间常数很大时，电容的充放电十分缓慢，

RC

uuu

O

，因此

dt

du

RC

dt

du

RCiRuuuuC

RRi

O

O



所以输出电压

O

u为

dtu

RC

idt

C

u

i

11

O

可见，输出电压

O

u与输入电压

i

u的积分成正比。

在脉冲电路中，常利用积分电路把矩形脉冲变换为锯齿波信号，作为扫描信号使用。