常矢量
曹青-纯名里沙
2023年2月18日发(作者：企业档案)v1.0可编辑可修改
1
1矢量分析
1.在球面坐标系中，当
与
无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域
内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
3.矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的
（）也是一个标量，定义为。
4.矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋
度是一个（），它定义为。
5.标量场u（r）中，（）的定义为，
其中n为变化最快的方向上的单位矢量。
6.矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。
任一矢量的旋度的散度恒为（）。
7.算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以
是个（），而是个（），是个（）。
2
8.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度
开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9.（）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标
10.标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S等。
11.矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量
等。
12.标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该
标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表
示。
13.矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该
矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14.旋度为零的矢量场叫做（）
15.标量函数的梯度是（），如静电场
16．无旋场的（）不能处处为零
17.散度为零的矢量场叫做（）
18.矢量的旋度是（），如恒定磁场
19．无散场的（）不能处处为零
20．一般场：既有（），又有（）
21．任一标量的梯度的旋度恒为（）
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22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
23．给定三个矢量和：
求：(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)在上的分量：
(6)；(7)；
(8)和。
24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。
(1)判断是否为一直角三角形。
(2)求三角形的面积。
25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的
方向。
26．给定两矢量和，求在
上的分量。
27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设为一矢量，，而，和已知，试求。
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28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，
求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
29．用球坐标表示的场，
(1)求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；
(2)求与矢量构成的夹角。
30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明
和间夹角的余弦为提示：
，在直角坐标中计算。
31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。
32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度
定理。
33．求(1)矢量的散度；
(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；
(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球
体积的部分。
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35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的
线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围
的表面积分，验证斯托克斯定理。
36．求矢量沿圆周的线积分，再计算
对此圆面积的积分。
37．证明：（1），（2），（3），其中为
一常矢量。
38．一径向矢量场用，表示，如果，那么
函数会有什么特点呢
39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点
的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场
吗
40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单
位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。
42．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢
量。
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43．现有三个矢量场
问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以用一个矢量的
旋度表示
（2）求出这些矢量的源分布。
44．利用直角坐标证明：
45．证明：
46．利用直角坐标证明：
47．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及
，试证明之。
48．求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。
49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程
50．求数量场
22xy
u
z
在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。
51．设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即
222rxyz
，证明：
.
r
gradrr
r
52．求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数
7
53．已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为4
q
r
，其中
矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强
度E。
54．已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H
所围封闭曲面的通量。
55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为
2
(,,)
4yz
qr
Drryezerrr
r
r
求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量
56．原点处点电荷q产生的电位移矢量2344
Drr
rr
，试求电位移矢量D的
散度。
57．球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求S
rdS
58．求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量
59．求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及
沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
60．在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为
33
()
44xyz
Erxeyeze
rr
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。
61．在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离r>>l时，其空间电位
的表达式为2
0
(,,)cos
4
ql
r
r
求其电场强度E(r,θ,φ)。
62．已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：
y
B
O
x
r＝3
A
8
（1）该矢量场的旋度;
（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，
如图所示，验证斯托克斯定理。
63．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未
知矢量。设A为一已知矢量
pAX
PAXp和P已知，试求X
64．点电荷q在离其r处产生的电通量密度为
2221/2
3
ˆˆ
ˆ
,,()
4
q
Drrxxyyzzrxyx
r
求任意点处电通量密度的散度
▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量
65．
1(())()
(2)(())()
(3)(())()
d
frfr
df
dA
Afrfr
df
dA
Afrfr
df
证明（）
66．证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面
67．
)
(2))
AAA
AAA
求证：（1）(
(
68．
2)()()
)()()
AAAA
AAA
（
（
69．
ˆ
()
Sl
nAdSAdl证明：
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70.证明:其中：A为一常矢量
71.现有三个矢量场A,B,C
问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；
（2）哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示；
（3）求出这些矢量的源分布。
72.(1)求矢量的散度；
（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；
（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
73.求矢量沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积
分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围的
表面积分，验证斯托克斯定理。
74.给定矢量函数，试计算(1)沿抛物线x＝2y2；（2）沿连接该
两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E是保守场吗
75．已知
A
、
B
和
C
为任意矢量，若
CABA
，则是否意味着
B
总等于
C
呢
试讨论之；试证明：
BACACBCBA
。
10
76．给定三个矢量
A
、
B
和
C
如下：
zyx
aaaA32
zy
aaB4
zx
aaC25
求（1）矢量
A
的单位矢量A
a
；
（2）矢量
A
和
B
的夹角AB
；
（3）
BA
和
BA
（4）
CBA
和
CBA
；
（5）
CBA
和
CBA
。
77．有一个二维矢量场
xy
yx
aarF
，求其矢量线方程，并定性画出该
矢量场图形。
78．直角坐标系中的点
4,1,3
1
P
和
3,2,2
2
P
，直角坐标系中写出点1
P
、2
P
的
位置矢量1
r
和2
r
；求点1
P
到2
P
的距离矢量的大小和方向，求矢量1
r
在2
r
的投影。
79．写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变
换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。
80．求数量场
222lnzyx
通过点
1,2,3P
的等值面方程。
81．用球坐标表示的场2
25
rr
aE
，
求（1）在直角坐标系中的点
5,4,3
处的
E
和z
E
；
（2）
E
与矢量zyx
aaaB22
之间的夹角。
11
82．试计算
S
Srd
的值，式中的闭合曲面
S
是以原点为顶点的单位立方体，
r
为
立方体表面上任一点的位置矢量。
83．求标量场
zeyxzyx326,,
在点
0,1,2P
的梯度。
84．在圆柱体
922yx
和平面
0x
、
0y
、
0z
及
2z
所包围的区域，设
此区域的表面为
S
，求
（1）矢量场
A
沿闭合曲面
S
的通量，矢量场
A
的表达式为
xzzyx
zyx
3332aaaA
（2）验证散度定理。
85．计算
C
lAd
从
0,0,0P
到
0,1,1Q
，其中矢量场
A
的表达式为
2144yx
yx
aaA
曲线
C
沿下列路径：
（1）
tx
，
2ty
；
（2）沿直线从
0,0,0
沿
x
轴到
0,0,1
，再沿
1x
到
0,1,1
；
（3）此矢量场为保守场吗
86．（1）若矢量场
z
raA2162
，在半径为2和
20
的半球面上计算
S
SAd
的值；（2）若矢量场z
aA2cos10
，求穿过
xy
平面上半径为2的圆面
的通量
S
SAd
。
12
87．求矢量
2xyx
yx
aaA
沿圆周
222ayx
的线积分，再求
A
对此圆周
所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
88．在球坐标系中，已知标量函数
2
0
4
cos
r
p
e
，其中e
p
和0
均为常数，求矢
量场
E
。
89．求下列标量场的梯度：
（1）
2xxyzu
；
（2）
xzzyyxu4422
；
（3）
35xyzu
。
90．求下列矢量场在给定点的散度：
（1）
xzyx
zyx
333aaaA
在点
1,0,1P
；
（2）
223zyzyx
zyx
aaaA
在点
0,1,1P
。
91．求下列矢量场的旋度：
（1）
2223zyx
zyx
aaaA
（2）
xyxzyz
zyx
aaaA
92．现有三个矢量场
A
、
B
和
C
，已知
sincoscoscossinaaaA
r
13
sin2cossin22zzz
z
aaaB
zxxy
zyx
232322aaaC
求（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场
（2）哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示哪些矢量场可以用一个矢
量函数的旋度来表示
（3）求出它们的源分布。
93．已知直角坐标系中的点
P
zy,x,
和点
Qz,y,x
求
P
点的位置矢量
r
和
Q
点
的位置矢量
r
；从
P
点到
Q
点的距离矢量
R
；
r
和
r
；
R
1
94．证明矢量场
zyzxzxyxzy
zy
2
x
222222aaaA
为有势场。
95．在直角坐标中，证明
AAA
96．在直角坐标中，证明
AAA
97．求函数
223yyx
在点
3,2P
处沿曲线
12xy
朝
x
增大方向的方向导
数。
98．若矢量场
142325xxz
zyx
aaaA
试在由半球面
4222zyx
和平面
0z
组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。
99．在直角坐标中，证明：
一个矢量场的旋度的散度恒等于零，即
0A
；
v1.0可编辑可修改
14
一个标量场的梯度的旋度恒等于零，即
0
。
100.试说明：满足拉普拉斯方程
20
的电位函数没有极大值。
101.给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。
102.证明：如果和，则。