方位角计算
转动轴-凤城高中
2023年2月17日发(作者：蚕蛹虫草)一、直线定向
1、正、反方位角换算
对直线而言，过始点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角是的正方位角，而过端点的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直
线的夹角则是的反方位角，同一条直线的正、反方位角相差，即同一直线的正反方位角
＝(1-13)
上式右端，若<，用“＋”号，若，用“－”号。
2、象限角与方位角的换算
一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用表示，取值范围为。为了说明直线所在的象限，在前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为
北东（NE）、南东（SE）、南西(SW)、北西(NW)。象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。
表1-4象限角与方位角关系表
象限象限角与方位角换算公式
第一象限（NE）=
第二象限（SE）=－
第三象限（SW）=＋
第四象限（NW）=－
3、坐标方位角的推算
测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算出各边的坐标方位角。
设地面有相邻的、、三点，连成折线（图1-17），已知边的方位角，又测定了和之间的水平角，求边的方位角，即是相邻边坐标方位角的推算。
水平角又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为，前进方向右侧的水平角。
设三点相关位置如图1-17()所示，应有
＝＋＋(1-14)
设三点相关位置如图1-17()所示，应有
＝＋＋－＝＋－(1-15)
若按折线前进方向将视为后边，视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式：
＝＋(1-16)
显然，如果测定的是和之间的前进方向右侧水平角，因为有＝－，代入上式即得通式
＝－(1-17)
上二式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。
二、坐标推算
1、坐标的正算
地面点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。坐标正算，就是根据直线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标，计算直线另一个端点的坐标的工作。
如图1所示，设直线AB的边长DAB和一个端点A的坐标XA、YA为已知，则直线另一个端点B的坐标为：
XB=XA+ΔXAB
YB=YA+ΔYAB
式中，ΔXAB、ΔYAB称为坐标增量，也就是直线两端点A、B的坐标值之差。由图1中，根据三角函数，可写出坐标增量的计算公式为：
ΔXAB=DAB·cosαAB
ΔYAB=DAB·sinαAB
式中ΔX、ΔY均有正、负，其符号取决于直线的坐标方位角所在的象限，
参见表1-5。
表1-5不同象限坐标增量的符号
坐标方位角及其所在象限之符号之符号
（第一象限）
（第二象限）
（第三象限）
（第四象限）
＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
2、坐标的反算
根据、两点的坐标、和、，推算直线的水平距离与坐标方位角，为坐标反算。由图1可见，其计算公式为：
=(1-20)
=(1-21)
注意，由（1-20）式计算时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据、的正、负号，确定直线所在的象限，再将象限角化为坐标方位角。
例如、均为－１。这时由（1-20）式计算得到的数值为，但根据、的符号判断，直线应在第三象限。因此，最后得=＝，余类推。
表1-4象限角与方位角关系表
象限象限角与方位角换算公式
第一象限（NE）=
第二象限（SE）=－
第三象限（SW）=＋
第四象限（NW）=－
三、举例
1、某导线12边方位角为45°，在导线上2点测得其左角为250°，求α32？
解：1）23边的方位角：
根据公式＝＋
因α12＝250°，α12＞180°，
故计算公式中，前面应取“－”号：
α23＝α12＋－
＝45°＋250°－180°
＝115°
2）求α23反方位角：
根据公式＝，本例α23＜180°，故前面应取“＋”号：
α32＝α23＋＝295°
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一、水准测量内业的方法：
水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点的高程。
1.高差闭合差的计算与检核
附合水准路线高差闭合差为：
＝－()(2-8)
闭合水准路线高差闭合差为：
＝(2-9)
为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）。一般水准测量该容许值规定为
平地＝mm
山地＝mm(2-11)
式中，―水准路线全长，以km为单位；―路线测站总数。
2.高差闭合差的调整
若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度(平地)或测站数(山地)成正比，即依
下式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中：
⊿=-(平地)
⊿=-(山地)
式中，―路线总长；―第测段长度(km)(＝1、2、3．．．)；
―测站总数；―第测段测站数。
3.计算待定点的高程
将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：
hi改=hi+⊿hii＝1，2，3，……
据此，即可依次推算各待定点的高程。
如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。
二、举例
1.附合水准路线算例
下图2-18所示附合水准路线为例，已知水准点A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段。
表2-2附合水准路线计算
测段号点名测站数观测高差/m改正数/m改正后高差/m高程/m备注
12345678
1BM18+－
+
1
23－－－
2
34－－－
3
45+－+
BM2
20
+－+
辅助
计算
＝+
＝=54mm
1）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差、已知高程数填入表2-2内相应栏目2、3、4、7(如系平地测量，则将测站数栏改为公里数栏，填入各测
段公里数；表内加粗字为已知数据)。
2）进行高差闭合差计算：
＝－()＝－－＝+
由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数计算高差闭合差的容许值为：
＝＝=54mm
计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏。
3）高差闭合差的调整
fh≤fh容，故其精度符合要求。
本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数：
⊿=-（―测站总数，―第测段测站数）
第一测段的高差改正数为：
⊿=－14mm
同法算得其余各测段的高差改正数分别为－5、－7、－8mm，依次列入表2-2中第5栏。
注：1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行校核。如因取整误差造成二者出现小的较差可对个别测段高差
改正数的尾数适当取舍1mm，以满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。
2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：用公式⊿＝-计算，式中，―路线总长；―第测段长度(km)(＝1、2、3．．．)。
4）计算待定点的高程
将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：
hi改=hi+⊿hii＝1，2，3，4
据此，即可依次推算各待定点的高程。（上例计算结果列入表2-2之第6、7栏）。
H1=HA+H1改
H2=H1+H2改
……
HB（算）=HB(已知)
注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值（HB-HA），即:∑h改=HB-HA。如不相等，说明计算中有错误存在。最后推出的终点高程应与已知的高
程相等。
2闭合水准路线算例
闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。计算时应当注意高差闭合差的公式为：ｆｈ＝∑ｈ测。
如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为，，其观测成果如图中所示，计算1、2、3各点的高程。
将图中各数据按高程计算顺序列入表2进行计算：
表2水准测量成果计算表
测段号点名测站数观测高差
/m
改正数/mm改正后
高差/m
高程
/m
1234567
1
BMA
11－－
1
28
2
36
3
47－－
BMB
32－0
辅助
计算
＝30mm
＝mm＝±68mm
计算步骤如下：
⑴计算实测高差之和∑h测=
＝－＝＝30mm
⑶计算容许闭合差fh容==±68mm
fh≤fh容，故其精度符合要求，可做下一步计算。
⑷计算高差改正数
高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。本例各测段改正数vi计算如下：
⊿=－(fh/∑n)×n1=－(－17/32)×11=6mm
⊿h2=－(fh/∑n)×n2=－(－17/32)×8=4mm
……
检核∑⊿h=－fh=－
⑸计算改正后高差h改
各测段观测高差hi分别加上相应的改正数后⊿hi，即得改正后高差：
h1改=h1+⊿h1=－+=
h2改=h2+⊿h2=+=
……
注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值0，即：∑h改=0，如不相等，说明计算中有错误存在。
⑹高程计算
测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。最后推出的终点高程应与起始点的高程相等。即：
H1=HA+h1改=
H2=H1+h2改=+=
……
HA（算）=HA(已知)=
计算中应注意各项检核的正确性。
下一节
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一、经纬仪测回法测水平角
1、基本数据：
设、、为地面三点，为测定、两个方向之间的水平角，在O点安置经纬仪(图3-7)，采用测回法进行观测。
1）上半测回(盘左)水平度盘读数：
目标：＝0°02′06″，
目标：＝68°49′18″；
2)下半测回(盘右)水平度盘读数：
目标：＝248″49′30″，
目标：＝180°02′24″。
2、填表与计算：
1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表3－1第4栏。
表3-1水平角观测手簿(测回法)
测站目标
竖盘
位置
水平度盘读数
°′″
半测回角值
°′″
一测回角值
°′″
备注
1234567
左
00206
684712
684709
684918
右
1800224
684706
2484930
2）计算半测回角，并将结果填入表3－1第5栏：
盘左：=＝
盘右：
注：计算角值时，总是右目标读数减去左目标读数，若<，则应加。
3）计算测回角值，并填入表3－1第6栏。
＝
注：1．同一方向的盘左、盘右读数大数应相差；
2．半测回角值较差的限差一般为；
3．为提高测角精度，观测个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘变换手轮配置水平度盘读数，使其递增。
各测回平均角值较差的限差一般为。水平角取各测回角的平均值。
二、经纬仪测竖直角
竖直角(简称竖角)是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值，仰角为正，俯角为负，其绝对值为。
1、竖盘构造
经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控制，当指标水准管气泡居中时，指标线应
在铅垂位置。目标方向可通过竖直度盘(简称竖盘)读取读数（始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。
2、竖直角的计算公式
图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：盘左为，盘右为。
盘左(3-4)
盘右＝(3-5)
其平均值为(3-6)
注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同。
3、竖直角记录整理举例：
设点安置经纬仪观测目标、C目标的竖角，观测值如下：
目标：盘左：竖盘读数为(设为)；
盘右：竖盘读数为(设为)。
目标C：盘左：竖盘读数为(设为99°41′12″)；
盘右：竖盘读数为(设为260°18′00″)。
1）将竖盘读数填入下表3－4第4栏。
表3-4竖直角观测手簿
测站目标竖盘
位置
竖盘读数半测回竖角指标差一测回竖角备注
°′″°′″()”°′″
12345678
左823712+72248
+3+72251
右2772254+72254
左994112－94112
－24－94136
右2601800－94200
注：盘左视线水平时，竖盘读数为90°，视线上斜读数减少。
2）计算半测回角，并填入表3－4第5栏中。
盘左(3-4)
盘右＝(3-5)
3）计算指标差x，填入表3－4第6栏。
指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离角值称为竖盘指标差x。指标差有两种计算方法：
方法1：＝(3-12)
方法2：(3-13)
4）计算一测回角，填入表3－4第7栏。
(3-6)
注：1、指标差对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相反，采用盘左、盘右取平均的方法就可以消除指标差对竖角的影响。
2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。该例两个指标差值之所以相差较大，说明读数中含有较
多的观测误差。
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一、基本计算
对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三
项改正：
1、尺长改正
设钢尺名义长为，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为，二者之差值即为一尺段的尺长改正：
(4-5)
2、温度改正
受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度与检定时的温度不同时，钢尺的长度就会发生变化，因而每尺段需进行温度改正：
(4-6)
式中C，为钢尺的膨胀系数。
3、倾斜改正
设一尺段两端的高差为，沿地面量得斜距为，将其化为平距(图4-6)，应加倾斜改正。
因为，
即有＝；又因甚小，可近似认为，所以有
＝－(4-8)
以上三项之和即为一尺段的改正数：
(4-9)
4、尺长方程式
尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式：
(4-7)
式中―温度为度时钢尺的实际长度；―钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就是钢尺尺长改正和温度改正的组合。
5、相对误差
为了检核和提高精度，一般需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。
(4-3)
并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。
相对误差：(4-4)
二、举例
例1：钢尺丈量AB的水平距离，往测为，返测为；丈量CD的水平距离，往测为，返测为，最后得DAB、DCD及它们的相对误差各
为多少哪段丈量的结果比较精确
解：1)水平距离，由得：
AB：DAB＝（＋）/2＝
CD：DCD＝（＋）/2＝
2)相对误差，由得：
AB：KAB＝－/＝1/3128
CD：KCD＝－/＝1/2634
KAB＜KCD，故AB的丈量结果比较精确。
例2：一钢尺名义长=30m，实际长=，检定温度＝C，作业时的温度和场地坡度变化都不大，平均温度＝C，尺段两端高差的平均值
＝+，量得某段距离往测长＝，返测长＝，求其改正后平均长度及其相对误差。
解：一尺段尺长改正＝
温度改正==
倾斜改正=－=－
三项改正之和=+－＝+
往测长的改正数及往测长
==+，m
返测长的改正数及返测长
=+，m
改正后平均长：
＝
相对误差：
例3：从A点测设长度为的水平距离AB，初设B点后，测得温度t=23℃,AB两点的高差h=－，已知尺长方程为lt=30－+×10-5(t
－20°C)×30m,问需沿地面测设多少长度
解：1）AB段三项改正
尺长改正＝－×30＝－
温度改正＝×10-5(23°C－20°C)×＝
倾斜改正＝－(2×＝－
三项之和（即AB段的改正数）：
＝－＋＋（－）
＝－
需沿地面测设的长度DAB′＝DAB－＝－(－＝
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一、基本计算
1、观测值中误差的计算
设在相同条件下对某量进行了n次观测，得一组观测值L1、L2、……Ln，x为观测值的算术平均值，表示观测值改正数，即
……
则中误差
2、相对中误差的计算
所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为1表示：
=
3、算术平均值及其中误差计算
设对某量进行次等精度观测，观测值为(=1、2……)，
其算术平均值为：
算术平均值中误差mx(其中m为观测值的中误差)
4、观测值函数中误差计算
观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列。
函数名称函数式函数中误差计算式
倍数函数=＝
和差函数
线性函数=
二、举例
例1：对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表(5-3)，试求算术平均值及其中误差、相对误差和观测值中误差。
表5-3距离测量成果计算表
观测次数观测值/m/mm1、算术平均值
2、观测值中误差：＝±
3、算术平均值中误差：＝±
4、算术平均值的相对中误差K=1/124400
1
2
3
+7
－1
+4
49
1
16
4
5
6
－10
+6
－6
100
36
36
[]=0[]=238
解：其计算步骤为
1.计算算术平均值
(2)计算观测值改正数
(=1、2……)
本例计算[]=0，说明检核通过。再计算各之平方，得[]=238。
（注：检核：计算[]，看其是否为0。如果由于凑整误差使算得的[]为一微小数值，也应视为计算无误。）
(3)计算观测值中误差
=mm
(4)计算算术平均值中误差
=mm
(5)计算算术平均值的相对中误差
注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。
例2：观测一四边形的三个内角，中误差分别±4″,±5″,±6″；则第4个角的中误差为多少？
解：第4各角计算式可写为x4＝360－x1－x2－x3
由线性函数中误差计算公式可得：
m4=±（42＋52＋62）1/2=±9″
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一、基本计算
导线内业计算包括角度闭合差的计算和调整、方位角的推算、坐标增量闭合差的计算和调整及未知点的坐标计算。
1、角度闭合差的计算和调整
1）角度闭合差计算：
a)附合导线：
CD的方位角推算值与其已知值若不等，其差值即称为角度闭合差。
=－＝－(－)(6-3)
b)闭合导线
闭合导线角度闭合差为所有内角观测值之和与闭合边形内角和理论值之差，即
－(6-8)
2）角度闭合差的调整
如果小于限差，说明观测成果符合要求，但是需要调整。即将角度闭合差按相反符号平均分配于各角(其分配值即称原角度观测值
之改正数)。
注：分配值一般取整至秒，并使其总和与角度闭合差二者绝对值相等。
3)根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。
根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。、最后算得的和已知值应完全相等，可作为检核。
＝＋
＝－
注：上二式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则前面用“－”号。
2、坐标增量闭合差的计算合调整
1）坐标闭合差计算
坐标增量闭合差是末端已知点坐标的计算值、和已知值、之差(分别称为纵坐标增量闭合差和横坐标增量闭合差)：
a）附合导线
(6-4a)
(6-4b)
b)闭合导线
闭合导线的起、终点为同一点，故将公式(6-4)式右端之第2项均改为0，即为闭合导线坐标增量闭合差。
2）闭合差调整
a）根据、计算导线全长闭合差和全长相对闭合差K：
(6-5)
(6-6)
如果小于限差，说明观测成果符合要求，但亦需要调整。
b）将纵、横坐标增量闭合差、反号，按与边长成比例分配于各边的坐标增量中
其分配值(即原纵、横坐标增量值之改正数)、按下式计算：
式中，为第条边边长。
注：纵、横坐标增量改正数之的总和应分别等于纵、横坐标增量闭合差，而符号相反，用于检核。
3)计算待定导线点坐标
坐标增量闭合差调整后，根据起始点的已知坐标和经改正后的坐标增量计算各待定导线点的坐标。
注：最后算得的末端点、坐标应和其已知值完全相符合，再次检核。
二、举例
例1已知四边形闭合导线内角的观测值见下表，试进行角度闭合差计算和调整，并推算出各边的坐标方位角。
点号观测值（右角）
(′″)
改正数
(′″)
改正后角值
(′″)
坐标方位角
(′″)
1021
2671412
3541520
41261525
∑
fβ=
解：1）计算角度闭合差
∑βi=360°00′20″
－=20″（n＝4）
120″
fβ＜fβ允，精度符合要求。
2）调整角度闭合差
将角度闭合差按相反符号平均分配于各角：－20″/4＝－5″。
计算改正后角值各内角值βi′＝βi＋（－5″）
3）推算各边方位角
因角度观测值为右角，故应用公式＝－推算各边方位角。计算时应注意公式右端，若前两项计算结果<，前面用“＋”号，否则
前面用“－”号。
已知α12＝100°00′00″
故α23＝α12＋β2′＝100°00′00″－67°14′07″＋180°＝212°45′53″
α34＝α23＋β3′＝212°45′53″－54°15′15″＋180°＝158°30′38″
α41＝α34＋β4′＝158°30′38″－126°15′20″＋180°＝212°15′18″
α12＝α41＋β1′＝212°15′18″－112°15′18″＋180°＝100°00′00″
α12推算结果与已知值α12＝100°00′00″相同，说明计算无误。
如下所示，计算成果填入表中。
点号观测值（右角）βi改正数改正后角值βi′坐标方位角
(′″)″(′″)(′″)
11121523－5000
2671412－567
3541520－554
41261525－518
∑3600020－2000
－=20″
120″
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一、基本计算
1、坐标反算
如图，已知A、B两点坐标值，确定直线长度和方向。
根据A、B两点坐标值，代入下面公式：
a)确定直线长度（水平距离）
=
b)确定直线方向（方位角）：
=
注：计算时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据、的正、负号，确定直线所在的象限，再将象限角化为
坐标方位角。
表1-4象限角与方位角关系表
象限象限角与方位角换算公式
第一象限（NE）=
第二象限（SE）=－
第三象限（SW）=＋
第四象限（NW）=－
表1-5不同象限坐标增量的符号
坐标方位角及其所在象限之符号之符号
（第一象限）
（第二象限）
（第三象限）
（第四象限）
＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
2、极坐标法测设点位时放样数据的计算
设A、B两点为控制点，已知A点坐标XA，YA，直线AB方位角αAB，欲测设出P点，P点的设计坐标为：XP，YP。若在A点用
极坐标法测设P点，则放样数据为AP间的水平距离d和AP与AB间的水平角β：
αAP=arctan(YP－YA)/(XP－XA)
β＝αAP－αAB
d＝[(XP－XA)2＋（YP－YA）2]1/2
测设方法：在A点安置经纬仪，以B点为0方向（后视B点，将水平度盘设置为0°00′00″。），测设水平角β（β为由0方
向顺时针转向待测方向的角度），定出P点的方向，再沿AP方向线测设水平距离d。即可定出P点。
注：角总是自零方向起，顺时针转向待测点位方向的角度，即其计算总是，如算得的角为负值，则应加上。
二、举例：
例1：设A、B两点为控制点，XA=，YA=，αAB=60°00′00″，现欲测设出P点，P点的设计坐标为：XP=,YP=，试计算在A点用
极坐标法测设P点的放样数据，并简述操作的步骤。
解：放样数据为AP间的水平距离d和AP与AB间的水平角β：
αAP=arctan(YP－YA)/(XP－XA)＝arctan（－10）/30
由YP－YA＜0，XP－XA＞0可知，αAP属于第四象限（=－）。
故αAP＝360°－arctan10/30＝360°－18°26′＝341°34′
β＝αAP－αAB＝
d＝[(XP－XA)2＋（YP－YA）2]1/2＝(102＋302)1/2＝
测设方法：在A点安置经纬仪，以B点为0方向（后视B点，将水平度盘设置为0°00′00″。），测设水平角β（β为由0方
向顺时针转向待测方向的角度），定出P点的方向，再沿AP方向线测设水平距离d。即可定出P点。