数值分析答案

数值分析答案

学生典型事例-庐山谣寄卢侍御虚舟

2023年2月17日发(作者：腔体滤波器)

0.1算法

1、(p.11，题1)用二分法求方程X’-X-1=0在［1,2］内的近似根，要求误差不

超过10-3.

【解】由二分法的误差估计式|x=Xk匡异二士_；=10」，得到2k1_1000.

两端取自然对数得k—3^-仁8.96，因此取k=9，即至少需

In2

二分9次.求解过程见下表。

kakbkXkf(xQ符号

012

1.5+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2、(p.11，题2)证明方程f(x)=eX・10x-2在区间［0,1］内有唯一个实根；使用二分法求

这一实根，要求误差不超过-10^。

2

【解】由于f(x)=eX・10x-2，则f(x)在区间［0,1］上连续，且

f(0)=e°100-2--1：：0，f(1)^e1101-2=e80，即卩f(0)f(1)：：0，

由连续函数的介值定理知，f(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.

又f'(x)=ex100，即f(x)在区间［0,1］上是单调的，故f(x)在区间［0,1］内

有唯一实根.

由二分法的误差估计式|x*-xk匸尹二十—；二110’，得到2k—100.

两端取自然对数得k一2210、23.3219=6.6438，因此取k=7，即至少需二分

In2

7次.求解过程见下表。

kakbkXkf(Xk)符号

001

0.5

1

2

3

r3

评（1）

(2)

X

1

|e-X2|

X2

|e-X3|

X3

四=1.85%；

2.7

0.05

2.71

-1.85%；

:::0.0005=0.0184%。

2.718

经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;

近似

数的

4

5

6

7

0.2误差

1-（p.〔2,题8）已知e=2.71828…；试冋其近似值x^=2345-7,x2=2.71,x2=2.71,X3=2.718

各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

11

因为|e-x

1

|=0.01828…：：：0.0510，所以x

1

=2.7有两位有效数字；

2

1』

因为|e-x

2

|=0.00828…：：：0.0510，所以x

2

=2.71亦有两位有效数字；

2

13

因为|e-x

3

|=0.00028…：：：0.000510，所以x^2.718有四位有效数字；

2

2（p.12，题9）设捲=2.72；x2=2.71828；x3=0.0718均为经过四舍五入得出的近

似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

【解】“=0.005；；r

^—<010051.8410"；

x12.72

=0.000005；

r2

X2

吗：1.8410^；

2.71828

=0.00005；；r3=」：：

遊「.9610,；

X

3

0.0718

评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位

3.（p.12，题10）已知x1=1.42；x2=—0.0184；x3=18410,的绝对误差限均为

【解】由f(x)=sinx，求得f⑴(x)=cosx；f⑵(x)=f⑷(x)

=sinx；f(5)

-sinx；

(x)二cosx；f(6)(x)二-sinx，所以f(2)(X0)

(2)f(3)(x)=-cosx；

(XP5(x)二f(x°)f⑴(x°)(x-x°)

2!

f⑵(0)x2….f(5)(0)

5!

-f(0)

f(0)x

(5)5

-x

2!

f⑸(X。)

口(X-X°)5

5!

13*15

=XXX

3!5!

|f(6)(巴)|插值误差：R

5

(x)」f()|

(x—x°)66!

30.33673p5(0.3367)=0.3367-

0.33676R5(0.3367):

二刨)l(x_X

0

)6岂丄X6，若x二0.5，则6!6!

5

0.33675

0.3303742887，而

5!

65

2.0210<0.510，精度到小数点后5位,

6!

故取p

5

(0.3367)=0.33037，与精确值f(0.3367)=sin(0.3367)=0.330374191…相比较，

在插值误差的精度内完全吻合！

0.510一，问它们各有几位有效数字?

【解】由绝对误差限均为0.510,知有效数字应从小数点后两位算起，故X,=1.42，有

三位；x

2

二-0.0184有一位；而X3=18410°=0.0184，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、(p.54，习题1)求作f(x)=sinx在节点x0=0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算

P5(0.3367)和估计插值误差，最后将P5(0.5)有效数值与精确解进行比较。

2、(p.55，题12)给定节点x°二-1,X1=1,X2=3,X3=4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

(1)f(x)=4x3-3x2；

43

(2)f(x)=x-2x

f(4)(E)3

【解】依题意，n=3,拉格朗日余项公式为R3(X)(x-Xi)

4!1=0

(1)f(4)(xH0TR3(x)=0；

(2)因为f⑷(x)=4!，所以

R3(X)二亠i：(x_Xi)

RI(X)

f”()—)普…一“严―

2!

Xi

R(x)

g^sin(x°)二sin(xj=

X1_X0X1_X°Xo_Xi

1

----(x_X

0)sing)(捲_x)sin(x0)1

f(4)(巴)

R3(X)(x1)(x-1)(x-3)(x-4)=(x1)(x-1)(x-3)(x-4)

4!

3、(p.55，题13)依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近

似值并估计误差。

i012

Xi0.320.340.36

sin(xi)0.3145670.3334870.352274

【解】依题意，n=3,拉格朗日余项公式为

(1)线性插值

因为x=0.3367在节点Xo和Xi之间，先估计误差

二丄104;须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

2

(X1-Xo)2/4

y

=

(

X

-

Xo)(X-Xi)

0二

R(x)—(0.3367-0.32)sin(0.34)(0.34-0.3367)sin(0.32)

0.02

—0.0167sin(0.34)0.0033sin(0.32)1

0.02

0.3304

(2)抛物线插值

插值误差：

f''@)_cosG)

R

2

(x)(X—'Xo^X—■Xi)(X—■X2)(X—■Xo)(X1—■X)(X—■X2)

36

3

maX(x-Xo)(Xi-x)(X2-x)30.011〔0_6

-6、6_2

yy=(x-xo)(x-xi)(x-x2)

Max=3(xi-Xo)3/8

XoXiX2

抛物线插值公式为:

P2(X)

=(x-Xi

)(x-X2)sin(xo)•(x—XoXxF.门任)•(^x

i

)(^x

o

)sin(x2)

(X。—Xi)(X°—X2)(Xi-Xo)(Xi-X2)(X2—Xi)(X2—Xo)

o_o^__x)2^__sin(X。)(x-x°)(X2-x)sin(xj-一sin(x?)

F2(o.3367)

匹

2

3.8445sin(o.32)38.9iisin(o.34)-2.7555sin(o.36)1o.o2

3.8445sin(o.32)38.9iisin(o.34)-2.7555sin(o.36)」-o.33037439o.o2

经四舍五入后得：

P2(o.3367)=o.33O374，与sin(o.3367)=o.33o374i9T精确值相比

较，在插值误差范围内完全吻合！

i.3分段插值与样条函数

x

3+x2

i、(p.56，习题33)设分段多项式S(x)=」°

I2x3+bx2+cx—i

是以o,i,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.

【解】依题意，要求S(x)在x=i节点

函数值连续：s_(1)=1312=213b12c1一1二s.(1),

即：bc=1(1)

一阶导数连续：S‘_(1)=31221=6122b1c=S〔(1),

即:2bc=一1(2)

解方程组(1)和(2),得b=_2,c=3，即

S(x)

r32x+x

2x3—2x2+3x—1

由于S］(1)=321*2=621-22=S".(1)，所以S(x)在x=1节点的二阶

导数亦连续。

1

2、已知函数y2的一组数据，x0=0,x1=1,x2=2和y0=1,y1=0.5,y2=0.2，

1+x

(1)求其分段线性插值函数；

(2)计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差

【解】(1)依题意，将x分为［0,1］和［1,2］两段，对应的插值函数为S

1

(x)和S

2

(x)，禾U用

拉格朗日线性插值公式，求得

X-X0

y1

XI_X0

1.0.5二-0.5x1-

0-11-0'

S2(x)X一紅y1

X1—X2

亠y2

X2-X1

x_2x_1

鼻二050.2一0.3x0.8

1-22-1

0.3，而S2(1.5)=-0.31.50.8=0.35,

实际误差为：|f(1.5)—S

2

(1.5)1=0.0423乞0.05。

22，

(1X)

f⑵(XL2

。®

2)

(1X2)3

2

f(3)

(x^

24x(1-x

4

)

,可

(1x2)4

|f⑵(J|

R(x"2!知M

2

=f(2)(1)=0.5，则余项表达式

M224

|(x—1)(x-2)|20.5=0.5=0.0625乞0.5

1.4曲线拟合

1、(p.57，习题35)用最小二乘法解下列超定方程组:

"2x+4y=11

3x-5y=3

x2y=6

2xy=7

【解】构造残差平方和函数如下：

2222

Q(x,y)=(2x4y「11)(3x「5y「3)(x2y「6)(2xy-7),

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

：：Q(x,y)_

0

:

6x「y=17

(1),

dx

：Q(x,y)

0

:

-3x46y=48

(2),

解方程组（1）和(2),得

461748648317

x=:3.04029,y=1.24176

273273

2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如

、二abx2的多项式，使之与下列数据相拟合。

【解】令X=X2，贝yy=abX为线性拟合，根据公式（p.39,公式43），取m=2,a仁0,

N=5,求得

5

5a+b迟Xi

5

=5a+bZx

5

i2=I：Vi(1)

1

i丝=1

555555

a送Xi

2

+b瓦Xi=aZ

N2+b工Xi4=》X

i）A=送x「yi⑵

i=1i=1imi=1i=1

依据上式中的求和项，列出下表

xXi(=xi2)Xi2(=xi4)

Xiyi(二Xi2y)

216859

2532.362539062520187.5

3147089

3873.314442.2

4497.8189340.8

157271.453277277699369321.5

将所求得的系数代入方程组（1）和（2）,得

5a0十5327b=271.4(1)

Q327a0+72776993=369321.5(2)

271.47277699-369321.553277791878.1小小cc

a0.97258；

5汉7277699-5327汉53278011566

u

5369321.5-5327271.4400859.7

b0.05004；

57277699-532753278011566

2

即:y=0.972580.05004x。

4

求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

2.1机械求积和插值求积

1、(p.94，习题3)确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式

所具有的代数精度：

h

(1)」f(x)dx:•A0f(-h)A1f(0)A2f(h)；

i113

(2)0f(x)dx：Aof?AG?)人2七)；

11

⑶of(x)dx行f(0)A0f(x0)o

【解】(1)令f(x)=1,X,X12时等式精确成立，可列出如下方程组：

Ao+A+A2=2h一

人+A2

=0人+A2=

2h

•3

h4

解得：A^=A2,A1h，即:

33

(1)

⑵

⑶

验证，对f(x)=x3公式亦成立，而对

h

f(x)dx：-［f(-h)4f(0)f(h)］，可以

3

f(x)=X4不成立，故公式(1)具有3次代数精度。

(2)令f(x)=1,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组:

A1A2=1

’代+2A+3A

2

=2

⑴

⑵

(3)

解得：

2111113

A0=A2S，A1「3，即：0

f(x)dx：护(/-电)5七)］，可以

3A0+12A+27A2=16

验证，对f(x)=x3公式亦成立，而对f(x)=X4不成立，故公式(2)具有3次代数精度。

A0

(3)令f(x)=1,x时等式精确成立，可解得:

4

2

x。-

3

1132

即:°f(x)dx”[f(0)盲f(?)，可以验证，对

f(x)=x3不成立，故公式(3)具有2次代数精度。

f(x)=x2公式亦成立，而对

试构造计算积分l=ff(x)dx的插值型

40

dx=

3

1x-

1

4

013

dx—2Qx22

3、

■；X)

①当

-111=1；左=右;

22

②当

f(x)=x，左边=(f(x)dx=1x右边=111?

2424

i；左=右;

③当

f(x)=x2,左边=ff(x)dx=

3

lx3右边=丄丄J鸟二

216216

16"右;

插值求积公式:

113

f(x)dx八A

k

f(xkH-f(-)-f(；)

1

f(x)=1,左边=0f(x)dx=1；右边=

故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2梯形公式和Simpson公式

1、(p.95，习题9)设已给出f(x)=1e^sin4x的数据表,

x0.000.250.500.751.00

f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159

1

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分1=f(x)dx的近似值。

'-0

【解】(1)用复化梯形法：

a=0,b=1,n=5,h工匸^=VI二0.25

n4

Thh丫

T5[f(xQf(x「)][f(a)2、f(xQf(b)]

心22k二

T5{f(0.00)2[f(0.25)f(0.50)f(0.75)]f(1.00)}

2

T5=0.125[1.000002(1.655341.551521.06666)0.72159]

T5=1.28358

(2)用复化辛普生法：

b_a1

a=0,b=1,n=2,h0.5

n2

n4n-4n-1

S2八h[f(xk)4f(x1)f(Xk1)]=£[f(a)4f(x1)2、f(Xk)f(b)]

心6k26k=0k2心

0.5

S2{f(0.00)4[f(0.25)f(0.75)]2f(0.50)f(1.00)}

VI

S2[1.0000010.8883.103040.72159]1.30939

A「°

1x_x°dx

x

i—x°

1x-1

6

IRTHI-Tn|=

(b_a)maxf''()

12n212n3

(2)用复化辛普生法

|RS^|I-Sn|=

11c2、(p.95，习题10)设用复化梯形法计算积分|exdx，为使截断误差不超过110^,

问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】(1)用复化梯形法，a=0,b=1,f(x)二f'(x)二f''(x)=ex，设需划分n等分，则其截断误差表

达式为：

1

依题意，要求|R

T

|10-

5，即

2

，a=0,b=1,f(x)=f'(x)二f'"'(xHex，截断误差表达式

为:

5(b-a)

(1-0)7e

e

e=-

2880n2880n

180(2n)

「—A6

:212.849，可取n=213。

5

e.154e10

10=n.

2880n421440

370666，可取n=4,划分8等分。

1

依题意，要求IR

S

I10’，即

2

2.3数值微分

1、(p.96，习题24)导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

1

f'(x0)[-3f(x。)4f(X1)-f(X2)](51)

2h

1f'(X1)[-f(xo)f(X2)](52)

2h

1f'(X2)[f(xo)—4f(X1)3f(X2)](53)

2h

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

f(n十)(巴)n

R(xQ二f'(xQ-p'(Xk)严丨【X-Xj)

(n+1)!□

由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n=2,h-x

0

=x

2

-x

1

，贝U

R(X0)=孚字「(X0-Xj"T^(X0-X1)(X0-xAfh2

(21)!j3!3

R(xJ

R(X2

)

f(21)(1).2

(X1-xj)-

(21)!jjj

f(2巧()2

(x

2-x

j

)

(21)!j卫j

j老

2、(p.96，习题

f'"(1)

3!(x

1—x0

)(x

1—x2)——

3!

3；-(x

2-x0)(x

2—x1)=

3!

x1.01.11.2

f(x)0.25000.22680.2066

25)设已给出f(x)二

并估计误差。

(1x)2的数据表，

试用三点公式计算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值,

f，

M(0)

h2

6

f'，'(2)h2

""3

=x2-x1=0.1，用三点公式计算微商：

1

[-30.250040.2268-0.2066]=-0.2470

20.1

【解】已知x

0

=1.0,x<|=1.1,x

2

=1.2,h=x<|-x

0

1

[-3f(1.0)4f(1.1)-f(1.2)]=

2h

1[-f(1.0)f(1.2)]二2h

1.

[f(1.0)-4f(1.1)3f(1.2)][0.2500-40.226830.2066]--0.1870

2h20.1

12；=f'(x)二

(1x)

f'(1.0)

f'(1.1)

f'(1.2)

f(x)=

(1x)

用余项表达式计算误

f'''(0)

h2

h

3

f'''(1)h2

3!

R(1.0)=

R(1.1)

二

3、(p.96，习题26)

1[-0.25000.2066]=「0.2170

20.1

_2

3；二f''(X)=

(1x)

6—「24

心f'''(x"k，

差

-240.12

5-："

3(11.0)5

240.12

3!(11.0)

-240.12

--------------------r

3(11.1)

-0.0025

:0.00125

-0.04967

设f(x)二sinx，分别取步长h=0.1,0.01,0.001，用中点公式(52)

计算f'(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】

中心差商公式：f'(a):“

f(ah)-f(a-h)，截断误差：R(h)二

2h

吗h2。可

3!

见步长

(1)

h越小，截断误差亦越小。

=0.1,x0=0.8-h=0.7,x2=0.8h=0.9,则

11

[sin(0.9)-sin(0.7)][0.783327-0.644218]：0.695545；

2h20.1

f'(0.8)

h=0.01,x0=0.8-h二0.79,x2

二0.8h=0.81,则

11

[sin(0.81)-sin(0.79)][0.724287-0.710353]：0.6967

2h20.01

f'(0.8)

h=0.001,x0=0.8-h=0.799,x2=0.8h0.801,则

【解

(1)

Yn

(2)

Yn

hy'n二Ynh(x；-y；)=y.0.2(x；-y；)；

22

h(芻纠=Yn0.2凹

空。

Xn

(2)八

而精确值f'(0.8)=cos(0.8)=0.6967067…，可见当h=0.01时得到的误差最小。在

h=0.001时反而误差增大的原因是f(0.8h)与f(0.8-h)很接近，直接相减会造成有效

数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

3.1Euler格式

1、(p.124，题1)列出求解下列初值问题的欧拉格式

22

(1)y'=x-y(0_x_0.4)，y(0)=1，取h=0.2；

(1_x_1.2)，y(0)=1，取h=0.2；

2、(p.124，题2)取h=0.2，用欧拉方法求解初值问题y'--y-xy2(0_x_

0.6)，

y(0)=1o

【解】欧拉格式：Yn1=Ynhy'n=Ynh(-yn-XnY：)=Yn0.2「Yn-*.丫2)；化

简后，y

n

^0.8y

n

-0.2x

n

y2，计算结果见下表。

n

012

3

Xn0.00.2

0.4

0.6

yn1.00.80.61440.4613

12

3、(p.124，题3)取h=0.1，用欧拉方法求解初值问题y'

2

-2y2(0_x_4),

1+xx1

y(0)=0。并与精确解y2比较计算结果。

1+x

1212

【解】欧拉格式：Yn1=Ynhy'n=Ynh(2-2丫.)*.0.2(2-

2Yn)；

1+Xn1+Xn

f'(0.8)

:命[sin(0.801)-sin(0.799)]

1

20.01

[0.718052-0.716659]：0.6965

化简后，y

n

^y

n

-0.4y2务，计算结果见下表。

1+Xn

(ypy』

2

【解】

公式：

因为f(x,y)--y-xy2(0巴x巴0.6)，h=0.2，且y(0)=1，则改进的欧拉

22

yp二ynhf(Xn,yj二ynh(-yn-xy)二0.8y^0.2xnyn

22

yc二

ynhf(Xn,yp)二ynh(-yp-Xnyp)二yn-0.2()。

与原结果比较见下表

n

012

3

Xn0.00.2

0.4

0.6

y

n1.00.80.61440.4613

yn(改进)

0.880.69110.53560.413

3.3龙格-库塔方法

1、(p.124，题11)用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题yJ8-3y,y(0)=2，试

取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：

h

yn十yn+—(K1+2K2+2K3+K4)

6

K1=f(Xn,Yn)

I丄h

岷2=f(xn41，y^-K1)

2

2

丄h

K3=f(x卫，yn+—K2)n七o

2厶

f(Xn+,yn+hK3)

列表求得y(0.4)如下:

nXnyn

n0123

Xn0.00.20.40.6

yp

1.00.67300.51470.3941

yc

0.760.70920.55640.4319

yn0.880.69110.53560.413

yn1

计算结果见下表。

00.02.000

10.2

2.3004

20.42.4654

1、(p.153，题1)试取Xo=1，用迭代公式Xk1=

20

~2

xk2xk10

(k=0,1,2;)，求

4.1迭代法及收敛定理

方程x32x2・10x-20=0的根，要求准确到10〜。

【解】迭代计算结果列于下表

kXk|Xk-Xk-11<0.001kXk|Xk-Xk-11<0.001

1

「1.53846

0.53846N

6

P1.36593

0.00937

N:

2

M.295020.24344N71.370090.00416N

3

「1.40182

0.10680

N

8

P1.36824

0.00185N

41.354210.04761N91.36906

0.00082

Y

5

「1.37530

0.02109N

因为IX9—x

8

I：0.00082:::10^，所以x”x

9

二1.36906。

1

2、(p.153，题2)证明方程xcosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭

2

1

代过程x

k1

cosx

k

对x

0

•[a,b]均收敛。

2

1111

【证明】设：g(x)cosx，则当x・R时，g(x)cosx・[,]，且一阶导数

2222

1111」

g'(x)sinx连续，|g'(x)|=|sinx|1，所以迭代过程Xk1cosxk对

2222

1

x0•R均收敛。(压缩映像定理)，方程xcosx有且仅有一实根。＜证毕＞

2

x1r

3、(p.153，题4)证明迭代过程xk1-'—对任意初值x0-1均收敛于■-2。

2Xk

【证明】设：g(x)」，对于任意x1,因为-1-2x」2，所以g(x)一2。

2x2xV2x

111x1

一阶导数g'(x)

2

1，根据压缩映像定理，迭代公式Xk1k对任意

2x222Xk

x1

初值X

0

1均收敛。假设k

imxr，对迭代式X

k1亏只两边取极限，则有

亠亍+占，则(”=2

，解得宀用，因X—应不在心范围内，须舍去。

4.2牛顿迭代法

1、(p.154，题17)试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有

4位有效数字:

(1)x「3x-1=0，x0=2

(2)x2-3x_ex2=0，x0=1

【解】(

Xk1二Xk

33f(xk)Xk-3Xk-12Xk1

Xk22~

f'(Xk)3x：—33(x：—1)

(k=0,1,2,…)，迭代计算过

kXk|Xk-Xk-11<0.0001kXk|Xk-Xk-11<0.0001

1

1.88889

0.11111

N31.87939

0.00006

Y

2

1.879450.00944N

因为|x

3

-x

2

卜0.00006：：10鼻，所以x「x^1.879。

(2)设f(x)=X2-3x-eX•2，则f'(x)=2x-3-ex，牛顿迭代公式:

f(Xk)Xk—3Xk—e*+2Xk—e*(Xk—1)—2

x

k1=xkXk-XLXkf'(Xk)2Xk-3-eX

k2Xk-3-eX

k

(k=0,1,2,)

kXk|Xk-Xk-11<0.0001kXk|Xk-Xk-11<0.001

10.268940.73106N30.257530.00014N

2

「0.25739

P0.01155

N4

P0.25753

0.00000「Y「

因为Ix

3

—x

2

I：0.00000：：

10

所以x:x

4

=0.2575。

2、(p.154，题18)应用牛顿法于方程X3-a=0，导出求立方根3a(a0)的迭代公式,并证明该迭

代公式具有二阶收敛性。

32

【证明】(1)设：f(X)二X-a，则f'(x)=3x，对任意x0,牛顿迭代公式

Xk1Xk

f(Xk)

f'(Xk)

二

X

k

3

Xk-a

3xk

2x：a

3xk

k=0,1,2,…

(2)由以上迭代公式，有:

kXm

a

+

3X

2

g(x)二x；g'(x)=2

3

x=a

xz3a

_2

N。

x

k1-x=g(x

k

)-g(x)诃(

x)(xk-x)号(Xk-X)2

程见下列表。

，迭代计算过程见下列表。

xT

【解】雅可比迭代公式：《

x（2）

入2

x(k)

宁

(k)

-2X1

弓(1-x1k))

，迭代计算结果列于下表。

5.1线性方程组迭代公式

1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：3X

1

X^2

，要求结

Xj+2x2=1

果有3位有效数字。

k(k)

X1

(k)

X2

i(k)(2)|

|X1-X1|

|x2k)x2k』i

<0.0005?

000

--

1

2/31/22/31/2N

2

1/21/61/61/3N

311/181/41/91/12N

47/127/361/361/18N

50.601850.208330.018520.01389N

6

0.597220.199080.004630.00925N

70.600310.201390.003090.00231N

8

0.599540.199850.000770.00154N

90.600050.200230.000510.00038N

10

0.599920.199980.000030.00025Y

X；:x110）：0.600;X2:x210

）：0.200；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为

X1（r_6丫）+2J（2_x2k

））

高斯-赛德尔迭代公式：333，迭代计算结果列于下表。

xf）——（f+Ud+x；"）

I.226

k(k)

X1

(k)

X2

i(k)(k4)|

|X1-X1|i(k)(k」)

|X2-X2|

<0.0005?

000

--

1

2/31/62/31/6N

20.6111

0.1944N

30.60190.19910.00920.0047N

40.60030.19990.00160.0008N

50.60000.19990.00030.0000Y

X1:X1(

5)-0.600;X2:x25)0.200；

1

2、（p.171，题7）取，=1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为10*。

2

I4x13x2=16

3x14x2-x3

二20

-x2'4x3=-12

~(k1)

1

~(k1)

2

~(k1)

3

3X(k)

4

一

3〜1(k)4

七k)4

」x3k)5=?x2k)Vx3k).2

4164

一3」x2k)•丄x3k)一5

6416

(1)

(k1)(k)

■■.〜(k'1)

k7o

-

K(2~x

K(3~x

k)+

5

4

k)+

将方程组（1）代入（2），并化简

x2k1)

x3k1)

【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代:

引入松弛因子，得

1X*)%*)

一/一亦X2

29x2k).Ax3k)64162

45(k)11、,k)25

256x

2_64

计算结果见下表。

k(k)

X1

x2k)x3k)

■(k)(kJ).1

|X1-X1|

■(k)(kJ)|

|X2-X2|

■(k)(k_1)|

1x3-x3)|

0000

----

1

52.5-3.12552.53.125N

21.406252.65625-2.14844N

32.158203.03223-2.28882N

41.611733.15872-2.19860

NI

51.635773.24423-2.19187N:

6

1.549593.28508-2.17800N

71.53284P3.307931-2.17320N1

8

1.515613.31978-2.17001N

91.50880

:3.32615「

-2.16847N:

0

1.50453

P3.32951:

-2.16762N

1

1.50245

[3.33130]

-2.16717

N:

2

1.50129

P3.33225:

-2.16694N

31.50069

[3.33276：

-2.16672

N1

41.500373.33306-2.16676N

51.50016

p3.33318「

-2.16670

N「

61.500103.33325-2.16668N

71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y

(k)

~(k1)

2

〜(k1)

X

3

1.

--

1.-

3.3333,x3二x317)：2.1667.

-赛德尔迭代公式，并考

Gj

（2）高斯-赛德尔迭代公式:

10

3

Gj：一=7：：：1，迭代收敛。

8

(k1)

X；丿

(k1)X2

(k1)x3

)

10

(k1)

一8X

1

--x(kD

_8X

1

x4kJ

1x4k)

(k)X3

-X1(k1)--X2

7

(k1)

10

(k)x4)

迭代解：x1=x

1(17)：1.5001,x2=x217)

5.1线性方程组迭代公式

1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯察迭

代过程的收敛性。

"10洛+x3_5X4=-7

%十8x2-3x3=11

3x12x2-8x3x4=23

%-2X

2

2x37x4=17

【解】（1）雅可比迭代公式：

精确解:X1=—=1.5,

2

10

:'3.3333,

13

x32.1667.

6

将方程组（1）带入（2），经化简后，得:

(k1)

1

(k)1(k)7

X1=—X3

：410210

x2k1)

1(k)

x1)fx3'

k)-11

888

(k1)

3

(k)

1

(k)1

(k)

23

X3

—X1-X2

+—X4-8

848

(1)

1

2

2(k)

一7x

1

(k)万x

3

x4k°

0

GG_S=

00

10

31

80

19

320

89

丄

2

丄

16

19

64

39

3

，|GG_S1，迭代收敛。

1120

224

一

X1(f「2x2k)-1

--3x1k)-2

，G二=31,不收敛。

「（k

卅）

--2x2

k

)-1

—3x1k1)2

(k的1(k),1(k)7

%=_—X3+—X4一--

10210

(k的31

(k)

1

(k)117

X2

=—X3----X4+

1801680

x3"

19

(k)

严x4k)

787

32064320

(ki)121(紆39化)3991

x4x3x4

2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组:

(1)冲2…

3%+x

2

=2

x-i5x2-3x3=2

(2)5x^1「2X

2x3=4

2x1x2—5x3--11

【解】（1）雅可比迭代:

高斯-赛德尔迭代:

■严=-2x2"-1

丰x2f=6x1k)+5

（2）雅可比迭代:

X1(F=-5x2"+3x3"+2说k—号屮+期)_2，||氐=8>1,不收敛。

乂严=2x1k)+1x2k)+11

I.555

高斯-赛德尔迭代:

0

X1(5=书x2k)+3x3k)+2

窗厶严+乂)一2或

22

、，(k曲

2、，(k

书)

,1、，(k41)11

■X3=—X1+-X2+—

1555

x1k1)

G：一=81,不收敛。

3、(p.171，题6)加工上述题5的方程组,的收

敛性。

【解】

加工后结果如下:

(1)丿

"3捲+x

2

为+2x2

=2

5x1

-2X

2x3

(2)*论+5X

2—3X

3

=2

方程组

方程组

方程组

2xiX2-5x3

(1)的雅可比迭代:

3x1k1)

x2k1)

1

(k)

」3X

2

1

(k)

X1

2

--11

(1)的高斯-赛德尔迭代:

3x1k1)

x2kd)二

1(k)

='3x2

」X1(k)-2

63

(2)的雅可比迭代:

(k1)

%

(k1)X；"

2(k)1(

X2X3

55

」X1(k)-x3k)5153

(k)

1

(k)

XX

55

(k)

方程组(1)的高斯-赛德尔迭代:

=_5x2k)•3x3k)

25

2

(k)

2

18

+—

5

比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程

1

Gj1，迭代收敛。

1

GG_S

1，迭代收敛。

3

4

5

-，Gj.-=*：：：1，迭代收

敛。

55

r2帶3

■5—43

-12、1

_r2+3

13

r

5

-43-1213c

—r3

25

-43-12"

T013—79T013_179T013—179

2525

12一800—-

v001-1y

Xk1313J

_46~'3(—1)—12

235

5、

347

6、2

—•r1+2

3476347

6、

r—23113r2

3476T2355T0111T0113

33

J335」

J335」

<1335」

J335」

6.1高斯消元法

1（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组:

x〔_x

2

+x3=_4

C)<5x〔-4x2+3x

3

=-12

i2X[+x

2

+x3=11

2x13x25x3二5

(2)3x14x27x3二6

x-i3x23x3=5

5X3

'5-43-12"2丄—r^r3

5

5-43

、

-12

5^3

'5-43-12"

T02-8T0—12—8T0—12-8

13179

1111丿

0

55

5丿

1。

13-179丿

■1)k

2

(k)

X2

25

，

GG-S：：=25

迭代收敛。

18x2k)

6X(k),321

125125312

X3(

k1

)

*1-11-4”

r1㈠r2

'5-43-12"

1.

一r1十

2

■5

-4

1

3

2

-12、

8

(1)

5-43-12T1-11-4T0

555

、2

1111」

<21111丿

【解】

3476347

6^

勺476、

3r3rgr3

011

3T011

3T0529

_52

0-

3252

9」

卫11

3」

1

--r1T3

3

T

X379

-12

所以:

--1

4x2—3x3

=6,X213

55

(2)

X3

1

_.-2十3

5

■47

6、

5_r3

3

"3476、

T0

529T0

529

e03/5

6/5』e012>

所以：X3=2,X2=_2X3

9

=1,&

-41-726

5

2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数:

(1)

11

23

11

34

11

——

45

【解】令:

3

1

4

1

5

先求A。

1--1001--100

231丄23

111c,c2c111,c

---010T0———一一10

23412122

111111

---001---001

.345一1i345

1111

1111

12r2

1

23

1001

_.rV4r2

3

1

23

100

T011-6120T011-6120

111

0010

141

01

-345

一[12

453

一

11

1

11

二r2+3

12

11001100

2380r323

T01

1

1

-6120

1-11

T011-6120

0000130-180180

1806

I

60

111[1

1

23

1001

—r34t1

3

1

2

0

_9

010-36192-180T010-36

001

30

-

30

192

-180

-60

-180

180

1

2、(p.95,习题6)给定求积节点x0,x1

4maxf()

：「2卡1

1

00

9-36

T0

10

-36192

■001

30

—

180

30--9-3630]

-180，所以A」=-36192-180

1801

30-180

180

最后求得条件数为：

11

cond(A)A盟|-=—x408=748