变上限积分

变上限积分

岗位说明书标准范本-日本使馆

2023年2月17日发(作者：功夫熊猫台词)

变限积分确定的函数的性质及应用

摘要

由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价

值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇

偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简

要介绍了它们的几点应用。

关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

2

ABSTRACT

Limitedbythevariableandvariablelimitintegralimproperintegraldefined

aclassoffunctions,paper,

changingthedefinitionandnatureoflimitpoints,discussthederivationofintegral

limitschangeissuesandotheraspectsoftheperiodicparity,moresystematic

discussionofthenatureofsuchfunctions,byanumberofresults,andabrief

introductionSomeoftheirapplications.

Keyword:variablelimitintegral,function,integral,continuity,convergence.

3

目录

一·变限积分的概念及其性质………………………………………（5）

1.1变限积分的概念…………………………………………………（5）

1.2变限积分的性质………………………………………………（5）

二·变限积分函数的应用…………………………………………（9）

2.1问题的提出………………………………………………………（9）

2.2变限积分函数的应用…………………………………………（11）

2.2．1利用变限积分求原函数……………………………………（11）

2.2．2化积分问题为微分学问题………………………………（11）

2.2.3求定积分……………………………………………………（12）

2.2.4变限积分的积分变量替换…………………………………（14）

三．结论………………………………………………………………（16）

4

一、变限积分的概念及其性质

1.1变限积分的概念

定义1：如果函数

)(xf

在区间ba,可积，则称x

a

dttfx)()(，bax,叫变

动上限积分。

b

x

dttfx)()(，bax,叫变动下限积分。

定义2：（推广定义）：如果函数

)(xf

在区间ba,可积，

0

x为ba,内任一点，

则称x

x

dttfx

0

)()(，bax,叫变动上限积分。

0)()(x

x

dttfx，bax,叫变动下限积分。

变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以

及它的连续性、奇偶性、周期性等。特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的

一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。

1.2变限积分的性质

定理1(连续性)：设函数

)(xf

在区间[a，b]上可积，则变动上限积分函数

x

x

dttfx

0

)()(

在[a，b]上连续，其中

0

x为[a，b]内任一点。

证：对ba,上任一确定的点x，只要baxx,，按定义有

xx

a

x

a

xx

x

dttfdttfdttf)()()(

因

f

在ba,上有界，可设batMtf,,)(。于是，当0x时有

xx

x

xx

x

xMdttfdttf)()(；

当0x时，则有xM，由此得到

0lim

0



x

，

即证得在点x连续，由x的任意性，在[a，b]上处处连续。

5

定理2(导数定理)：如果函数

)(xf

在区间[a，b]上连续，则变动上限积分

))((x

a

dttfx在

],[ba

具有导数，并且它的导数是x

a

xfdttf

dx

d

x)()()('

证明:对ba,上任一确定的x，当

0x

且baxx,时，按定义和积分第一

中值定理，有









xx

x

dttf

xx

)(

1

=

10),(xxf

由于

f

在点x连续，故有

)()()(limlim

00

'xfxxf

x

x

xx













由x在ba,上的任意性，证得是

f

在ba,上的一个原函数。

定理3(导数推广)：如果函数

)(xf

在区间[a，b]上连续，

0

x为[a，b]内任一点，

则变动上积限积分

)()()(

0

xfdttf

dx

d

xx

x

，x

][ba，

。（证明略）

注：（1）区间a可为-，b可为+；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，

下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，呗积函数f中

只含积分变量t，不含参变量x。

下面看几个关于变积分导数应用的典型例题:

例1：设

dteu

conx

t1

2)(，求

)(x

。

分析：dtex

u

t

1

2)(和u=xcos复合而成，要使用复合函数求导法则

解：2

2

2cos

cos

cos

1

sin)(cos)()(x

x

xxexedte

dx

d

xx

t







例2：设dttx

x

x2

2

31)(，求

)(x

。

解：在31t的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得

dtt

dx

dx

x2

2

31

6

=

dtt

dx

d

x0

2

31

+

dtt

dx

dx2

0

31

=-2631281xxx

例3：设

)(xf

可导，求

dttxtf

dx

dx

0

)2(

分析：这里被积函数f中除含积分变量t外，还含参变量x，不能直接使用

变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f中参数x，则令u=2x-t

即可

解：令u=2x-t，则

x

x

xduufuxdttxtf2

0

)()2()2(

=2xx

x

duuf2)(-x

x

duuuf2)(

))2((

0

dttxtf

dx

dx

=2x

x

duuf2)(+2x[2)()2(xfxf]-[2x)](2)2(xxfxf

=2x

x

xxfduuf2)()(

例4：设x=0时

dt

x

t

fxFx

1

)()(

-

dt

x

fx1

)

1

(

，其中函数)(xf在区间（0，+）

上连续且单调增加，试证F(x)在（0，+）也单调增加。

分析：自然的想法是求F/(x),F(x)中的第一项变限积分的被积函数f除依赖

于积分变量t外，还依赖于x，因此要通过变量替换消去被积函数f中参数x

证明：令

x

t

u

,则dt

t

fduuxfxFx

x



1

1

1

)

1

()()(

7

=x

x

t

fdttfx

1

1

1

)

1

()(

由变限积分求导法得：

)('xF)

1

()

1

()

1

()(

2

1

1x

f

x

x

xfdttfx=xdttf

x

f

x

1

1

)()

1

()1

1

(

比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得：

)('xFxxdttfdt

x

f

1

1

1

1

)()

1

(=dttf

x

fx













1

1

)()

1

(

当0

1

1



x

，1

x

1

，

0)()

1

(tf

x

f

，

当x>1时，0<

x

1

<1，

x

1

0)()

1

(tf

x

f

，于是)('xF>0（x>0,x1）,0)1('F

因此，F(x)在

)0(，

单调增加。

定理3（奇偶性）设

)(xF

=x

x

dttf

0

)(

，其中函数

)(xf

在区间[a，b]上可积，

0

x为

[a，b]内任一点。若函数f(x)为奇函数，则

)(xF

为偶函数。

证明：由变量替换有xx

)(xFduufudufdttfx

x

x

x

x

x



000

)()()()(

=

0

0

)(x

x

duuf

+x

x

duuf

0

)(

=0+

)(xF

即

)(xF

为偶函数。

例7：如果函数f(x)在区间),(内连续，且F(x)=

dttxftx

x)()2(

0

，试证：

若函数f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。

证明：

F(x)=

dttxftx

x)()2(

0

utxxduufxu

0

)()2(=

duuufx0

)(2

-xduuufx0

)(2

8

xxduufxduuufxF

00

)()(2)(su.)()()(2

00xxxFdssfxssf

所以F(x)也是偶函数。

定理4（周期性）设

)(xf

是以Ｔ为周期的可积函数。

试证：dtItfx

x

0

)()(亦是以Ｔ为周期的函数。式中Tdttf

T

I

0

)(

1

证明：

TxdtItfTx

0

)()(

＝

Txx

x

xdtItfdtItf)()(

0

＝Tx

x

ITdttfx)()(

＝TTdttf

T

Tdttfx

00

)(

1

)()(

＝

)(x

例8：设f(x)是在

),(

内以T为周期性的连续函数，则下列函数中也是以T

为周期性的是

（A）xdttf

0

)((B)

0)(

x

dttf

（C）xdttf

0

)(+

0)(

x

dttf(D)xdttf

0

)(+

0)(

x

dttf

分析：利用周期函数的积分性质解题，一般有以后结论：以T为周期的连续函数

f(x)的原函数以T为周期Tdxxf

0

0)(

解：由周期性函数的积分性质得

Txdttf

0

)(xdttf

0

)(+Txdttf

0

)(

=xdttf

0

)(+Tdttf

0

)(



0)(

Tx

dttf

0)(

x

dttf

+



x

Tx

dttf)(

9

=

0)(

x

dttf+Tdttf

0

)(

因为Tdttf

0

)(不一定为零，所以，xdttf

0

)(与

0)(

x

dttf不一定以T为周期，

而



Tx

Tx

dttfdttf

0

0)()(=

x

x

dttfdttf

0

0)()(

所以

x

x

dttfdttf

0

0)()(以T为周期而





Tx

Tx

dttfdttf

0

0)()(=



Tx

x

tfdttfdttf

00

0)(2)()(

所以

x

x

dttfdttf

0

0)()(不一定以T为周期，故选（C）

二、变限积分函数的应用

2.1问题的提出

纵观微积分教材，一元函数微积分部分主要涉及六个概念，即极限、连续、

导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、

微积分基本定理（牛莱公式），极限是研究这些概念和定理得的工具，也是联系

他们的一条无形的链，在说明不定积分与其他概念的联系时，牛莱公式起到了重

要作用，牛莱公式是微积分的核心。

在微积分教材中，牛莱公式的证明首先是假定

)(xf

在ba,上可积，则任取

bax,，作函数x

a

dttfx)()(，称它为变上限函数，再假定)(xfba,上连续，

则变限函数

dttfx

x

a)()(在ba,上连续、可导且)()('xfx，即变限函数

)(x

是

)(xf

在ba,上的一个原函数。再设F(x)也是f(x)在ba,上的任意一个

原函数，由于f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数，并且

0)(a

b

a

tfb)()(这就得到了牛莱公式b

a

bFbFdxxf)()()(。

在前面提到的六个概念中,除了不定积分,其它五个概念都是某种形式的极

限,所以他们由极限联系了起来.由于引入变限函数,得出了牛莱公式,这样就将

定积分b

a

dxxf)(

的计算转化为求)(xf的原函数)(xF在ba,区间上的增量

b

a

xF)(，求原函数的过程也就是求不定积分的过程；反之，不定积分dxxf)(可

10

以表示为变限函数

b

a

Cdttf)(，由于

x

a

dttfx)()(是

)(xf

在ba,上的一个原函

数，定积分与不定积分由原函数彼此联系了起来。这样，微积分的6个重要概念

也就相互联系了起来。

在微积分教材中，微积分微分中值定理为：设

)(xF

在ba,连续，在ba,上

可导，则ba,，使

)()('aFbFabF（1）

积分中值定理为：设

)(xf

在ba,连续，则ba,，使

)()()(abfdxxf

b

a

（2）

由于引入了变限函数，证明牛莱公式，即

)()()(aFbFdxxf

b

a

（3）

这里

)(xF

是f（x）在ba,上的任意一个原函数，（即)()('xfxF），那么

(1)、（2）、（3）联在一起可以写作：

))(())(()()()())(('abfabFaFbFdxxfabf

b

a



上式也说明，这三个重要定理从不同的角度反映了微积分的基本规律，也

说明它们有必然联系。

2.2变限积分函数的应用

由于变限函数在微积分中的作用重要，它也成为微积分各类考试中的一个

重要考点。以下举例说明有关变限函数的考题类型：

2.2.1利用变限积分求原函数

变限积分的导数求法已有专题论及，我们不再提及，变限积分是为引入原函

数而提出的，求原函数应是其最基本的应用。

例1设函数













21,2

10,

)(

2

xx

xx

xf

试求)(xf在[0,2]上的一个原函数。

11

分析：易知

)(xf

在[0,2]上连续，所以对任意的2,0x，变上限定积分

x

x

dttf

0

)(

就是

)(xf

在[0,2]上的一个原函数。由于

)(xf

在

1x

处分段，因此可取

1

0

x

解：令xdttfxF

1

)()(，它就是

)(xf

在[0,2]上的一个原函数，利用牛顿—

莱布尼兹公式，得























x

x

xx

x

dtt

x

x

dtt

1

2

1

3

2

21,

2

3

2

2

)2(

10,

3

1

3

例2设













21,

10,

)(

2xx

xx

xf，求

)(xf

在[0,2]上的表达式。

解：因为

)(xf

在[0,2]上连续的，所以

)(xf

的原函数存在。即





















x

x

x

xdtttdt

xtdt

dttfxF

0

1

01

2

0

21,

10,

)()(

=



















21,

3

1

6

1

10,

2

1

3

2

xx

xx

2.2．2化积分问题为微分学问题

例3.设

)(xf

在[0,1]可导，

0)0(f

，1)(0'xf试证：

1

0

32

1

0

)())((dxxfdxxf

证明：引入变限积分函数xxdttfdttfxF

0

32

0

)())(()(易知

,0)0(F













xxfdttfxfxF

0

2')()(2)()(

因0)(,0)('xftf得0)(xf令

)()(2)(

0

2xfdttfxGx

易知

0)](1)[(2)(,0)0(''xfxfxGG，则0)(xG,]1,0[x,故0)('xF，再由

0)0(F，即得]1,0[,0)(xxF，故原不等式成立。

12

例4.设

)(),(xgxf

在ba,上连续，证明：至少存在一个ba,，使得









a

bdxxfgdxxgf)()()()(

分析：若令x

a

b

x

dttfxgdttgxfxF)()()()()(，再往下做就困难了，若令

b

x

x

a

dttfxgdttgxfxF))(()()()('，x

a

b

x

dttgdttfxF)()()(，不难验证该函数

在ba,上满足罗尔定理条件。

例5.设

)(xf

在ba,上有连续的导数，且

0)(af

，试证：

dxxf

ba

dxxfb

a

b

a

2'

2

2])([

2

)(

)(





证明：x

a

dttfafxfxf)()()()('，于是由柯西不等式有

dttfaxdttfdtdttfxf

b

a

x

a

x

a

x

a

2

'

2

'

2

'2)()()()()(















故

dxdttfaxdxxfb

a

b

a

b

a

2

'2)()()(

dxxfabdttfdxaxb

a

b

a

b

a

2

'2

2

')()(

2

1

)()(

2.2.3求定积分

例6.设

dt

t

t

xfx





0

sin

)(



，求

0

)(dxxf

解：因

dt

t

t

f











0

sin

)(

，所以



























00000

)

sin

()(

sin

)(xxdt

t

t

xdxxfdxdt

t

t

dxxf

=

dx

x

xx

f











0

sin

)(

=

xdx

x

x

fsin)(

0















=

xdx

x

x

fsin)(

0













=



0

)(sin)(fxdxf

=

0

cosx=2

例7.设连续函数)(xf满足2)1(f，且

1)2(2

0

xdttxtfx

，求2

1

)(dxxf

解：令txu2，则uxt2，dudt，当0t与x时，xu2与x

13

所以x

x

x

x

x

x

xduuufuufxxduufux2

2

22

21)()(21)()2(两边对x求导

得



x

x

x

x

xxf

xduufxxxfxxfxfxfxduuf22

2

)(

)(2)()2(22)()2(22)(2

令

,1x

得

2

2

1

1

2

)1(

1)(2

1



f

duuf

，故2

1

2)(dxxf

例8.设

)(xf

在ba,上连续且

0)(xf

，证明：ba,使

b

aa

bdxxfdxxfdxxf)(

2

1

)()(





分析：此题利用了积分变限函数来构造辅助函数的方法

证明：令x

a

dttfxF)()(，则

)(xF

在ba,上连续，在ba,内可导，由

)(xF

的单调递增性，设

)(),(bFMaFm

则b

a

dxxfMm)(,0

所以0=mb

a

b

a

Mdxxfdxxf)()(

2

1

由介值定理得ba,，使

dxxfdxxfF

b

aa)(

2

1

)()(

，

而b

aa

b

a

adxxfdxxfdxxfdxxf)(

2

1

)()()(





，因此结论成立。

例9.求







1

14

14

n

n

n

x

的和函数.

解：令)(xs







1

14

14

n

n

n

x

，

4

4

1

4'

1

)(

x

x

xxs

n

n







则

dx

x

x

sdxxsxsxx





00

4

4

'

1

)0()()(

)1,1(,arctan

2

1

)1ln()1ln(

4

1

xxxxx

2.2.4变限积分的积分变量替换

处理这类问题的关键是：变限积分作积分变量替换同常义定积分一样，必

须对变限积分的上下限作相应地替换，即仍然遵循常义定积分的“不换元不变限，

换元就变限”的原则，仍应注意换元函数)(ut

14

应具备可导性与单调性的条件。归纳如即：

设函数

)(tf

在区间)(,axxa上连续，令

)(ut

，如果：

（1）

)(u在y,上有连续的导数);('u

（2）当u从



变到y时，

)(u从

a)(单调地变到

;)(xy则有：duuufdttfx

a

y

a

)()()('•

显然，变限积分的积分变量已由t变为u，变限变量由x变为y。

例10.设

)(xf

为连续函数，t

s

dxtxftI

0

)(

(t>0,s>0),求证：I是S而不是

t的函数，并求'

s

I

证：令u=tx，则

t

u

x

当x=0与

t

s

时，0u与s

s

t

s

duuftstsfI

00

)())((

故：I是s而不是t的变限积分函数，且)('sfI

例11.设

)(xf

连续，dxtxfIt

s

t)(，求证：I与变量t、s有关，并求

t

I





，

s

I





。

证：令txu，则

t

u

x

，当tx与

t

s

时，2tu与s

•s

t

s

t

duuf

t

du

t

ufI

22

)(

11

)(

故：I是与变量t、s有关。

解：













•



















222)(

1

)(

1

)(

1

2

2

t

s

s

t

t

s

ttf

t

uf

t

duuf

tt

I

=













s

t

tfduuf

t2

)(2)(

1

2

2

)(

1

)(

1

2

sf

t

duuf

tt

It

s

s

t























例12.设)(xf为奇函数，在,内连续且单调递增，

xdttftxxF

0

)()3()(

15

求证：(1)

)(xF

为奇函数；（2）

)(xF

在,0上单调递减。

证：（1）xdttftxxF

0

)()3()(utxudufux

0

)()()3(

=xxxFdttftxduufux

00

)()()3()()3(

故

)(XF

为奇函数

（2）.xxdtttfdttfxxF

00

)(3)()(

xxxxfdttfxxfxxfdttfxF

00

')(2)()(3)()()(

xxxxfdtxfdttf

00

)()()(

=

xxxxxfdtsftfxxfdtxfdttf

000

)()()()()()(

)(xf

在,内为增函数与奇函数

当0

()()(xfxf0)0(2),0()0(fff0)0(f

)

0)(,0)()(xxfxftf0)()(

0

dtxftfx

,

0)(xxf

于是：0)()()()(

0

'xxfdtxftfxFx

，,0x

故：

)(xF

在,0上单调递减。

例13.设连续函数)(xf满足

2)1(f

，且

1)2(

0

2xxdttxtf，求2

1

)(dxxf

解：令txu2，则uxt2，dudt，当t=0与x时，u=2x

x

x

xduufux2

21)()2(，x

x

xduufux2

21)()2(

x

x

x

x

xduuufduufx2

2

21)()(2

等式两边对x求导得：

xxxfxxfxfxfxduufx

x

2)()2(22)()2(22)(22•

整理得：x

x

xxxfduuf22)()(2

x

x

xxfxduuf2)(

2

1

)(

令1x得，•2

1

22

2

1

1)1(

2

1

1)(fduuf

16

故：2

1

2)(xf

例14.已知

3

0

)1ln()(dtxtx，求)('x

。

解：令txu，则uxt，dudt，当x从0变化到x3，u从x变化到

x2，

故

xduuuxx





3

)1ln()()(

xux

3

)1ln(

duuux



3

)1ln(所以

)('x

=

xxduuuuduux

3

''

3

])1ln([])1ln([

=)21ln(4)1ln()21ln(2)1ln()1ln(

3

xxxxxxxduux

=)21ln(6)1ln(

3

xxduux

=

xxxxx3)21ln()18()1ln()1(

三．结论：对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的

目标，变限积分是一类重要的积分，它最著名的应用是在牛顿－莱布尼兹公式的

证明中。事实上，变限积分是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函

数，同时能将积分问题转化为微分学问题。变限积分不仅能拓展我们对函数概念

的理解，而且在许多场合都有重要的应用。因此，有必要对其进行较广泛和深入

的探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握。

参考文献

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学报，2003（2）：64

[2]教育部考试中心.2003年全国硕士研究生入考试数学考试参考书[M].北

京：高等教育出版社，2003

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报)，1999（2）：113---116

17

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[5]姜长友、张武军等：《高等数学同步辅导教程》，北京航空航天大学出版

社，2006。

[6]华东师范大学数学系，数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，

1991.

[7]同济大学数学教研室。高等数学（第四版，上册）[M].北京：高等教育

出版社，2001.