等比数列练习题
-
2023年2月16日发(作者：重大变动清单)一、等比数列选择题
1．已知
n
a
是各项均为正数的等比数列，
12
1aa
，
34
4aa
，则
5678
aaaa
（）
A
．
80B
．
20C
．
32D
．
255
3
2．若
1
，
a
，
4
成等比数列，则
a
（）
A
．
1B
．2C
．
2D
．2
3．已知数列
{}
n
a
满足
1
1
2
a
，*
1
1
()
2nn
aanN
.
设
2
n
n
n
b
a
，*nN，且数列
{}
n
b
是单调递增数列，则实数的取值范围是（）
A
．
(,1)
B
．
3
(1,)
2
C
．
3
(,)
2
D
．
(1,2)
4．已知等比数列
n
a
的前
n
项和为
S
n，则下列命题一定正确的是（）
A
．若
S2021＞
0
，则
a3+
a1＞
0B
．若
S2020＞
0
，则
a3+
a1＞
0
C
．若
S2021＞
0
，则
a2+
a4＞
0D
．若
S2020＞
0
，则
a2+
a4＞
0
5．已知各项均为正数的等比数列
n
a
的前
4
项和为
30
，且
531
34aaa
，则
3
a
（）
A
．
2B
．
4C
．
8D
．
16
6．记等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，已知
5
=10S
，
10
50S
，则
15
=S
（）
A
．
180B
．
160C
．
210D
．
250
7．各项为正数的等比数列
{}
n
a
，
47
8aa
，则
2122210
logloglogaaa
（）
A
．
15B
．
10C
．
5D
．
3
8．已知等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
13
5
2
aa
，
24
5
4
aa
，则n
n
S
=
a
（）
A
．14nB
．41n
C
．12nD
．21n
9．记
n
S为正项等比数列
n
a
的前
n
项和，若
24
15SS，，则
7
S
（）
.
A
．
7
10S
B
．
7
2
3
SC
．
7
62
3
SD
．
7
127
3
S
10．已知单调递增数列
n
a
的前
n
项和
n
S满足*21
nnn
SaanN
，且
0
n
S，记
数列2n
n
a
的前
n
项和为
n
T
，则使得
2020
n
T
成立的
n
的最小值为（）
A
．
7B
．
8
C
．
10D
．
1111．题目文件丢失！
12．已知数列
n
a
的首项
1
1a
，前
n
项的和为
n
S
，且满足*
1
22
nn
aSnN
，则
满足2
100111
100010
n
n
S
S
的
n
的最大值为（）
.
A
．
7B
．
8C
．
9D
．
10
13．已知数列
n
a
为等比数列，
1
2a
，且
53
aa
，则
10
a
的值为（）
A
．
1
或1B
．
1C
．
2
或2
D
．
2
14．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的
“
康托三分集
”
是数学
理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
[0,1]
均分为三
段，去掉中间的区间段
12
(,)
33
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间
1
[0,]
3
，
2
[,1]
3
分别
均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；
…
，如此这样，每次在上一次
操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段
.
操作过程
不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是
“
康托三分集
”
．若使去掉的各区间长度
之和不小于
9
10
，则需要操作的次数
n
的最小值为（）（参考数据：
lg20.3010
，
lg30.4771
）
A
．
4B
．
5C
．
6D
．
7
15．.
在等比数列n
a
中，若
1
1a
，
5
4a
，则
3
a
（）
A
．
2B
．
2
或2
C
．2
D
．2
16．若数列
n
a
是等比数列，且
1713
8aaa
，则
311
aa
（）
A
．
1B
．
2C
．
4D
．
8
17．已知等比数列
n
a
的
n
项和
2n
n
Sa
，则222
12n
aaa
（）
A
．221nB
．1
21
3
nC
．41nD
．1
41
3
n
18．正项等比数列
n
a
的公比是
1
3
，且
24
1aa
，则其前
3
项的和
3
S
（）
A
．
14B
．
13C
．
12D
．
11
19．数列
n
a
满足
1
19
2110
21119
n
n
n
n
a
n
，
，
，则该数列从第
5
项到第
15
项的和为（）
A
．
2016B
．
1528C
．
1504D
．
992
20．一个蜂巢有
1
只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了
5
个伙伴；第二天，
6
只蜜蜂飞出
去，各自找回了
5
个伙伴
……
如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢
后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂
.
A
．
55989B
．
46656C
．
216D
．
36
二、多选题
21．一个弹性小球从
100m
高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的
2
3
再落下
.
设它第
n
次着地时，经过的总路程记为
n
S
，则当2n时，下面说法正确的是（）
A
．
500
n
S
B
．
500
n
S
C
．
n
S
的最小值为
700
3
D
．
n
S
的最大值为
400
22．已知数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，
1+1
4,()
nn
aSanN
，数列
1
2
(1)
n
n
nna
的
前
n
项和为
n
T
，nN，则下列选项正确的是（）
A
．
2
4a
B
．
2n
n
S
C
．
3
8n
TD
．
1
2n
T
23．已知集合*21,AxxnnN
，*2,nBxxnN
将AB的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列
n
a
，记
n
S
为数列
n
a
的前
n
项和，则使得
1
12
nn
Sa
成
立的
n
的可能取值为（）
A
．
25B
．
26C
．
27D
．
28
24．已知数列是
n
a
是正项等比数列，且
37
23
6
aa
，则
5
a
的值可能是（）
A
．
2B
．
4C
．
8
5
D
．
8
3
25．已知数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
且满足
11
1
30(2),
3nnn
aSSna
，下列命题中正
确的是（）
A
．
1
n
S
是等差数列
B
．
1
3n
S
n
C
．
1
3(1)n
a
nn
D
．3n
S
是等比数列
26．已知等比数列
n
a
中，满足
1
1a
，
2q
，
n
S
是
n
a
的前
n
项和，则下列说法正
确的是（）
A
．数列2n
a
是等比数列
B
．数列
1
n
a
是递增数列
C
．数列2
log
n
a
是等差数列
D
．数列
n
a
中，
10
S，
20
S，
30
S仍成等比
数列
27．在公比为
q
等比数列
n
a
中，
n
S
是数列
n
a
的前
n
项和，若
521
127,aaa
，则下列
说法正确的是（）
A
．
3q
B
．数列2
n
S
是等比数列
C
．
5
121S
D
．
22
2lglglg3
nnn
aaan
28．已知数列
{}
n
a
是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）
A
．
1
{}
n
a
B
．2
2
log()
n
a
C
．
1
{}
nn
aa
D
．
12
{}
nnn
aaa
29．已知数列
n
a
前
n
项和为
n
S
.
且
1
ap
，
1
22(2)
nn
SSpn
（
p
为非零常数）测
下列结论中正确的是（）
A
．数列n
a
为等比数列
B
．
1p
时，
4
15
16
S
C
．当
1
2
p
时，*,
mnmn
aaamnN
D
．
3856
aaaa
30．记单调递增的等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
24
10aa
，
234
64aaa
，则
（）
A
．1
1
2n
nn
SS
B
．12n
n
a
C
．
21n
n
S
D
．121n
n
S
31．已知数列
n
a
的前
n
项和为
S
n，
22
nn
Sa
，若存在两项
m
a
，
n
a
，使得
64
mn
aa
，则（）
A
．数列
{}
n
a
为等差数列
B
．数列
{}
n
a
为等比数列
C
．222
12
41
3
n
n
aaa
D
．
mn
为定值
32．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
…
，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列
n
a
称为
“
斐波那契数列
”
，记
n
S为数列
n
a
的前
n
项和，则下列结论正确的是
（）
A
．
6
8a
B
．
9
54S
C
．
aaaaa
D
．
222
122019
2020
2019
aaa
a
a
33．设
n
a
是无穷数列，若存在正整数
k
，使得对任意
n
N
，均有
nkn
aa
，则称
n
a
是间隔递增数列，
k
是
n
a
的间隔数，下列说法正确的是（）
A
．公比大于
1
的等比数列一定是间隔递增数列
B
．已知
4
n
an
n
，则
n
a
是间隔递增数列
C
．已知21n
n
an，则
n
a
是间隔递增数列且最小间隔数是
2
D
．已知22020
n
antn
，若
n
a
是间隔递增数列且最小间隔数是
3
，则45t
34．对于数列
n
a
，若存在数列
n
b
满足
1
nn
n
ba
a
（*nN），则称数列
n
b
是
n
a
的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）
A
．若数列n
a
是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B
．若
31
n
an
，则其“倒差数列”有最大值；
C
．若
31
n
an
，则其“倒差数列”有最小值；
D
．若
1
1
2
n
n
a
，则其“倒差数列”有最大值
.
35．将
n2个数排成
n
行
n
列的一个数阵，如图：该数阵第一列的
n
个数从上到下构成以
m
为公差的等差数列，每一行的
n
个数从左到右构成以
m
为公比的等比数列（其中
m
＞
0
）
.
已知
a
11＝
2
，
a13＝
a61+1
，记这
n2个数的和为
S.
下列结论正确的有（）
A
．
m
＝
3B
．7
67
173a
C
．1313j
ij
aiD
．1
3131
4
nSnn
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题
1
．
A
【分析】
由条件求出公比
q
，再利用前
4
项和和公比求
5678
aaaa
的值
.
【详解】
根据题意，由于
n
a
是各项均为正数的等比数列，
12
1aa
，2
3412
4aaqaa
，∴24q
，
0q
，
2q
则4
56781234
161480aaaaqaaaa
.
故选：
A
2
．
B
【分析】
根据等比中项性质可得24a，直接求解即可
.
【详解】
由等比中项性质可得：
2144a，
所以2a，
故选：
B
3
．
C
【分析】
由*
1
1
()
2nn
aanN
可知数列
{}
n
a
是公比为
2
的等比数列，
1
2n
n
a
，得
2
(2)2n
n
n
n
bn
a
，结合数列{b
n
}是单调递增数列，可得
1nn
bb
＞
对于任意的
*nN*恒成立，参变分离后即可得解．
【详解】
由*
1
1
()
2nn
aanN
可知数列
{}
n
a
是公比为
2
的等比数列，
所以1
111
()
222
n
n
n
a
，
2
(2)2n
n
n
n
bn
a
∵数列
{
n
b
是单调递增数列，
∴
1nn
bb
＞
对于任意的*nN*恒成立，
即1(12)2(2)2nnnn，整理得：
2
2
n
3
2
＜
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有：
一、利用数列单调性的定义，由
1nn
aa
得数列单增，
1nn
aa
得数列单减；
二、借助于函数的单调性研究数列的单调性
.
4
．
A
【分析】
根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案
.
【详解】
等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S，当
1q
时，
2021
1
2021
(1)
0
1
aq
S
q
，
因为20211q与
1q
同号，
所以
1
0a
，
所以2
131
(1)0aaaq
，
当
1q
时，
20211
20210Sa
，
所以
1
0a
，
所以
13111
20aaaaa
，
综上，当
2021
0S
时，
13
0aa
，
故选：
A
【点睛】
易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为
1
，否则容易引起错误，
本题需要讨论两种情况
.
5
．
C
【分析】
根据等比数列的通项公式将
531
34aaa
化为用基本量
1
,aq
来表示，解出
q
，然后再由前
4
项和为
30
求出
1
a
，再根据通项公式即可求出
3
a
．
【详解】
设正数的等比数列
n
a
的公比为0qq
，
因为
531
34aaa
，所以42
111
34aqaqa
，则42340qq，
解得24q
或21q（舍），所以
2q
，
又等比数列
n
a
的前
4
项和为
30
，
所以23
1111
30aaqaqaq
，解得
1
2a
，
∴2
31
8aaq
．
故选：
C
.
6
．
C
【分析】
首先根据题意得到
5
S
，
105
SS
，
1510
SS
构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得
到答案
.
【详解】
因为
n
a
为等比数列，所以
5
S
，
105
SS，
1510
SS
构成等比数列
.
所以2
15
5010=1050S，解得
15
210S
.
故选：
C
7
．
A
【分析】
根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果
.
【详解】
因为
47
8aa
，
则5
22110
loglogloglog...logaaaaaaaa
247
5log15aa.
故选：
A.
8
．
D
【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出
结果
.
【详解】
因为等比数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
13
5
2
aa
，
24
5
4
aa
，
所以24
13
5
1
4
5
2
2
q
aa
aa
，
因此
1
11
1
1
1
1
1
1
2
21
1
1
2
n
n
n
n
n
n
nn
n
aq
S
q
q
aaqqq
.
故选：
D.
9
．
D
【分析】
利用等比数列前
n
项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前
7
项
和．
【详解】
n
S
为正项等比数列
{}
n
a
的前
n
项和，
2
1S
，
4
5S
，
2
1
4
1
0
(1)
1
1
(1)
5
1
q
aq
q
aq
q
，解得
1
1
3
a
，
2q
，
7
7
1
(12)
127
3
123
S
．
故选：D．
10
．
B
【分析】
由数列
n
a
与
n
S
的关系转化条件可得
1
1
nn
aa
，结合等差数列的性质可得
n
an
，再由
错位相减法可得1122n
n
Tn
，即可得解
.
【详解】
由题意，*21
nnn
SaanN
，
当2n时，
111
21
nnn
Saa
，
所以
111
22211
nnnnnnn
aSSaaaa
，
整理得
11
10
nnnn
aaaa
，
因为数列
n
a
单调递增且
0
n
S
，所以
11
0,10
nnnn
aaaa
，即
1
1
nn
aa
，
当1n时，
111
21Saa
，所以
1
1a
，
所以数列
n
a
是以1为首项，公差为
1
的等差数列，
所以
n
an
，
所以1231222322n
n
Tn
，
234nn
n
Tnn
，
所以
234111
212
2222222122
12
n
nnnn
n
Tnnn
，
所以1122n
n
Tn
，
所以8
7
6221538T
，9
8
7223586T
，
所以
2020
n
T成立的
n
的最小值为
8.
故选：
B.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列
n
a
与
n
S
关系的应用及错位相减法的应用
.
11．无
12
．
C
【分析】
根据*
1
22
nn
aSnN
可求出
n
a的通项公式，然后利用求和公式求出
2
,
nn
SS，结合
不等式可求
n
的最大值.
【详解】
11
22,22()2
nnnn
aSaSn
相减得
1
(22)
nn
aan
，
1
1a，
2
1
2
a
；则
n
a
是首项为
1
，公比为
1
2
的等比数列，
1001111
1
1000210
n
，
111
1000210
n
，则
n
的
最大值为
9.
故选：
C
13
．
C
【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果
.
【详解】
设等比数列
n
a
的公比为
q
，
因为
1
2a
，且
53
aa
，所以21q，解得
1q
，
所以9
101
2aaq
.
故选：
C.
14
．
C
【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前
n
项和，列出不
等式解之可得．
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为
1
3
；第二次操作去掉两个长度为
1
9
的区间，长度和为
2
9
；第
三次操作去掉四个长度为
1
27
的区间，长度和为
4
27
；…第
n
次操作去掉12n个长度为
1
3n
的区间，长度和为
12
3
n
n
，
于是进行了
n
次操作后，所有去掉的区间长度之和为
11222
1
3933
n
n
n
n
S
，
由题意，
9
0
2
1
31
n
，即
21
lglg1
031
n
，即lg3lg21n
，解得：
11
5.679
lg3lg20.47710.3010
n
，
又
n
为整数，所以
n
的最小值为6.
故选：
C.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前
n
项和等知识及估算能力，属于中档题
.
15
．
A
【分析】
由等比数列的性质可得2
315
aaa
，且
1
a与
3
a
同号，从而可求出
3
a
的值
【详解】
解：因为等比数列
n
a
中，
1
1a
，
5
4a
，
所以2
315
4aaa
，
因为
1
10a
，所以
3
0a
，
所以
3
2a
，
故选：
A
16
．
C
【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出
7
2a
，即可得出结果
.
【详解】
因为数列
n
a
是等比数列，由
1713
8aaa
，得3
7
8a
，
所以
7
2a
，因此2
3117
4aaa.
故选：
C.
17
．
D
【分析】
由
n
a
与
n
S
的关系可求得12n
n
a
，进而可判断出数列2
n
a
也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式
.
【详解】
已知等比数列
n
a
的
n
项和
2n
n
Sa
.
当1n时，
11
2aSa
；
当2n时，11
1
222nnn
nnn
aSSaa
.
由于数列
n
a
为等比数列，则
1
2aa
满足12n
n
a
，所以，022a，解得1a，
12n
n
anN
，则2
21124nn
n
a，
2
1
21
4
4
4
n
n
n
n
a
a
，且2
1
1a
，
所以，数列2
n
a
为等比数列，且首项为1，公比为4，
因此，222
12
1441
143
nn
n
aaa
.
故选：
D.
【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（
1
）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式
1
1
n
aand
或1
1
n
n
aaq
进行
求解；
（
2
）前
n
项和法：根据
1
1
,1
,2n
nn
Sn
a
SSn
进行求解；
（
3
）
n
S
与
n
a
的关系式法：由
n
S
与
n
a
的关系式，类比出
1n
S
与
1n
a
的关系式，然后两式
作差，最后检验出
1
a
是否满足用上面的方法求出的通项；
（
4
）累加法：当数列
n
a
中有
1nn
aafn
，即第
n
项与第1n项的差是个有规律
的数列，就可以利用这种方法；
（
5
）累乘法：当数列
n
a
中有
1
n
n
a
fn
a
，即第
n
项与第1n项的商是个有规律的数
列，就可以利用这种方法；
（
6
）构造法：①一次函数法：在数列
n
a
中，
1nn
akab
（k、b均为常数，且
1k，0k）
.
一般化方法：设
1nn
amkam
，得到1bkm
，
1
b
m
k
，可得出数列
1n
b
a
k
是以k的等比数列，可求出
n
a
；
②取倒数法：这种方法适用于1
1
2,n
n
n
ka
annN
map
（k、
m
、
p
为常数，
0m），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于
1nn
akab
的式子；
⑦
1
n
nn
abac
（b、
c
为常数且不为零，nN）型的数列求通项
n
a
，方法是在等式
的两边同时除以1nc，得到一个
1nn
akab
型的数列，再利用⑥中的方法求解即可
.
18
．
B
【分析】
根据等比中项的性质求出
3
a
，从而求出
1
a，最后根据公式求出
3
S；
【详解】
解：因为正项等比数列
n
a
满足
24
1aa
，由于2
243
aaa
，所以2
3
1a
.
所以
3
1a
，2
1
1aq
，因为
1
3
q
，所以
1
9a
.
因此
3
1
3
1
13
1
aq
S
q
.
故选：
B
19
．
C
【分析】
利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可
【详解】
因为
1
19
2110
21119
n
n
n
n
a
n
，
，
，
所以，
410
49104
5610
22
2222
12
aaa
，
49
844894
111215
22
222222
12
aaa
，
该数列从第
5
项到第
15
项的和为
12(2121)2(64322)16941504
故选：C
【点睛】
解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题
20
．
B
【分析】
第
n
天蜂巢中的蜜蜂数量为
n
a
，则数列
{}
n
a
成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以
算出第
6
天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．
【详解】
设第
n
天蜂巢中的蜜蜂数量为
n
a
，根据题意得
数列
{}
n
a
成等比数列，它的首项为
6
，公比
6q
所以
{}
n
a
的通项公式：1666nn
n
a
到第
6
天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有6
6
646656a
只蜜蜂．
故选：B．
二、多选题
21
．
AC
【分析】
由运动轨迹分析列出总路程
n
S
关于
n
的表达式，再由表达式分析数值特征即可
【详解】
由题可知，第一次着地时，
1
100S；第二次着地时，
2
2
100200
3
S
；
第三次着地时，
2
3
22
100200200
33
S
；……
第
n
次着地后，
21222
1
333
n
n
S
则
2112222
1
3333
nn
n
S
，显然
500
n
S
，又
n
S是
关于
n
的增函数，2n，故当2n时，
n
S的最小值为
400700
100
33
；
综上所述，
AC
正确
故选：
AC
22
．
ACD
【分析】
在
1+1
4,()
nn
aSanN
中，令1n，则
A
易判断；由3
212
2Saa
，
B
易判断；
令
1
2
(1)n
n
n
b
nna
，
1
3
8
b，
2n时，11
1
2211
(1)12212n
nnn
n
nn
b
nnannnn
，裂项求和
31
82n
T
，
则
CD
可判断
.
【详解】
解：由
1+1
4,()
nn
aSanN
，所以
211
4aSa
，故
A
正确；
32
212
822Saa
，故
B
错误；
+1nn
Sa
，
1
2,
nn
nSa
，所以2n时，
11nnnnn
aSSaa
，12n
n
a
a
，
所以2n时，2422nn
n
a
，
令
1
2
(1)n
n
n
b
nna
，
1
2
123
(11)8
b
a
，
2n时，11
1
2211
(1)12212n
nnn
n
nn
b
nnannnn
，
11
3
8
Tb
，2n时，
233411
3111111111
8223232422122122n
nnn
T
nnn
所以nN时，
31
82n
T
，故
CD
正确；
故选：
ACD.
【点睛】
方法点睛：已知
n
a与
n
S之间的关系，一般用1
1
,1
2n
nn
an
a
SSn
递推数列的通项，注
意验证
1
a
是否满足
1
2
nnn
aSSn
；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消
求和
.
23
．
CD
【分析】
由题意得到数列
n
a
的前
n
项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列
以及等比数列的求和公式，验证即可求解
.
【详解】
由题意，数列
n
a
的前
n
项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，
利用列举法，可得当25n时，
AB
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
n
a
，
则数列
n
a
的前
25
项分别为：
1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32
，
可得
5
25
20(139)2(12)
40062462
212
S
，
26
41a
，所以
26
12492a
，
不满足
1
12
nn
Sa
；
当26n时，
AB
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
n
a
，
则数列
n
a
的前
25
项分别为：
1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32
，
可得
5
26
21(141)2(12)
44162503
212
S
，
27
43a
，所以
26
12526a
，
不满足
1
12
nn
Sa
；
当27n时，
AB
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
n
a
，
则数列
n
a
的前
25
项分别为：
1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32
，
可得
5
27
22(143)2(12)
48462546
212
S
，
28
45a
，所以
27
12540a
，
满足
1
12
nn
Sa
；
当28n时，
AB
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
n
a
，
则数列
n
a
的前
25
项分别为：
1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32
，
可得
5
28
23(145)2(12)
52962591
212
S
，
29
47a
，所以
28
12564a
，
满足
1
12
nn
Sa
，
所以使得
1
12
nn
Sa
成立的
n
的可能取值为
27,28
.
故选：
CD.
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前
n
项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中
解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前
n
项和，结合选项求解是解答的关键，着
重考查推理与运算能力
.
24
．
ABD
【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出
5
a的范围，即可得到
所求．
【详解】
解：依题意，数列是
{}
n
a
是正项等比数列，
3
0a
，
7
0a，
5
0a，
2
3737
5
232326
62
aaaa
a
，
因为
5
0a
，
所以上式可化为
5
2a
，当且仅当
3
26
3
a
，
7
6a时等号成立．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维
能力．属于中档题．
25
．
ABD
【分析】
由
1
(2)
nnn
aSSn
代入已知式，可得
{}
n
S
的递推式，变形后可证
1
n
S
是等差数列，
从而可求得
n
S
，利用
n
S
求出
n
a
，并确定
3n
S
的表达式，判断D．
【详解】
因为
1
(2)
nnn
aSSn
，
11
30
nnnn
SSSS
，所以
1
11
3
nn
SS
，
所以
1
n
S
是等差数列，A正确；
公差为3，又
11
11
3
Sa
，所以
1
33(1)3
n
nn
S
，
1
3n
S
n
．B正确；
2n时，由
1nnn
aSS
求得
1
3(1)n
a
nn
，但
1
3a
不适合此表达式，因此C错；
由
1
3n
S
n
得
1
3
11
333nnn
S
，∴
3n
S
是等比数列，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由
1
(2)
nnn
aSSn
，化已知等式为
{}
n
S
的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．
26
．
AC
【分析】
由已知得12n
n
a
可得以21
2
2n
n
a
，可判断
A
；又
1
1
111
22
n
n
n
a
，可判断
B
；由
1
22
loglog21n
n
an
，可判断
C
；求得
10
S，
20
S，
30
S，可判断
D.
【详解】
等比数列
n
a
中，满足
1
1a，
2q
，所以12n
n
a
，所以21
2
2n
n
a
，所以数列
2n
a
是等比数列，故
A
正确；
又
1
1
111
22
n
n
n
a
，所以数列
1
n
a
是递减数列，故
B
不正确；
因为1
22
loglog21n
n
an
，所以
2
log
n
a
是等差数列，故
C
正确；
数列
n
a
中，
10
10
10
1
1
1
2
2
2
S
，20
20
21S
，30
30
21S
，
10
S
，
20
S
，
30
S
不成
等比数列，故
D
不正确；
故选：
AC
.
【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前
n
项和公式，以及数列的单调性的判
定，属于中档题
.
27
．
ACD
【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可
.
【详解】
因为
521
127,aaa
，所以有43
11
27273qaqqqa
，因此选项
A
正确；
因为
131
(31)
132
n
n
n
S
，所以
131
+2+2(3+3)
132
n
n
n
S
，
因为
+
1
+1
1
1
(3+3)
+2
2
2
=1+
1
+21+3
(3+3)
2
n
n
n
n
n
S
S
常数，
所以数列2
n
S
不是等比数列，故选项B不正确；
因为5
5
1
(31)=121
2
S
，所以选项
C
正确；
11
1
30n
n
naaq
，
因为当
3n
时，2
2222
lglg=lg()=lg2lg
nnnnnn
aaaaaa
，所以选项
D
正确
.
故选：
ACD
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前
n
项和公式的应用，考查了等
比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运
算能力.
28
．
AD
【分析】
主要分析数列中的项是否可能为
0
，如果可能为
0
，则不能是等比数列，在不为
0
时，根据
等比数列的定义确定．
【详解】
1
n
a
时，2
2
log()0
n
a
，数列2
2
{log()}
n
a
不一定是等比数列，
1q
时，
1
0
nn
aa
，数列
1
{}
nn
aa
不一定是等比数列，
由等比数列的定义知
1
{}
n
a
和
12
{}
nnn
aaa
都是等比数列．
故选
AD
．
【点睛】
本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项
为
0
，则数列不可能是等比数列．
29
．
AC
【分析】
由
1
22(2)
nn
SSpn
和等比数列的定义，判断出
A
正确；利用等比数列的求和公式判
断
B
错误；利用等比数列的通项公式计算得出
C
正确，
D
不正确．
【详解】
由
1
22(2)
nn
SSpn
，得
22
p
a.
3n时，
12
22
nn
SSp
，相减可得
1
20
nn
aa
，
又2
1
1
2
a
a
，数列
n
a
为首项为
p
，公比为
1
2
的等比数列，故
A
正确；
由
A
可得
1p
时，
4
4
1
1
15
2
1
8
1
2
S
，故
B
错误；
由
A
可得
mnmn
aaa
等价为
21
2
11
22mnmn
pp
，可得
1
2
p
，故
C
正确；
38
27
1133
||||
22128
aapp
，
56
45
1112
||||
22128
aapp
，
则
3856
aaaa
，即
D
不正确；
故选：
AC.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能
力，属于中档题．
30
．
BC
【分析】
先求得
3
a，然后求得
q
，进而求得
1
a
，由此求得
1
,,
nnnn
aSSS
，进而判断出正确选项
.
【详解】
由
234
64aaa
得33
3
4a
，则
3
4a
．设等比数列
n
a
的公比为0qq
，由
24
10aa
，得
4
410q
q
，即22520qq，解得
2q
或
1
2
q
．又因为数列
n
a
单调递增，所以
2q
，所以
11
2810aa
，解得
1
1a
．所以12n
n
a
，
112
21
12
n
n
n
S
，所以1
1
21212nnn
nn
SS
.
故选：
BC
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前
n
项和，属于中档题.
31
．
BD
【分析】
由
n
S
和
n
a
的关系求出数列
{}
n
a
为等比数列，所以选项
A
错误，选项
B
正确；利用等比数
列前
n
项和公式，求出
1
222
12
44
3
n
n
aaa
，故选项
C
错误，由等比数列的通项公式
得到62642mn，所以选项
D
正确
.
【详解】
由题意，当1n时，
11
22Sa
，解得
1
2a
，
当2n时，
11
22
nn
Sa
，
所以
111
222222
nnnnnnn
aSSaaaa
，
所以
1
2n
n
a
a
，数列
{}
n
a
是以首项
1
2a
，公比
2q
的等比数列，
2n
n
a
，
故选项
A
错误，选项
B
正确；
数列2
n
a
是以首项2
1
4a
，公比
1
4q
的等比数列，
所以
2
1
11
222
12
1
1414
44
1143
nn
n
n
aq
aaa
q
，故选项
C
错误；
6222642mnmn
mn
aa
，所以6mn为定值，故选项
D
正确
.
故选：
BD
【点睛】
本题主要考查由
n
S和
n
a的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前
n
项和公式的
应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题
.
32
．
ACD
【分析】
由题意可得数列
n
a
满足递推关系
1221
1,1,(3)
nnn
aaaaan
，依次判断四个选
项，即可得正确答案
.
【详解】
对于
A
，写出数列的前
6
项为
1,1,2,3,5,8
，故
A
正确；
对于
B
，
9
11235813+21+3488S
，故
B
错误；
对于
C
，由
12
aa
，
342
aaa
，
564
aaa
，
……
，
2
aaa
，可得：
020
aaaaaaaaaaaaaa
，故
C
正确
.
对于
D
，斐波那契数列总有
21nnn
aaa
，则2
121
aaa
，
2
22312321
aaaaaaaa
，2
33423423
aaaaaaaa
，
……
，
2
20172018
aaaaaaaa
，2
20192018
aaaaa
，可得
222
122019
2020
2019
20192020
2019
aaa
a
aa
aa
，故
D
正确；
故选：
ACD.
【点睛】
本题以
“
斐波那契数列
”
为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归
思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
33
．
BCD
【分析】
根据间隔递增数列的定义求解
.
【详解】
A.111
1111nknn
n
k
kn
aaaaqqqaq
，因为
1q
，所以当
1
0a
时，
nkn
aa
，故错误；
B.
24444
1
++nkn
nkn
aanknkk
nknnknnkn
，令
24tnkn，
t
在nN单调递增，则1140tk
，解得3k，故正确；
C.21212111nknnk
nkn
aanknk
，当
n
为奇数
时，2110kk，存在
1k
成立，当
n
为偶数时，2110kk，存在2k
成立，综上：
n
a
是间隔递增数列且最小间隔数是
2
，故正确；
D.
若n
a
是间隔递增数列且最小间隔数是
3
，
则2
222020202020
nkn
aanktnkntnknktk
，nN
成立，
则220ktk
，对于3k成立，且220ktk
，对于k2成立
即20kt
，对于3k成立，且20kt
，对于k2成立
所以23t，且22t
解得45t，故正确
.
故选：
BCD
【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题
.
34
．
ACD
【分析】
根据新定义进行判断．
【详解】
A
．若数列
n
a
是单增数列，则
111
11
111
()(1)
nnnnnn
nnnn
bbaaaa
aaaa
，
虽然有
1nn
aa
，但当
1
1
10
nn
aa
时，
1nn
ba
，因此
{}
n
b
不一定是单增数列，
A
正
确；
B
．
31
n
an
，则
1
31
31n
bn
n
，易知
{}
n
b
是递增数列，无最大值，
B
错；
C
．
31
n
an
，则
1
31
31n
bn
n
，易知
{}
n
b
是递增数列，有最小值，最小值为
1
b
，
C
正确；
D
．若
1
1
2
n
n
a
，则
11
1()
1
2
1()
2
n
n
n
b
，
首先函数
1
yx
x
在
(0,)
上是增函数，
当
n
为偶数时，
1
1()(0,1)
2
n
n
a，
∴
1
0
nn
n
ba
a
，
当
n
为奇数时，
1
1()
2
n
n
a
1，显然
n
a
是递减的，因此
1
nn
n
ba
a
也是递减的，
即
135
bbb
，∴
{}
n
b
的奇数项中有最大值为
1
325
0
236
b，
∴
1
5
6
b是数列
{}(*)
n
bnN
中的最大值．D正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最
值．
35
．
ACD
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出
1361
,aa
，列式即可求出
m
，从而求出通项
ij
a
，
再按照分组求和法，每一行求和可得
S
，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵
a
11＝
2
，
a13＝
a61+1
，∴
2m2＝
2+5m+1
，解得
m
＝
3
或
m
1
2
（舍去），
∴
a
ij＝
ai1•
3j﹣1＝
[2+
（
i
﹣
1
）×
m]
•
3j﹣1＝（
3i
﹣
1
）•
3j﹣1，
∴
a
67＝
17
×
36，
∴S
＝
(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋
an2＋
an3＋
……
＋
ann)
1
1121
13
1313
131313
n
nn
n
a
aa
（）
（）（）
1
2
（
3n﹣
1
）•
231
2
nn（）
1
4
n
（
3n+1
）（
3n﹣
1
）
故选：
ACD.
【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列
前
n
项和公式的应用，属于中档题．